WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 58 |

Интуиция Геделя относительно этапов иконечности, насколько нам известно, действительно накладывает некоторыефизические огра­ничения на процесс доказательства. Квантовая теория требуетдискрет­ных этапов, ини один из известных способов взаимодействия физичес­ких объектов не позволил быбесконечному количеству этапов превзой­ти измеримый вывод. (Однако, моглобы оказаться возможным, что за всю историю вселенной было бы выполненобесконечное количество этапов — я объясню это в главе 14). Классическая физика, даже будь онаистинной (что исключено), не согласилась бы с такого рода инту­ицией. Например, непрерывноедвижение классических систем преду­смотрело бы «аналогичное» вычисление, в котором было бы не слишкоммного этапов и которое обладало бы репертуаром, существенно отли­чающимся от машины Тьюринга.Известны некоторые примеры хит­росплетенных классических законов, в соответствии с которымибес­конечный объемвычислений (бесконечный в соответствии с нормами машины Тьюринга или квантовогокомпьютера) можно было бы выпол­нить с помощью физически конечных методов. Безусловно,классичес­кая физиканесовместима с результатами бесчисленных эксперимен­тов, поэтому размышление о том,какими «были бы» «действительные» классические законы физики, носит весьмаискусственный характер: однако эти примеры показывают, что никто не можетдоказать, не­зависимо от знания физики, чтодоказательство должно состоять из конечного числа этапов. Эти же соображенияприменимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода ичто они должны быть «применимы напрямую». Ни одно из этих требований не имеетсмысла для абстрактного: это физические требования. Гильберт в своемвлиятельном эссе «On the Infinite»16 со знанием дела высмеялидею реальности требования «конечного количества ступеней». Однаковышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование реально, ионо следует только из физической интуиции самого Гильбер­та и другихматематиков.

По крайней мере, одно из направленийинтуиции Геделя относи­тельно доказательства, оказывается, было ошибочным; к счастью, этоникак не влияет на доказательства его теорем. Он унаследовал это на­правление из предыстории греческойматематики, и оно не вызывало сомнений ни у одного поколения математиков до техпор, пока в 1908 году открытия в области квантовой теории вычислений недоказали его ложность. Это направление интуиции заключается в том, чтодо­казательство— это конкретнаяразновидность объекта, аименно, по­следовательность утверждений, которая подчиняется правиламвыво­да. Я уже говорило том, что доказательство лучше рассматривать не как объект, а как процесс,разновидность вычислений. Однако в клас­сической теории доказательства иливычисления это не делает фунда­ментальной разницы по следующей причине. Если мы можем пройтичерез процесс доказательства, мы можем только с небольшим дополни­тельным усилием вести запись всеговажного, что происходит во время этого процесса. Эта запись, физический объект,составит доказатель­ство в смысле последовательности утверждений. II наоборот, если быу нас была такая запись, мы могли бы прочитать ее, проверить,удовле­творяет ли онаправилам вывода, и в процессе этого мы докажем вывод. Другими словами, вклассическом случае преобразование процессов до­казательства и объектовдоказательства — этовсегда легковычисляе­мая задача.

Теперь давайте рассмотрим некотороематематическое вычисле­ние, которое является трудновыполнимым на всех классическихком­пьютерах, нопредположим, что квантовый компьютер легко может выполнить это вычисление,задействовав интерференцию между, скажем. 10500 вселенными. Чтобы прояснить это,пусть вычисление будет тако­во, что ответ после его получения (в отличие от результатаразложения на множители) невозможно будет проверить с помощьюлегкообрабаты­ваемыхвычислений. Процесс программирования квантового компью­тера для получения вычисленийтакого рода, обработки программы и получения результата составляетдоказательство того, что математи­ческое вычисление имеет именно этот частный результат. Но в этомслучае не существует способа записать все, что произошло во время процессадоказательства, потому что большая часть этого произошла в других вселенных, иизмерение состояния вычисления изменило бы интерференционные свойства и темсамым лишило бы доказательство обоснованности. Таким образом, созданиестаромодного объектадока­зательства былобы невозможно; более того, во вселенной, как мы ее знаем, далеко не достаточноматериала, чтобы составить такой объ­ект, поскольку в этомдоказательстве этапов было бы больше, чем су­ществует атомов в известнойвселенной. Этот пример показывает, что из-за возможности квантового вычислениядва понятия доказательства не эквивалентны. Интуиция доказательства как объектане охватыва­ет всеспособы, с помощью которых можно доказать математическое утверждение вреальности.

И опять мы видим неадекватностьтрадиционного математическо­го метода получения определенности через попытки исключитькаж­дый возможныйисточник неопределенности или ошибки из нашей ин­туиции до тех пор, пока неостанется только самоочевидная истина. Именно это и сделал Гедель. Именно этоделали Черч, Пост и особенно Тьюринг, когда они пытались интуитивно постичьсвои универсальные модели вычисления. Тьюринг надеялся, что его абстрактнаябумаж­ная модельнастолько проста, настолько открыта и четко определена, что не зависит ни откаких допущений относительно физики, которые можно было бы исказить постижимымобразом, и, следовательно, она может стать основой абстрактной теориивычисления, независимой от лежащей в ее основе физики. «Он считал, — как однажды выразился Фейнман,— что он понялбумагу». Но он ошибался. Реальная, квантово-механическая бумага оченьотличается от абстрактного материала, ис­пользуемого машиной Тьюринга.Машина Тьюринга является всецело классической, она не принимает во вниманиевозможность того, что на бумаге могут быть написаны различные символы вразличных все­ленных ичто они могут интерферировать друг с другом. Безуслов­но, искать интерференцию междуразличными состояниями бумажной центы непрактично. Но дело в том, что интуицияТьюринга, из-за со­держания в ней ложных допущений из классической физики, заставилаего удалить те вычислительные свойства его гипотетической машины, которые он намеревалсясохранить. Именно поэтому результирующая модель вычисления быланеполной.

Различные ошибки, которые математики во всевремена допускали в том, что касается доказательства и определенности, вполнеестествен­ны.Настоящее обсуждение имеет своей целью привести нас к ожида­нию того, что современная точказрения тоже не будет вечной. Но уве­ренность, с которой математики натыкались на эти ошибки, а такжеих неспособность признать даже возможность ошибки во всем этом, на Мой взгляд,связана с древней и широко распространенной путаницей между методами математики и ее предметом. Сейчас я поясню это. Вотличие от отношений между физическими категориями, отноше­ния между абстрактными категорияминезависимы от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Ониабсолютно и объ­ективно определяются автономными свойствами самих абстрактныхкатегорий. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким Образом,изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, Истины, изучаемые математикой, абсолютноопределенны. Но это не говорит ни об определенности самого нашего знания этихнеобходимых истин, ни о том, что методы математики дают своим выводамнеобхо­димую имистинность. Как-никак, математика изучает еще и ложные утверждения и парадоксы.И это не означает, что выводы подобного изучения непременно являются ложнымиили парадоксальными. Необходимая истина — это всего лишь предмет математики, а не награда за то,что мы занимаемся математикой. Математическая опре­деленность не является и не можетявляться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина,определенная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являтьсяматематическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так,как она работает Почему она ведет к выводам, которые, несмотря на ихнеопределенность. Можно принимать и без проблем применять, по крайней мере, втечение тысячи лет В конечном счете, причина в том, что некоторая часть нашего знанияфизического мира столь же надежна и непротиворечива. А когда мы понимаемфизический мир достаточно хорошо, мы так­же понимаем, какие физическиеобъекты имеют общие свойства с аб­страктными. Но, в принципе, надежность нашего знания математикиостается второстепенной по отношению к нашему знанию физической реальности.Обоснованность каждого математического доказательства полностью зависит оттого, правы ли мы относительно правил, управ­ляющих поведением каких-либофизических объектов, будь то генера­торы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственныймозг.

Таким образом, математическая интуиция— это вид физическойинтуиции. Физическая интуиция — набор эмпирических правил (неко­торые из которых возможноврожденные, а большая часть — развивши­еся в детстве), о том, как ведет себя физический мир. Например, унас есть интуиция существования физических объектов и того, что эти объектыобладают определенными свойствами: формой, цветом, весом и положением впространстве, некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этимиобъектами не наблюдают. Другая интуиция за­ключается в том, что существуетфизическая переменная — время —по отношению к которой изменяются свойства, но, тем не менее, объ­екты способны сохранять своюидентичность с течением времени. Еще одна интуиция заключается в том, чтообъекты взаимодействуют и что это взаимодействие может изменить некоторые ихсвойства. Математи­ческая интуиция описывает способ демонстрации свойств абстрактныхкатегорий физическим миром. Одним из таких направлений интуиции являетсяабстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежа­щее в основе поведения объектов.Интуицию, предполагающую, что пространство допускает замкнутые поверхности,отделяющие «внут­реннюю часть» от «наружной части», можно уточнить, преобразовав еев математическую интуицию множества, разделяющего все на члены и нечлены этого множества. Однакодальнейшее уточнение математи­ками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге)пока­зало, что этаинтуиция перестает быть точной, когда рассматриваемое множество содержит«слишком много» членов (слишком большую сте­пень бесконечностичленов).

Даже если бы хоть какая-то физическая илиматематическая ин­туиция была врожденной, это не предоставило бы ей какого-тоособо­го авторитета.Врожденную интуицию невозможно воспринимать как суррогат «воспоминаний» Платонао мире Форм. Ибо ложность многих направлений интуиции, которые случайноразвились у людей в процес­се эволюции, — банальное наблюдение. Например, человеческий глаз иматематическое обеспечение, которое им управляет, воплощают лож­ную теорию о том, что желтый светсостоит из смеси красного и зелено­го света (в смысле, что желтый свет дает нам точно такое жеощущение как смесь красного и зеленого света). В реальности все три типа светаимеют разные частоты и не могут быть созданы посредством смешива­ния света других частот. Тот факт,что смесь красного и зеленого све­та кажется нам желтым светом, не имеет ничего общего со свойствамисвета, но связан со свойствами наших глаз. Это результат компромисса, имевшегоместо на каком-то этапе отдаленной эволюции наших далеких предков. Существуеттолько возможность (хотя я в нее не верю), что геометрия Евклида или логикаАристотеля каким-то образом встроены в структуру нашего мозга, как считалфилософ Иммануил Кант. Но это логически не означало бы их истинности. Даже еслипредставить еще более невероятный случай, что у нас есть врожденная интуиция,от которой мы не в состоянии избавиться, такая интуиция, тем не менее, не сталабы необходимой истиной.

Значит, реальность действительно имеетболее объединенную структуру, чем это было бы возможно, если бы математическоезна­ние можно былопроверить с определенностью. А следовательно, ее структура — это иерархия, как и считалосьтрадиционно. Математи­ческие категории являются частью структуры реальности, посколькуони сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа наобласть абстракций, о которой размышляли Пла­тон и Пенроуз: несмотря на то, чтопо определению они неосязаемы, они объективно существуют и имеют свойства,независимые от за­конов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрестизна­ние об этойобласти. И она накладывает строгие ограничения. Тогда как в физическойреальности постижимо все, постижимые математи­ческие истины в точностисоставляют бесконечно малое меньшинст­во, которое оказывается в точностисоответствующим какой-то фи­зической истине — как тот факт, что если определенными симво­лами, написанными чернилами набумаге, манипулировать опреде­ленным образом, появятся другие определенные символы. То есть, этои есть те истины, которые можно передать в виртуальной ре­альности. У нас нет другоговыбора, кроме как принять, что непо­стижимые математические категории тоже реальны, т.к. они сложнымобразом возникают в наших объяснениях постижимых катего­рий.

Существуют физические объекты, например,пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведениеопределен­ныхабстрактных объектов. Таким образом, структура физической ре­альности дает нам окно в мирабстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченныйдиапазон перспектив. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например,натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся такими жеважны­ми или«фундаментальными» для абстрактного мира, какими глубокие законы природыявляются для физического мира. Но эта видимость мо­жет ввести в заблуждение.Поскольку действительно мы видим только то, что некоторые абстрактные структурыфундаментальны по отно­шению к нашемупониманию абстракций, у нас нет никакой причинысчитать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Простонекоторые абстрактные категории ближе, чем другие, и их про­ще увидеть из нашегоокна.

Терминология.

Математика— изучение абсолютнонеобходимых истин.

Доказательство— способ установленияистинности математи­ческих высказываний.

(Традиционное определение):последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок,заканчивается желаемым вы­водом и удовлетворяет определенным «правилам вывода».

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 58 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.