WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 58 |

Используя совершенную передачу ввиртуальной реальности, мы могли бы получить впечатление о шести идентичныхкругах, которые касаются кромки седьмого идентичного им круга в плоскости, непере­крывая другдруга. Это впечатление при подобных обстоятельствах бы­ло бы эквивалентно точномудоказательству возможности такой ситу­ации, потому что геометрическиесвойства переданных форм были бы абсолютно идентичны геометрическим свойствамабстрактных форм. Но такой вид «практического» взаимодействия с совершеннымиформа­ми не способендать всестороннее знаниегеометрии Евклида. Большая часть интересных теорем относится не к однойгеометрической фор­ме,а к бесконечным классам геометрических форм. Например, сумма углов любоготреугольника Евклида равна 180°. Мы можем измерить отдельные треугольники ссовершенной точностью в виртуальной ре­альности, но даже в виртуальнойреальности мы не можем измерить все треугольники, и поэтому мы не можемпроверить теорему.

Как же мы можем ее проверить Мы доказываемее. Традицион­нодоказательство определяют как последовательность утверждений, удовлетворяющихсамоочевидным правилам вывода, но чему физичес­ки эквивалентен процесс доказательства Чтобы доказатьутверждение о бесконечно большом количестве треугольников сразу, мы исследуемопределенные физические объекты (в данном случае символы), которые обладаютобщими свойствами с целым классом треугольников. Напри­мер, когда при надлежащихобстоятельствах мы наблюдаем символы «rАВС=rDEF» (т. е. «треугольник АВС конгруэнтентреугольнику DEF»), мы делаем вывод, что все треугольники из какого-тоопределен­ногоконкретным образом класса всегда имеют ту же самую форму, что и соответствующиеим треугольники из другого класса, определенного иначе. «Надлежащиеобстоятельства», которые придают этому выводу статус доказательства,заключаются, говоря языком физики, в том, что символы появляются на страницепод другими символами (некото­рые из которых представляют аксиомы геометрии Евклида), и порядокпоявления символов соответствует определенным правилам, а именно, правиламвывода.

Но какими правилами вывода нам следуетпользоваться Это все равно, что спросить, как следует запрограммироватьгенератор вирту­альнойреальности для передачи мира геометрии Евклида. Ответ в том, что нужноиспользовать те правила вывода, которые, для нашего луч­шего понимания, заставят нашисимволы вести себя в уместной степе­ни как абстрактные категории, которые они обозначают. Как мымо­жем быть уверены,что они будут вести себя именно так А мы и не можем быть уверены в этом.Предположим, что некоторые крити­ки возражают против наших правил вывода, потому что они считают,что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных катего­рий. Мы не можем ни взывать кавторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила выводабезошибочны (за исключением теоремы Геделя, это привело бы к бесконечномурегрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого методадоказательст­ва,используемого нами). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-тоне в порядке с интуицией, потому что наша инту­иция говорит, что символы будут копировать абстрактные категории всовершенстве. Все, что мы можем сделать, — это объяснить. Мы должныобъяснить, почему мы думаем, что при определенных обстоя­тельствах символы будут вести себяжелаемым образом в соответствии с высказанными нами правилами. А критики могутобъяснить, поче­му онипредпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Расхождение во мнениях относительнодвух таких теорий —это частично расхож­дение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физическихобъектов. Такого рода расхождения могут быть адресованы нормаль­ными методами науки. Иногда онилегко разрешимы, а иногда — нет. Другой причиной подобного расхождения может статьконцептуаль­ныйконфликт, связанный с природой самих абстрактных категорий. И вновь дело законкурирующими объяснениями, на этот раз объяс­нениями не физических объектов, аабстрактных категорий. Либо мы придем к общему пониманию со своими критиками,либо согласим­ся, чтоговорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придем ксогласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в про­тивоположность традиционномуубеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью исключительнометодологических средств.

На первый взгляд, характер традиционногосимволического доказа­тельства кажется весьма отличным от характера «практического»вир­туальногодоказательства. Но теперь мы видим, что они относятся друг к другу так же, каквычисления относятся к физическим эксперимен­там. Любой физический экспериментможно рассматривать как вы­числение, и любое вычисление — как физический эксперимент. Вобо­их видахдоказательства физическими категориями (независимо от то­го, находятся они в виртуальнойреальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих видахдоказательства физичес­кие категории представляют интересующие нас абстрактныекатего­рии. И в обоихслучаях надежность доказательства зависит от истин­ности теории о том, что физическиеи абстрактные категории дейст­вительно имеют соответствующие свойства.

Из вышеизложенного рассуждения также можноувидеть, что до­казательство — это физический процесс. В действительности, доказа­тельство — это разновидность вычисления.«Доказать» высказывание значит осуществить вычисление, которое, будучивыполненным пра­вильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово«до­казательство» дляобозначения объекта,например, текста, написанно­го чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можноиспользовать в качестве программы для воссоздания вычисления соот­ветствующего вида.

Следовательно, ни математические теоремы,ни процесс матема­тического доказательства, ни впечатление о математической интуициине подтверждает никакую определенность. Ничто не подтверждает ее. Нашематематическое знание, так же как и наше научное знание, мо­жет быть глубоким и широким, можетбыть неуловимым и удивитель­но объяснительным, может быть принятым без разногласий; но оно неможет быть определенным. Никто не может гарантировать, что в до­казательстве, которое ранеесчиталось обоснованным, однажды не об­наружат глубокое недоразумение,казавшееся естественным из-за ра­нее несомненного «самоочевидного» допущения о физическом мире, илиоб абстрактном мире, или об отношении некоторых физических и аб­страктных категорий.

Именно такое ошибочное, самоочевидноедопущение привело к то­му, что саму геометрию ошибочно классифицировали как разделмате­матики в течениедвух тысячелетий, приблизительно с 300 года до н.э., когда Евклид написал свойтруд «Элементы», додевятнадцатого века (а в некоторых словарях и школьных учебниках досегодняшнего дня). Геометрия Евклида сформировала часть интуиции любогоматематика. В конечном счете, некоторые математики начали сомневаться всамо­очевидности, вчастности, одной из аксиом Евклида (так называемой «аксиомы о параллельных»).Сначала они не сомневались в истинности этой аксиомы. Говорят, что великийнемецкий математик Карл Фрид­рих Гаусс был первым, кто подверг ее проверке. Аксиома опараллель­ныхнеобходима при доказательстве того, что сумма углов треуголь­ника составляет 180°. Легендагласит, что в совершенной секретнос­ти (из-за боязни быть осмеянным) Гаусс разместил своих ассистентовс фонарями и теодолитами на вершинах трех холмов, чтобы вблизи измерить вершинысамого большого треугольника. Он не обнаружил ни­каких отклонений от предсказанийЕвклида, однако теперь мы знаем, что это произошло потому, что его инструментыне обладали достаточ­ной чувствительностью. (С геометрической точки зрения окрестностьЗемли оказывается довольно пассивным местом). Общая теория отно­сительности Эйнштейна включалановую теорию геометрии, которая противоречила геометрии Евклида и была доказанаэкспериментально. Сумма углов реального треугольника в действительностине обязатель­но составляет 180°: истинная суммазависит от гравитационного поля внутри этого треугольника.

Весьма похожая ошибочная классификация былавызвана фунда­ментальной ошибкой относительно самой природы математики,кото­рую математикидопускали с античных времен, а именно, что мате­матическое знание болееопределенно, чем какая-либо другая форма знания. Такая ошибка не оставляетвыбора классификации теории до­казательства, кроме как части математики, поскольку математическаятеорема не может быть определенной, если теория, подтверждающая метод еедоказательства, сама по себе неопределенна. Но как мы толь­ко что видели, теориядоказательства не является разделом математи­ки — она является наукой.Доказательства не абстрактны. Не сущест­вует абстрактного доказательствочего-либо, так же, как не сущест­вует абстрактного вычисления чего-либо. Конечно, можно определитькласс абстрактных категорий и назвать их «доказательствами», но эти«доказательства» не могут подтвердить математические утверждения, потому что ихневозможно увидеть. Они могут убедить кого-либо в ис­тинности высказывания не более,чем абстрактный генератор вирту­альной реальности, который физически не существует, может убедитьлюдей, что они находятся в другой среде, или абстрактный компью­тер может разложить на множителичисло. Математическая «теория доказательств» не имела бы никакого отношения ктому, какие мате­матические истины можно или нельзя доказать в действительности,точно так же, как теория абстрактного «вычисления» не имеет ника­кого отношения к тому, чтоматематики — иликто-то еще — могутили не могут вычислить в реальности, по крайней мере, если не су­ществует отдельной эмпирическойпричины считать, что абстрактные «вычисления» в этой теории похожи на реальныевычисления. Вычис­ления, включая и особые вычисления, квалифицируемые какдоказа­тельства,— это физическиепроцессы. Теория доказательств говорит о том, как обеспечить, чтобы этипроцессы правильно имитировали абстрактные категории, которые они должныимитировать.

Теоремы Геделя называли «первыми новымитеоремами чистой ло­гики за две тысячи лет». Но это не так: теоремы Геделя говорят отом, что можно, а что нельзя доказать, а доказательство — это физический Процесс. В теориидоказательства нет ничего, что касалось бы только чистой логики. Новый способдоказательства Геделем общих утверж­дений о доказательствах зависит от определенных допущений о том,какие физические процессы могут или не могут представить абстракт­ный факт так. что наблюдательсможет обнаружить его и убедиться, благодаря ему. Гедель перевел такиедопущения в явное и выраженное невербально доказательство своих результатов.Его результаты были самоочевидно доказанными не потому, что были «чистологическими», а потому, что математики нашли эти допущениясамоочевидными.

Одно из сделанных Геделем допущений былотрадиционным: дока­зательство может иметь только конечное число этапов. Интуитивноедоказательство этого допущения состоит в том, что мы конечные су­щества и никогда не смогли быпостичь буквально бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуициястала причиной беспокой­ства многих математиков, когда в 1976 году Кеннет Эппел иВольф­ганг Хакениспользовали компьютер для доказательства знаменитой «гипотезы четырех цветов»(о том, что, используя всего четыре разных цвета, любую карту, нарисованную наплоскости, можно раскрасить так, что никакие два примыкающих района не будутиметь одинако­выйцвет). Программа требовала сотни часов машинного времени, что означало, чтоэтапы доказательства, если оно было бы записано, не смог бы прочитать ни одинчеловек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным.«Следует ли воспринимать слово компьютера как то, что гипотеза четырех цветовдоказана» —задава­лись вопросомскептики — хотя им ив голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейроновсвоего собственного мозга при принятии относительно «простого»доказательства.

Такое же беспокойство может показатьсяболее оправданным, бу­дучи примененным к предполагаемому решению с бесконечным числомэтапов. Но что такое «этап» и что такое «бесконечный» В пятом веке до н.э.Зенон из Элеи на основе похожей интуиции пришел к выводу, Что Ахиллес никогдане обгонит черепаху, если у черепахи будет пре­имущество на старте. Как-никак, ктому времени, когда Ахиллес поравняется с черепахой, она еще немножкопродвинется вперед. К тому времени, когда он достигнет этой точки, она продвинется ещечуть-чуть и так до бесконечности. Таким образом, эта процедура «обгона» потребует от Ахиллесавыполнения бесконечного количества этапов об­гона, которое он, будучи конечнымсуществом, предположительно вы­полнить не сможет. Но то, что Ахиллес сможет сделать, невозможнообнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от то­го, что он сможет сделать всоответствии с управляющими законами физики. И если эти законы скажут, что онобгонит черепаху, то он ее обгонит. В соответствии с классической физикой обгонтребует беско­нечногоколичества этапов вида «переход на настоящее место нахожде­ния черепахи». В этом смыследанное действие является вычислительно бесконечным. Точно так же, еслирассматривать как доказательство то, что одна абстрактная величина становитсябольше другой при приме­нении данного набора действий, то это доказательство с бесконечнымколичеством этапов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательствокак физически конечный процесс — и только это имеет значение.

Pages:     | 1 |   ...   | 38 | 39 || 41 | 42 |   ...   | 58 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.