WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 58 |

Точно так же как солипсизм начинается смотивации упрощения пугающе разнообразного и неопределенного мира, но присерьезном к нему отношении оказывается реализмом в сочетании с нескольки­ми ненужными усложнениями, так иинтуиционизм оканчивается тем, что становится одной из самых контринтуитивныхдоктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.

Дэвид Гильберт предложил гораздо болееразумный — хотя, вко­нечном счете, иобреченный — план«раз и навсегда ввести убежден­ность в математических методах». План Гильберта основывался наидее согласованности. Он надеялся составить полный набор современных правилвывода математических доказательств с определенными свой­ствами. Количество таких правилдолжно было быть конечным. Они Должны были быть применимы напрямую, так чтобыопределить, удов­летворяет ли им какое-то предложенное доказательство, несоставляло бы труда и не вызывало противоречий. Желательно, чтобы этиправи­ла былиинтуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием дляпрагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы правила лишь умеренносоответствовали интуиции при усло­вии, что он мог бы быть уверен в их самосогласованности. То есть,если правила определили данное доказательство как обоснованное, он хотел бытьуверен, что они никогда не определят как обоснованное любое другоедоказательство с противоположным выводом. Как он мог быть Уверен в этом Наэтот раз согласованность должна была быть дока­занас помощью метода доказательства, который сампридерживался тех же правил вывода. Таким образом, Гильберт надеялсявосстановить завершенность и определенность Аристотеля. Он также надеялся, чтос помощью этих правил будет, в принципе, доказуемо любое истин­ное математическое утверждение ине будет доказуемо любое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование началавека Гильберт опуб­ликовал список задач, которые, как он надеялся, математики смогутрешить в двадцатом веке. Десятая задача заключалась в нахождении набора правилвывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоятельности всоответствии с их собственными нормами.

Гильберту было предначертано пережитьразочарование. Тридцать один год спустя Курт Гедель создал революционную теориюдоказа­тельства скоренным опровержением, которая до сих пор является от­правной точкой для математическогои физического миров: он доказал, что десятая задача Гильберта не имеет решения.Во-первых, Гедель доказал, что любой набор правил вывода, способный правильнообос­новать дажедоказательства обычной арифметики, никогда не сможет обосновать доказательствосвоей собственной согласованности. Следо­вательно, нечего и надеяться найтидоказуемо согласованный набор правил, который предвидел Гильберт. Во-вторых,Гедель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточнообширной) области математики является согласованным (неважно, доказуемо это или нет), то в пределахэтой области должны существовать обоснован­ные методы доказательства, которыеэти правила не могут определить как обоснованные. Это называется теоремой Геделя о неполноте. Длядоказательства своих теорем Гедель пользовался замечательным рас­ширением «диагональногодоказательства» Кантора, о котором я упоми­нал в главе 6. Он начал срассмотрения любого согласованного набора правил вывода. Затем он показал, каксоставить утверждение, кото­рое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил.Затем он доказал, что это высказывание истинно.

Если бы программа Гильберта работала, этобыло бы плохой но­востью для концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге,поскольку это устранило бы необходимость понимания при критике математическихидей. Кто угодно —или какая угодно неразумная ма­шина, —способный выучить наизусть правила вывода, на которые так надеялся Гильберт,смог бы так же хорошо оценивать математичес­кие высказывания, как и самыйспособный математик, не нуждаясь в математическом понимании или даже не имеясамого отдаленного понятия о смысле этого высказывания. В принципе, было бывозможно делать новые математические открытия, не зная математики вообще, азная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможныестроки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них неудовлетворила бы проверке на то, является ли она доказательством какой-либознаменитой недоказанной гипотезы или нет. В принципе, так можно было бы уладитьлюбое разногласие в математике, даже не понимая его смысла — даже не зная значения символов,не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что онодоказывает, или в чем заключается метод доказатель­ства, или почему ононадежно.

Может показаться, что достижение единыхнорм доказательства в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам вовсеобщем стремлении к объединению — то есть «углублению» нашего знания, на которое я ссылался в главе1. Однако происходит обратное. Подобно предсказательной «теории всего» вфизике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуререальности. Они реализовали бы, в пределах математики, предельное видениередукционистов, пред­сказывающее все (в принципе), но ничего не объясняющее. Болеетого, если бы математика была редукционистской наукой, то всенежелае­мые черты,которые, как я доказал в главе 1, отсутствуют в структуре человеческого знания,присутствовали бы в математике: математичес­кие идеи создали бы иерархию, воснове которой лежали бы правила Гилберта. Математические истины, проверкакоторых, исходя из этих правил, оказалась бы очень сложна, стали бы объективноменее фунда­ментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить спомощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор такихфундаментальных истин, со временем математике при­шлось бы заниматься даже менеефундаментальными задачами. Мате­матика вполне могла исчерпать себя при этой зловещей гипотезе.Если бы этого не произошло, она неизбежно распалась бы на даже болееза­гадочныеспециализации, по мере увеличения сложности «исходящих» вопросов, которыематематики были бы вынуждены решать, и по мере еще большего отдаления этихвопросов от основ самого предмета.

Благодаря Геделю мы знаем, что никогда небудет непреложного метода определения истинности математического высказывания,как не существует и непреложного метода определения истинности науч­ной теории. Как никогда не будет инепреложного метода создания ново­го математического знания. Следовательно, математический прогрессвсегда будет зависеть от использования творчества. Изобретение новых видовдоказательства всегда будет возможно и необходимо для мате­матиков. Они будут обосновывать ихс помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от ихнепрерывно увеличиваю­щегося понимания абстрактных категорий, связанных с этимдоказа­тельством.Примером служат теоремы самого Геделя: чтобы доказать их, ему пришлосьизобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на«диагональном доказательстве», одна­ко Гедель по-новому расширил это доказательство. До него такничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, ктоникогда не видел метода Геделя, не могли бы определить его как об­основанный. Однако он является самоочевидно обоснованным.Откуда исходит эта самоочевидность Она исходит из понимания Геделемпри­родыдоказательства. Доказательства Геделя так же неоспоримы, как и любые другиематематические доказательства, но только для того, кто прежде пойметсопровождающее их объяснение.

Таким образом, объяснение все-таки играетту же самую первосте­пенную роль в чистой математике, как оно играет ее в науке.Объясне­ние ипонимание мира —физического мира и мира математических аб­стракций — в обоих случаях является цельюизучения. Доказательство и наблюдения — это всего лишь средства проверкинаших объяснений.

Роджер Пенроуз извлек из результатов Геделяеще более глубо­кий,радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищаетспособность человеческого разума постигать абстрактные определенностиматематики. В отличие от Платона Пенроуз не верит в сверхъестественное ипринимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеетдоступ только к этому ми­ру. Таким образом, задача для него встает даже более остро, чемдля Платона: как может беспорядочный, ненадежный мир даватьматемати­ческиеопределенности такой беспорядочной и ненадежной части себя, какой являетсяматематик В частности, Пенроуза удивляет, как мы можем понять безошибочностьновых обоснованных формдоказатель­ства,которых, как уверяет Гедель, бесконечно много.

Пенроуз все еще работает над подробнымответом, но он заявля­ет, что само существование свободной математической интуициита­кого родафундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, спринципом Тьюринга. Вкратце его доказа­тельство выглядит примерно так.Если принцип Тьюринга истинный, то мы можем рассматривать мозг (подобно любомудругому объекту) как компьютер, обрабатывающий определенную программу.Взаимо­действия мозгас окружающей средой составляют вводимые и выво­димые данные. Теперь рассмотримматематика в процессе решения, обоснован или нет недавно предложенный виддоказательства. Приня­тие такого решения эквивалентно обработке компьютерной программыобоснования доказательства в мозге математика. Такая программа ре­ализует набор правил выводаГильберта, которые, в соответствии с те­оремой Геделя, не могут бытьзаконченными. Более того, как я уже сказал, Гедель предоставляет способсоздания и доказательства истин­ного высказывания, которое эти правила не способны признатьдока­занным.Следовательно, математик, разум которого является эффек­тивным компьютером, применяющимэти правила, также никогда не сможет признать это высказывание доказанным.Затем Пенроуз пред­лагает показать этому самому математику это высказывание и методдоказательства его истинности Геделем. Математик понимает доказа­тельство. Оно все-такисамоочевидно обоснованно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть, что онообоснованно. Но это бы противоре­чило теореме Геделя. Следовательно, где-то в доказательстве должнобыть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допуще­нием является принципТьюринга.

Большинство специалистов по вычислительнойтехнике не соглас­ны сПенроузом, что принцип Тьюринга — наиболее слабое звено в его доказательстве. Они сказали бы, чтоматематик из его доказательства в самом деле не сможет признать высказываниеГеделя доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможетпо­нять самоочевидноедоказательство. Но взгляните на следующее вы­сказывание:

Дэвид Дойч не может составитьпоследовательное суждение об ис­тинности этого утверждения.

Я стараюсь изо всех сил, но не могусоставить последовательное суждение о его истинности. Поскольку, если бы ясделал это, я бы соста­вил суждение о том, что я не могу составить суждение о егоистинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однако вы видите, что оно Истинно, не так лиЭто показывает, что высказывание, по крайней ме­ре, может быть необъяснимым дляодного человека, но самоочевидно Истинным для всех остальных.

В любом случае Пенроуз надеется на новуюфундаментальную те­орию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общуютеорию относительности. Она давала бы новые предсказания, которые можнопроверить, хотя она, безусловно, не противоречила бы ни кван­товой теории, ни теорииотносительности во всех существующих на­блюдениях. (Не существуетизвестных экспериментальных примеров, опровергающих такие теории). Однако мирПенроуза по своей сути весьма отличен от того, что описывает существующаяфизика. Его ос­новнойструктурой реальности является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношенииПенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но,вероятно, не все абстракции(подобные чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором.То, что мы называем физическим ми­ром, является для него вполне реальным (еще одно отличие отПла­тона), но каким-тообразом это является частью самой математики, или вытекает из нее. Более того,в его мире не существует универ­сальности; в частности, не существует машины, способной передатьвсе возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (конечно, в особенностиего математическое основание), тем не менее, остает­ся постижимым. Его постижимостьгарантирована не универсальнос­тью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и недля Платона): математические категории напрямуювзаимодействуют с человеческим мозгом черезфизические процессы, которые еще пред­стоит открыть. Таким образом,мозг, по Пенроузу, занимается матема­тикой, ссылаясь не только на то,что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальностиматематических Форм Платона и может постичь там математические истины (заисключени­ем грубыхошибок) с абсолютной определенностью.

Часто предполагают, что мозг может бытьквантовым компьюте­роми что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть отквантовых вычислений. Возможно, это и так, но я не знаю ни свидетельств, ни убедительныхаргументов в пользу этого. Я став­лю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, являетсяклассическим компьютером. Но этот вопрос не имеет никакого отноше­ния к идеям Пенроуза. Пенроуз недоказывает, что мозг — это новый вид универсального компьютера, который отличается отуниверсаль­ногоквантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вы­числений, которые стали возможнытолько при новой пост-квантовой физике. Он доказывает новую физику, которая небудет поддерживать универсальность вычислений, так что при его новой теориивообще не­возможнобудет объяснять некоторые действия мозга как вычисления.

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 58 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.