WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Приближение функций многочленами и рациональными функциями имеет историю, еще более давнюю, чем проблема точного представления. Знаменитая теорема Вейерштрасса утверждает, что непрерывную функцию нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве Q можно равномерно приблизить последовательностью полиномов: для любого ε>0 существует такой многочлен, что

.

Чтобы сформулировать обобщения и усиления теоремы Вейерштрасса, необходимо перейти к несколько более абстрактному языку. Рассмотрим компактное пространство X и алгебру C(X) непрерывных функций на X с вещественными значениями.

Сильным обобщением теоремы о возможности равномерного приближения непрерывных функций многочленами является теорема Стоуна [6,7]:

Пусть E⊆C(X) ‑ замкнутая подалгебра в C(X), 1∈E и функции из E разделяют точки в X (то есть для любых различных x,y∈X существует такая функция g∈E, что g(x)≠g(y)). Тогда E=C(X).

Теорема Стоуна обобщает теорему Вейерштрасса по двум направлениям. Во-первых, рассматриваются функции на произвольном компакте, а не только функции многих действительных переменных. Во-вторых, доказано утверждение, новое даже для функций одного переменного (не говоря уже о многих): плотно не только множество многочленов от координатных функций, но вообще кольцо многочленов от любого набора функций, разделяющих точки. Следовательно, плотно множество тригонометрических многочленов, множество линейных комбинаций функций вида exp[-(x-x0,Q(x-x0))], где (x,Qx) ‑ положительно определенная квадратичная форма и др.

Дан рецепт конструирования таких обобщений: достаточно взять произвольный набор функций, разделяющих точки, построить кольцо многочленов от них ‑ и получим плотное в C(X) множество функций.

Разложения по ортогональным системам функций (ряды Фурье и их многочисленные обобщения) не дают, вообще говоря, равномерного приближения разлагаемых функций ‑ как правило, можно гарантировать лишь монотонное стремление к нулю интеграла квадрата остатка «функция минус приближение» с какой-либо положительной весовой функцией. Все же, обращаясь к задаче аппроксимации, нельзя забывать об ортогональных разложениях. Для ряда прикладных задач простота получения коэффициентов такого разложения может оказаться важнее, чем отсутствие гарантированной равномерности приближения.

Так существуют ли функции многих переменных В каком-то смысле ‑ да, в каком-то ‑ нет. Все непрерывные функции многих переменных могут быть получены из непрерывных функций одного переменного с помощью линейных операций и суперпозиции. Требования гладкости и аналитичности существенно усложняют вопрос. На этом фоне совершенно неожиданно выглядит тот факт, что любой многочлен от многих переменных может быть получен из одного произвольного нелинейного многочлена от одного переменного с помощью линейных операций и суперпозиции. Простое доказательство этой теоремы будет дано в разделе 6.

5. Универсальные аппроксимационные способности произвольной нелинейности и обобщенная теорема Стоуна

В этом разделе для множеств непрерывных функций, замкнутых относительно любой нелинейной операции (а не только для колец), доказана обобщенная аппроксимационная теорема Стоуна. Это интерпретируется как утверждение о универсальных аппроксимационных возможностях произвольной нелинейности: с помощью линейных операций и каскадного соединения можно из произвольного нелинейного элемента получить устройство, вычисляющее любую непрерывную функцию с любой наперед заданной точностью.

Рассмотрим компактное пространство X и алгебру C(X) непрерывных функций на X с вещественными значениями.

Кроме аппроксимации функций многочленами и их обобщениями из колец функций, разделяющих точки, в последнее время все большее внимание уделяется приближению функций многих переменных с помощью линейных операций и суперпозиций функций одного переменного. Такое приближение осуществляется специальными формальными "устройствами" – нейронными сетями. Каждая сеть состоит из формальных нейронов. Нейрон получает на входе вектор сигналов x, вычисляет его скалярное произведение на вектор весов α и некоторую функцию одного переменного φ(x,α). Результат рассылается на входы других нейронов или передается на выход. Таким образом, нейронные сети вычисляют суперпозиции простых функций одного переменного и их линейных комбинаций.

Доказан ряд теорем [8-10] об аппроксимации непрерывных функций многих переменных нейронными сетями с использованием практически произвольной непрерывной функции одного переменного. В данном разделе мы покажем, что эта функция действительно может быть произвольной и докажем обобщенную теорему Стоуна, естественным образом охватывающую и классическую теорему Стоуна, и аппроксимацию функций многих переменных суперпозициями и линейными комбинациями функций одного переменного.

Чтобы получить требуемое обобщение, перейдем от рассмотрения колец функций к изучению их алгебр, замкнутых относительно некоторой нелинейной унарной операции.

Пусть E⊆C(X) ‑ линейное пространство, C(R) ‑ пространство непрерывных функций на действительной оси R, f∈С(R) ‑ нелинейная функция и для любого g∈E выполнено f(g)∈E. В этом случае будем говорить, что E замкнуто относительно нелинейной унарной операции f.

Очевидный пример: множество функций n переменных, которые можно точно представить, используя заданную функцию одного переменного и линейные функции, является линейным пространством, замкнутым относительно нелинейной унарной операции f.

Замечание. Линейное пространство E⊆C(X) замкнуто относительно нелинейной операции f(x)=x2 тогда и только тогда, когда E является кольцом.

Действительно, поэтому для линейного пространства E⊆C(X) замкнутость относительно унарной операции f(x)=x2 равносильна замкнутости относительно произведения функций.

Согласно приведенному замечанию, теорема Стоуна может быть переформулирована так.

Пусть E⊆C(X) ‑ замкнутое линейное подпространство в C(X), 1∈E, функции из E разделяют точки в X и E замкнуто относительно нелинейной унарной операции f(x)=x2. Тогда E=C(X).

Наше обобщение теоремы Стоуна состоит в замене f(x)=x2 на произвольную нелинейную непрерывную функцию.

Теорема 1. Пусть E⊆C(X) ‑ замкнутое линейное подпространство в C(X), 1∈E, функции из E разделяют точки в X и E замкнуто относительно нелинейной унарной операции f∈C(R). Тогда E=C(X).

Доказательство. Рассмотрим множество всех таких p∈C(R), что p(E)⊆E, то есть для любого g∈E выполнено: p(g)∈E. Обозначим это множество PE. Оно обладает следующими свойствами:

1) PE ‑ полугруппа относительно суперпозиции функций;

2) PE ‑ замкнутое линейное подпространство в C(R) (в топологии равномерной сходимости на компактах);

3) 1∈PE и id∈PE (id(x)≡x).

4) PE включает хоть одну непрерывную нелинейную функцию.

Дальнейшее следует из теоремы 2, которая является, по существу, подготовительной теоремой о полугруппах функций.

Теорема 2. Пусть множество P⊆C(R) удовлетворяет условиям 1-4. Тогда P=C(R).

Доказательство опирается на три леммы.

Лемма 1. В условиях теоремы 2 существует дважды непрерывно дифференцируемая функция g∈P, не являющаяся линейной.

Доказательство. Пусть v(x)∈C∞(R), v(x)=0 при |x| >1, ∫Rv(x)dx=1. Рассмотрим оператор осреднения

Для любого ε>0 выполнено:.

Действительно, f(x+y)∈E для каждого фиксированного y (т.к. константы принадлежат E и E замкнуто относительно линейных операций и суперпозиции функций). Интеграл. принадлежит E, так как E является замкнутым линейным подпространством в C(R), а этот интеграл ‑ пределом конечных сумм.

Функция принадлежит C∞(R) так как

(напомним, что v – функция с компактным носителем).

Существует такое ε>0, что функция g= не является линейной, поскольку при ε →0, пространство линейных функций замкнуто, а f не является линейной функцией. Таким образом, в предположениях леммы существует нелинейная функция g∈P∩C∞(R), которую можно выбрать в виде g=

Лемма 2. Пусть в условиях теоремы 2 существует дважды непрерывно дифференцируемая функция g∈P, не являющаяся линейной. Тогда функция q(x)=x2 принадлежит P.

Доказательство. Существует точка x0, для которой g′′(x0)≠0. Обозначим r(x)=2(g(x+x0)‑g(x0)‑xg′(x0))/g′′(x0). Очевидно, что r∈P, r(0)=0, r′(0)=0, r′′(0)=2, r(x)=x2+o(x2). Поэтому

r(ε x)/ε2 → x2 при ε → 0.

Поскольку P замкнуто, получаем: функция q(x)=x2 принадлежит P.

Лемма 3. Пусть в условиях теоремы 2 функция q(x)=x2 принадлежит P. Тогда P является кольцом – для любых f,g∈P их произведение fg∈P.

Доказательство. Действительно, и, так как P замкнуто относительно суперпозиции и линейных операций, то fg∈P.

Доказательство теоремы 2 заканчивается обращением к классической теореме Вейерштрасса о приближении функций многочленами: из лемм 1-3 следует, что в условиях теоремы 2 P является кольцом и, в частности, содержит все многочлены (которые получаются из 1 и id с помощью умножения и линейных операций). По теореме Вейерштрасса отсюда следует, что P=C(R).

Теоремы 1,2 можно трактовать как утверждения о универсальных аппроксимационных свойствах любой нелинейности: с помощью линейных операций и каскадного соединения можно из произвольных нелинейных элементов получить любой требуемый результат с любой наперед заданной точностью.

6. Точное представление многочленов от многих переменных с помощью одного произвольного многочлена от одного переменного, линейных операций и суперпозиции

В этом разделе исследуются полугруппы полиномов от одного переменного относительно суперпозиции. Показано, что если такая полугруппа содержит все многочлены первой степени и хотя бы один – более высокой, то она включает все многочлены. На основании этого факта доказано, что всегда возможно представить многочлен от многих переменных суперпозициями произвольного нелинейного многочлена от одного переменного и линейных функций.

Вернемся к классическому вопросу о представлении функций многих переменных с помощью функций меньшего числа переменных. Следует еще раз заметить, что классических вопроса существует не один, а два:

1. Можно ли получить точное представление функции многих переменных с помощью суперпозиции функций меньшего числа переменных

2. Можно ли получить сколь угодно точную аппроксимацию функции многих переменных с помощью некоторых более простых функций и операций

В рамках первого вопроса особый интерес представляют конструкции, в которых для точного представления всех функций многих переменных используется один и тот же набор функций одного переменного.

Традиционно считается, что эти функции должны иметь весьма специальный и довольно экзотический вид, например, как в обсуждавшейся выше теореме Колмогорова, где использовались существенно негладкие функции.

Напротив, свобода в выборе функций одного переменного для решения второго вопроса при том же самоограничении ( один набор функций одного переменного ‑ для приближенного представления всех функций многих переменных) очень велика. Для этого, как показано в предыдущем разделе, можно использовать практически любую нелинейную функцию и достаточно всего одной.

Далее доказываются теоремы, относящиеся к первому вопросу (точное представление). В частности, показано, что можно точно представить любой многочлен от многих переменных с помощью суперпозиций произвольного нелинейного многочлена от одного переменного и линейных функций. Следовательно особенной пропасти между 1-м и 2-м вопросом не существует. Именно это обстоятельство побудило нас включить в книгу данный раздел.

Пусть R[X] ‑ кольцо многочленов от одного переменного над полем R, E⊂R[X] ‑ линейное пространство многочленов над R.

Предложение 1. Если E замкнуто относительно суперпозиции многочленов, содержит все многочлены первой степени и хотя бы один многочлен p(x) степени m>1, то E=R[X].

Доказательство. Заметим, что степень многочлена p′(x)=p(x+1)‑p(x) равна m‑1, и p′(x)∈E, так как E содержит многочлены первой степени (поэтому x+1∈E), замкнуто относительно суперпозиции (поэтому p(x+1)∈E) и линейных операций (поэтому p′(x)∈E).

Если m>2, то понижаем степень с помощью конечных разностей (переходим к p′, p′′ и т.д.), пока не получим многочлен второй степени. Вычитая из него линейную часть и умножая на константу, получаем: x2∈E. Поэтому для любого f∈E имеем f2∈E (т.к. E ‑ полугруппа). Дальнейшее очевидно: как неоднократно отмечалось выше, отсюда следует, что для любых f,g∈E их произведение fg∈E а с помощью умножения и сложения многочленов первой степени порождается все кольцо R[X].

Перейдем к задаче представления многочленов от многих переменных. Обозначим R[X1,..., Xn] кольцо многочленов от n переменных над полем R.

Для каждого многочлена от одного переменного введем множество тех многочленов, которые можно выразить с его помощью, используя суперпозиции и линейные функции. Пусть p – многочлен от одного переменного, Ep[X1,..., Xn] – множество многочленов от n переменных, которое можно получить из p и многочленов первой степени, принадлежащих R[X1,..., Xn], с помощью операций суперпозиции, сложения и умножения на число.

Следующие два предложения дают удобную для дальнейшего характеризацию Ep[X1,..., Xn] и следуют непосредственно из определений.

Предложение 2. Множество Ep[X1,..., Xn] является линейным пространством над R и для любого многочлена g(x1,...,xn) из Ep[X1,..., Xn] p(g(x1,...,xn))∈Ep[X1,..., Xn].

Предложение 3.Для данного p семейство линейных подпространств L⊆R[X1,..., Xn], содержащих все многочлены первой степени и удовлетворяющих условию

если g(x1,...,xn)∈L, то p(g(x1,...,xn))∈L,

замкнуто относительно пересечений. Минимальным по включению элементом этого семейства является Ep[X1,..., Xn].

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.