WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 58 |

Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил вэту весьма сомни­тельную фантазию (включая самого Платона, который все-таки былочень компетентным философом, считавшим, что публике стоит гово­рить благородную ложь) Тем неменее, поставленная им задача — как мы можем обладать знанием, не говоря уж об определенности,абстрактных категорий — достаточно реальна, а некоторые элемен­ты предложенного им решения с техпор стали частью общепринятой теории познания. В частности, фактически всематематики до сегод­няшнего дня без критики принимают основную идею того, чтомате­матическое инаучное знание проистекают из различных источникови что «особый» источник математического знания даетему абсолют­ную определенность. Сейчас этот источник математики называют ма­тематической интуицией, однако он играетту же самую роль, что и «воспоминания» Платона об области Форм.

Математики много и мучительно спорили отом, открытия каких в точности видов совершенно надежного знания можно ожидатьот на­шейматематической интуиции. Другими словами, они согласны, что математическаяинтуиция — источникабсолютной определенности, но не могут прийти к соглашению относительно того,что она им говорит! Очевидно, что это повод для бесконечных, неразрешимыхспоров.

Большая часть таких споров неизбежнокасалась обоснованности или необоснованности различных методов доказательства.Одно из раз­ногласийбыло связано с так называемыми «мнимыми» числами. Новые Теоремы об обычных,«вещественных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапахдоказательства к свойствам мнимых чисел. Например, таким образом были доказаныпервые теоремы о распределе­нии простых чисел. Однако некоторые математики возражали противмнимых чисел на том основании, что они не реальны. (Современная терминологиявсе еще отражает это старое разногласие даже сейчас, когда мы считаем, чтомнимые числа так же реальны, как и «вещест­венные»). Я полагаю, что учителя вшколе говорили этим математикам, что нельзя извлекать квадратный корень изминус одного, и, поэтому они не понимали, почему кто-либо другой может этосделать. Нет со­мненияв том, что они называли этот злостный порыв «математической интуицией». Однакодругие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимыечисла, и как они согласуются с ве­щественными. Почему, думали они, человеку не следует определятьновые абстрактные категории, имеющие свойства, которые он предпо­читает Безусловно единственнымзаконным основанием запретить это была бы логическая несовместимость требуемыхсвойств. (Это, по су­ществу, современное мнение, выработанное всеобщими усилиями,ма­тематик Джон ХортонКонуэй грубо назвал «Движением Освобождения «Математиков»). Однакообщеизвестно, что никто не доказал и то, что обычная арифметика натуральных чисел являетсясамосогласованной.

Подобным разногласиям подверглась иобоснованность использо­вания бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечномного элементов, и бесконечно малых величин, используемых при ис­числении. Дэвид Гильберт, великийнемецкий математик, предоставив­ший большую часть инфраструктуры как общей теорииотносительнос­ти, таки квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполненабессмыслицами и нелепостями, проистекающими из бес­конечности». Некоторые математики,как мы увидим, вовсе отрицали обоснованность рассуждения о бесконечныхкатегориях. Легкий доступ к чистой математике в девятнадцатом веке мало чтосделал для разре­шенияэтих разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мересвоего усложнения математическое рассуждение неиз­бежно удалялось от повседневнойинтуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых,математики стали более пе­дантичными в отношении доказательств, которые, прежде чем бытьпринятыми, подвергались все более суровым проверкам на соответ­ствие нормам точности. Ново-вторых, изобрели более мощные методы доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощьюсуществующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли какой-точастный метод доказательства, несмотря на свою самооче­видность, абсолютнобезошибочным.

Таким образом, к 1900 году наступил кризисоснов математики, который заключался в том, что этих основ не было. Но что жепро­изошло с законамичистой логики Их перестали считать способными разрешить все математическиеспоры Удивителен тот факт, что те­перь математические споры в сущности и велись о «законах чистойлогики». Первым эти законы привел в систему Аристотель еще в 4 веке до н.э.,тем самым заложив то, что сегодня называют теориейдоказа­тельства. Он допустил, чтодоказательство должно состоять из после­довательности утверждений, котораяначинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемымвыводом. Чтобы последова­тельность утверждений была обоснованным доказательством, каждоеутверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из преды­дущих в соответствии с одним изпостоянного набора законов, называ­емых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм

Все люди смертны.

Сократ — человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, чтоесли в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (какв данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Хесть А» (как в данном случае «Сократ — человек»), то впоследствии вдоказательстве обоснованно появление утверждения «X имеет свой­ство В» («Сократ смертен»), и этоутверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы выражаютто, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими этапы, которые допустимы придоказательстве, такими, что истина посылок переходит к выводам. Кроме того, этиправила можно применить, чтобы опреде­лить, обосновано ли данноедоказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованныедоказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! Апроблема теории Доказательства заключалась в том, что очень небольшоеколичество со­временных математических доказательств выражались в виде чистойпоследовательности силлогизмов; более того, большинство из них не­возможно было привести к такомувиду. Тем не менее, большинство Математиков не могли заставить себя следоватьбукве закона Аристо­теля, так как некоторые новые доказательства казались так жесамо­очевиднообоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли на новый этапразвития. Новые инструменты, такие, как сим­волическая логика и теориямножеств, позволили математикам уста­новить новую связь междуматематическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидныеистины, независимые от клас­сических правил вывода, и, таким образом, классические правилаока­залисьсамоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства былидействительно безошибочными Как нужно было изменить правила вывода, чтобы ониобрели законченность, на кото­рую ошибочно претендовал Аристотель Как можно было вернутьабсо­лютный авторитетстарых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно того,что является самоочевидным, а что бессмысленным

Тем временем математики продолжали строитьсвои абстрактные небесные замки. Для практических целей многие такие строенияказа­лись достаточнонадежными. Некоторые из них стали необходимы для науки и техники, а большинствообразовало красивую и плодотворную структуру. Тем не менее, никто не моггарантировать, что вся эта структура, или какая-то существенная ее часть, неимела в своей осно­велогического противоречия, которое буквально лишило бы ее всякого смысла. В 1902году Бертран Рассел доказал несостоятельность схе­мы строгого определения теориимножеств, которую только что пред­ложил немецкий логик Готлоб Фреге. Это не значило, что эта схеманепременно была необоснованной для использования множеств в дока­зательствах. На самом деле совсемнемногие математики всерьез счи­тали, что хоть какой-то из обычных способов использованиямножеств, арифметики или других ключевых разделов математики может бытьнеобоснованным. В результатах Рассела поражало то, что математики верили, чтоих предмет является par excellence средством получения абсолютной определенности черездоказательство математических тео­рем. Сама возможность разногласий относительно обоснованностираз­личных методовдоказательства подрывала всю суть (как считалось) предмета.

Поэтому многие математики чувствовали, чтоподведение под те­ориюдоказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы былонасущным делом, не терпящим отлагательства. Они хотели объединиться после своихопрометчивых выпадов, чтобы раз и навсегда определить, какие видыдоказательства являются абсолютно надежны­ми, а какие нет. Все, чтооказалось вне зоны надежности, можно было бы отбросить, а все, что попадало вэту зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.

В этой связи голландский математик ЛейтзенЭгберт Ян Брауэр пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теориидока­зательства,известную как интуиционизм,которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать«интуицию» самым ограниченным постижимым образом, оставляя лишь то, что онисчитают ее неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они под­нимают таким образом определеннуюматематическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял себеПлатон: они считают ее более веской, чем даже чистая логика. Таким образом, онисчитают саму логику ненадежной, за исключением тех случаев, когда еедо­казывает прямаяматематическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметьпрямую интуицию какой-либо беско­нечной категории. Следовательно, они отрицают существование любыхбесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Высказываниео том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бысамоочевидно ложным. А высказывание о том, что «существует больше средКантгоуту, чем физически возможных сред», — абсолютнобессмысленным.

Исторически интуиционизм, равно как ииндуктивизм, сыграл цен­ную освободительную роль. Он осмелился подвергнуть сомнениюпо­лученныеопределенности —некоторые из которых действительно ока­зались ложными. Но как позитивнаятеория о том, что является или не является обоснованным математическимдоказательством, он и гроша ломаного не стоит. В действительности интуиционизм— это точноевыражение солипсизма в математике. В обоих случаях наблюдается Чрезмернаяреакция на мысль о том, что мы не можем быть увере­ны в том, что нам известно о болееотдаленном мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйтиво внутренний мир, который мы, предположительно, можем познать напрямую, иследова­тельно (),можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях решение заключается вотрицании существования — или, по крайней Мере, в отказе от объяснения — того, что находится вовне. И вобо­их случаях этототказ также делает невозможным объяснение большей Части того, что находитсявнутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (какутверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных чисел,то можно сделать вывод, что может существовать только конечное множество такихчи­сел. А сколько ихможет быть И потом, сколько бы их не было, почему нельзя создать интуициюследующего натурального числа, превышаю­щего последнее Интуиционистыоправдались бы в этом случае, ска­зав, что приведенный мной аргумент допускает обоснованностьобыч­ной логики. Вчастности, он содержит процесс вывода: из факта, что не существует бесконечномного натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать какое-токонкретное количество натураль­ных чисел. Применяемое в данном случае правило вывода называетсязаконом исключенного третьего. Этот закон гласит, что для любого вы­сказывания Х (например,«существует бесконечно много натуральных чисел»), не существует третьейвозможности кроме истинности Х и ис­тинности отрицания Х («существует конечное множество натуральныхчисел»). Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенноготретьего.

Поскольку в разуме большинства людей самзакон исключенно­готретьего подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественно вызывает унеинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевид­на надежность интуицииинтуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит излогической интуиции, онпри­водит нас кпересмотру вопроса о том, действительно ли математи­ческая интуиция превосходитлогику. В любом случае может ли это превосходство быть самоочевидным

Но все это направлено на критикуинтуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнутьвообще. Если кто-либо настаивает, что для него очевидно самосогласованноевыска­зывание, какесли бы он настаивал на том, что существует только он один, доказать егонеправоту невозможно. Однако, как и в случае с со­липсизмом, воистину роковая ошибкаинтуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда еговсерьез принима­ют, наего же собственной основе, в качестве объяснения своего соб­ственного, произвольно усеченногомира. Интуиционисты верят в ре­альность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3...., идаже 10949769651859. Но интуитивный аргумент, что поскольку за каждым из этихчисел следует еще одно, значит, они образуют бесконечную последовательность,Интуиционисты считают не более чем самообма­ном или искусственностью ибуквально несостоятельным. Но усиливая связь между своей версией абстрактных«натуральных чисел» и ин­туицией, что первоначально эти числа должны были бытьформализо­ваны,интуиционисты также сами отрицают обычную объяснительную структуру, черезкоторую понимают натуральные числа. Это вызывает проблему для каждого, ктопредпочитает объяснения необъясненным усложнениям. Вместо того чтобы решить этупроблему, предоставив для натуральных чисел альтернативную или более глубокуюобъяс­нительнуюструктуру, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делалисолипсисты: он еще дальше уходит от объ­яснений. Он вводит дальнейшиенеобъясненные усложнения (в данном случае отрицание закона исключенноготретьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволитьинтуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников былиистинными, но не делая из этого никаких выводов относительнореальности.

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 58 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.