WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 20 |

Мы умеем оценивать коэффициентыи методом наименьших квадратов, и естественно использовать для целейпрогнозирования получаемую в результате такого оценивания (подобранную) модельлинейной связи

что приводит к прогнозируемому значению объясняемойпеременной, равному

Вопрос только в том, сколь надежным является выбор такогозначения в качествепрогнозного. И здесь надо иметь в виду следующее.

Поскольку мы используем для прогнозаоценки, полученные, исходя из модели наблюдений то для того, чтобы этот прогноз был осмысленным, нам понеобходимости приходитсяпредполагать, что структура модели наблюдений и ее параметры неизменятся при переходе к новому наблюдению, так чтосоответствующее значение должно описываться тем же линейным соотношением. В такомслучае, мы по-существу имеем дело с расширенной линейной модельюс наблюдениями, в которой дополнительное наблюдениеудовлетворяетсоотношению

При этом, случайная величина должнаиметь то же распределение,что и случайные величины и должна образовывать вместе с ними множествослучайных величин, независимых в совокупности.

Итак, мы договорились, что в расширенноймодели

Выбирая в качестве прогноза длязначение мы тем самым допускаем ошибкупрогноза, равную

Поскольку вычисленныеоценки являются (как мы уже выяснили выше)реализациями случайных величин, наблюдаемая ошибка прогноза также является реализацией случайнойвеличины и включает два источниканеопределенности:

  • неопределенность, связанную с отклонением вычисленных значенийслучайных величин от истинных значений параметров ;
  • неопределенность, связанную со случайной ошибкой в- мнаблюдении.

При наших стандартных предположениях о линейноймодели наблюдений ошибка прогноза является случайнойвеличиной, имеющей математическоеожидание

(Мы использовали здесь справедливые привыполнении стандартных предположений соотношения )

Точность прогноза характеризуетсядисперсией ошибки прогноза

Здесь использован тот факт, что сумманеслучайна (хотя ее точноезначение и не известно). Далее, из предположенной независимости случайныхошибок и вытекает независимость случайных величин (этавеличина зависит от случайных ошибок ) и (последняя не зависит от случайных ошибок ). В силуже независимости и,

(использовано правило сложения дисперсий).Остается заметить, что

где, как обычно, (Мы не будемвыводить эту формулу.) Таким образом,

Если случайные ошибки имеютнормальное распределение,то тогда случайные величины и

также имеют нормальные распределения. Приэтом, ошибка прогноза имеет нормальное распределение с нулевымматематическим ожиданием и дисперсией, вычисляемой по последнейформуле.

Разделив разность на квадратныйкорень из ее дисперсии, получаем случайную величину

имеющую стандартное нормальное распределение.Заменяя в правой части выражения для неизвестное значение его несмещеннойоценкой, получаем оценку дисперсии в виде

Заменяя, наконец, в знаменателе отношения,имеющего стандартное нормальное распределение, неизвестное значение егооценкой, приходим к -статистике (-отношению)

имеющей привыполнении сделанных предположений о модели наблюдений-распределение Стьюдента с степенями свободы.

Последний факт дает возможность построения-процентного доверительного интервала для значения

а именно,

на основании которого получаем-процентный доверительный интервал для :

— здесь мыиспользовали то, что в силу симметрии распределения Стьюдента,.

Заметим, что при заданных значениях (покоторым строится прогноз) доверительный интервал для будет тем длинее, чем больше значение.Последнее же равно при и возрастает с ростом. Это означает, чтодлина доверительного интервала возрастает при удалении значения, прикотором строится прогноз, от среднего арифметического значений.

Таким образом, прогнозы для значений,далеко отстоящих от, становятся менее определенными, поскольку длинасоответствующих доверительных интервалов для значений объясняемой переменнойвозрастает.

Пример. Для данных оразмерах совокупного располагаемого дохода и совокупных расходах на личноепотребление в США в период с 1970 по 1979 год (в млрд. долларов, в ценах1972 года), оцененная модель линейной связи имеет вид.

Представим себе, что мы находимся в1979 году и ожидаем увеличения в 1980 году совокупного располагаемого дохода (втех же ценах) до млрд. долларов. Тогда прогнозируемый по подобранноймодели объем совокупных расходов на личное потребление в 1980 годуравен

так что если выбрать уровень доверия,то

и доверительный интервал длясоответствующего значения имеет вид

т. е.

или

Заметим, что интервал достаточно широк иего нижняя граница допускает даже возможность некоторого снижения уровняпотребления по сравнению с предыдущим годом.

В действительности, в 1980 г. совокупныйрасполагаемый доходдостиг 1021 млрд.долларов, а совокупное потребление — 931.8 млрд. долларов. Тем самым, ошибкапрогноза составила

Если бы мы исходили при прогнозе издействительного значения,а не из, то прогнозируемое значение для равнялось бы 931.94 и ошибка прогноза составила всеголишь

Проиллюстрируем, наконец, как изменяется вэтом примере длина 95%-доверительных интервалов в интервале наблюдавшихся значенийобъясняющей переменной. На графике приведены отклонения нижней и верхнейграниц таких интервалов от центра интервала:

В случае модели множественной линейной регрессии

точечный прогноззначения соответствующего фиксированному набору значенийобъясняющих переменных, дается формулой

где — оценки наименьших квадратовпараметров. Интервальный прогноз имеет вид

где

  • оценка дисперсии ошибки прогноза, а - несмещенная оценка дисперсиислучайных ошибок.

ЧАСТЬ 3. ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ
СТАНДАРТНЫХПРЕДПОЛОЖЕНИЙ ОБ
ОШИБКАХВ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ
НАБЛЮДЕНИЙ. КОРРЕКЦИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ ПРИ НАРУШЕНИИ
СТАНДАРТНЫХПРЕДПОЛОЖЕНИЙ
ОБОШИБКАХ

3.1. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ПОДОБРАННОЙМОДЕЛИ ИМЕЮЩИМСЯ СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ: ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Весь рассмотренный нами комплекс процедурполучения статистических выводов для линейной модели регрессии (простой илимножественной) опирается навполне определенные предположения о модели наблюдений.

В связи с этим, большие значениякоэффициента детерминации (близкие к 1) или статистическая значимостькоэффициентов вовсе не обязательно говорят о том, что подобранная модельдействительно хорошо соответствует характерустатистических данных (адекватна статистическимданным).

В этом отношении весьма поучителенискусственный пример с четырьмя различными множествами данных, которые имеюткачественно различныедиаграммы рассеяния и в то же время приводят при использовании моделинаблюдений

к одним и тем же(в пределах двух знаков после запятой) оценкам параметров, значениямкоэффициента и - статистик. Эти множества данныхприведены в следующей таблице.

Множество1

Множество2

Множество3

Множество4

i

x

y

x

y

x

y

x

y

1

20

16.06

20

18.28

20

14.92

16

13.16

2

16

13.90

16

16.28

16

13.54

16

11.52

3

26

15.16

26

17.48

26

25.48

16

15.42

4

18

17.62

18

17.54

18

14.22

16

17.68

5

22

16.66

22

18.52

22

15.62

16

17.94

6

28

19.92

28

16.20

28

17.68

16

14.08

7

12

14.48

12

12.26

12

12.16

16

10.50

8

8

8.52

8

6.20

8

10.78

38

25.00

9

24

21.68

24

18.26

24

16.30

16

11.12

10

14

9.64

14

14.52

14

12.84

16

15.82

11

10

11.36

10

9.48

10

11.46

16

17.98

Для всех четырех множеств

подобранная модель линейной связи имеет вид,

имеет (оцененную) стандартную ошибку

имеет (оцененную) стандартную ошибку

-статистика для проверки нулевойгипотезы равна 2.67,что соответствует -значению 0.026,

-статистика для проверки нулевойгипотезы равна 4.24,что соответствует -значению 0.002,

.

Однако диаграммы рассеяния различаютсякоренным образом:

Уже чисто визуальный анализ четырехдиаграмм рассеяния показывает, что

только первое множество данных можнопризнать удовлетворительно описываемым линейной моделью наблюдений

Для второго множества более подходящейпредставляется модель

В третьем множестве выделяется одна точка(3-е наблюдение), которая существенно влияет на наклон и положение подбираемойпрямой.

Четвертое множество совершенно непригоднодля подбора линейной зависимости, поскольку подобранная прямая фактическиопределяется наличием одного выпадающего наблюдения

Метод наименьших квадратов достаточноустойчив к малымотклонениям от стандартных предположений, в том смысле, что при таких малыхотклонениях статистические выводы на основе анализа модели в основномсохраняются. Однако существенные отклонения от стандартных предположений могут серьезно исказитьвыводы на основе статистического анализа модели. В связи с этимнеобходимо

иметь возможность обнаружения отклонений отстандартных предположений,

иметь инструментарий для коррекции выявленных отклонений отстандартных предположений, позволяющий проводить строгий и информативный анализстатистических данных.

Эффективным средством обнаруженияотклонений от стандартных предположений о линейной моделинаблюдений

является анализостатков, т. е. анализ разностей

Наблюдаемые разности мы, в силуслучайности значений в модели наблюдений, можем рассматривать какзначения соответствующих случайных величин, за которыми сохраним те жеобозначения.

Если выполнены наши стандартныепредположения о модели наблюдений, то остатки, рассматриваемые как случайныевеличины, имеют нулевые математические ожидания

и дисперсии

где — -й диагональный элементквадратной -матрицы

Таким образом, несмотря на то, чтодисперсии ошибок равнымежду собой при наших предположениях (все они равны ), дисперсии остатков,вообще говоря, различны.

Для выравнивания дисперсий можно перейти крассмотрению нормированных остатков

для которых

Поскольку значение опять не известно,вместо нормированных остатков приходится использовать «стьюдентизированные» остатки

где, как обычно,.

Во многих пакетах программ величины взнаменателе правой части выражения для игнорируются, что приводит к такназываемым «стандартизованным» остаткам

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 20 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.