WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

ПРИЛОЖЕНИЕ

9. Релятивистские эффекты при движении двух тел
в центральном поле

Как показано в [1], скорость распространения взаимодействий между телами, движущимися в центральном поле, в конкретной системе двух тел массами М1 и М2 равна um = cβm, где с - скорость света в вакууме, а величина βm определяется соотношением (3.4).

Взаимодействие двух тел является центральным, то есть осуществляется по пространственной линии, соединяющей в любой момент времени центры масс и зарядов тел.

Рассматривая взаимодействие двух заряженных тел в центральном поле, мы используем основной принцип, обсуждаемый в §3 и состоящий в превращении потенциальной энергии взаимодействия тел в кинетическую энергию их движения. Применяя этот принцип для случая релятивистского движения тел и используя при определении относительной скорости релятивистский закон сложения скоростей, в [1] проведено аналитическое исследование характеристик движения заряженных тел (скорости, ускорения, времени движения) в центральном поле.

Не повторяя выводов соотношений для относительной скорости и времени взаимного движения тел, приведем здесь основные соотношения для случаев расходящегося и встречного релятивистского движения тел.

При расходящемся движении тел, которое реализуется при условии

(9.1)

относительная скорость

, (9.2)

а относительное время

, (9.3)

где: - в случае преимущественного взаимодействия одноименных электрических зарядов тел,

- в случае преимущественного взаимодействия одноименных магнитных зарядов тел,

(τ - время движения, ro - начальное расстояние между телами).

При встречном движении тел, которое реализуется при условии

(9.4)

(или если заряды тел разноименны) относительная скорость

, (9.5)

а относительное время движения

, (9.6)

где: при сближении под действием гравитации.

Как видно из приведенных релятивистских зависимостей, относительная скорость и относительное время движения зависят от величины электрических и магнитных зарядов тел, интенсивности гравитационного взаимодействия между телами и относительного расстояния между ними.

При расходящемся движении интервал движения неограничен и относительное расстояние изменяется от ρ = 1 до ρ → ∞, причем ro = r1 + r2, где r1 и r2 - радиусы заряженных тел. При встречном движении интервал движения ограничен расстоянием от начала движения ro до столкновения тел, при этом относительное расстояние изменяется от ρ = 1 до ρ = 0.

На рис. 2 и 3 показан вид зависимостей относительной скорости тел от расстояния между телами для расходящегося (рис.2) и встречного (рис.3) движения тел в центральном поле. Как видно из рисунков, в начале движения относительная скорость увеличивается, достигает максимума при некотором значении относительного расстояния ρm, а затем уменьшается. Как показано в [1], при расходящемся движении и ρ → ∞, относительная скорость при заданных Q и N уменьшается от максимальной до значения

Рис.2. Зависимости β = f ( N, Q, ρ ):

1 ‑ Q = 3,535, N = 0;005

2 ‑ Q = 7,071, N = 0,02;

3 ‑ Q = 3,162, N = 0,1;

4 ‑ Q = 1,4142, N = 0,5.

, (9.7)

если при этом для тел с относительной массой 0,25 < N < 1 не произойдет на границе ρmin переход к орбитальному движению одного из тел вокруг другого тела.

При встречном движении тел относительная скорость уменьшается от максимальной до нуля (столкновение тел), если при этом для тел с относительной массой N < 0,041 не произойдет на границе ρmin переход к орбитальному движению тела меньшей массы вокруг тела большей массы.

Как показал анализ соотношений (9.2) и (9.5), координата максимума относительной скорости при расходящемся движении тел

, (9.8)

а при встречном движении тел

. (9.9)

Из этих соотношений видно, что при расходящемся движении Q > 1, а при встречном движении Q может приминать любые положительные значения.

Такой характер изменения относительной скорости при расходящемся и встречном движении заряженных тел обусловлен взаимодействием их электрических, магнитных и гравитационных зарядов. В самом деле, расходящееся движение двух заряженных тел возможно лишь в том случае, если выполняется условие (9.1), которое предполагает существование и в какой-то момент времени разделение двух одноименно заряженных тел, затем тела удаляются друг от друга со все возрастающей относительной скоростью (в результате взаимодействия одноименных электрических и магнитных зарядов тел). На некотором относительном расстоянии ρm между телами их относительная скорость достигает максимального значения βm, которое зависит лишь от относительной массы тел. При дальнейшем движении относительная скорость постепенно уменьшается до значения, определяемого соотношением (9.7). Уменьшение относительной скорости на интервале движения ρ > ρm обусловлено тормозящим действием гравитации на относительную скорость движения.

Аналогично, теми же причинами обусловлен характер распределения относительной скорости при встречном движении тел (рис.3). В самом деле, если на расстоянии ro (ρ = 1) между двумя заряженными телами начнется гравитационное взаимодействие, то по мере сближения тел их относительная скорость будет увеличиваться на интервале движения от ρ = 1 до ρm. Затем, достигнув максимума, относительная скорость тел начнет постепенно уменьшаться и станет равной нулю при столкновении тел. Уменьшение относительной скорости на интервале движения ρ > ρm обусловлено тормозящим действием электрических и магнитных одноименных зарядов тел на их относительное движение.

Заметим, что зависимости (9.2), (9.3), (9.5), (9.6) применимы для расчета относительной скорости и времени при любых, а не только релятивистских, скоростях движения тел. Например, для случая гравитационного захвата при встречном движении, происходящего при относительной скорости тел, намного меньшей скорости света, простые зависимости для расчета относительных характеристик движения (скорости, времени сближения) получаются, если в качестве характерного масштаба скорости принять среднюю орбитальную скорость, а в качестве характерного масштаба расстояния - большую полуось орбитального эллипса [1]. При этом вид распределения относительной скорости в зависимости от относительного расстояния между телами при гравитационном захвате аналогичен показанному на рис.3.

Продолжая далее анализ релятивистского движения двух тел в центральном поле, рассмотрим вид преобразований, аналогичных преобразованиям Лоренца. Как известно [2], преобразования Лоренца для случая движения одной системы координат с постоянной скоростью относительно другой системы координат имеют вид

(9.10)

где: x - координата в направлении оси X в инерциальной системе координат К,

x' - координата в направлении оси X' в инерциальной системе координат К',

τ, τ' - время, измеряемое в системах координат К и К', соответственно,

V - постоянная скорость системы координат К' относительно системы координат К

В случае движения двух тел в центральном поле координаты их изменяются вдоль оси r, а скорость распространения взаимодействий um = cβm, поэтому преобразования, аналогичные (9.10), будут иметь вид

(9.11)

где: r - координата в направлении оси r в системе координат, связанной с одним из движущихся тел,

r' - координата в направлении оси r в системе координат, связанной со вторым движущимся телом,

τ - время, измеренное в системе координат, связанной с одним из движущихся тел,

τ' - время, измеренное в системе координат, связанной со вторым движущимся телом,

V = cβ - относительная скорость движения тел в центральном поле,

γ - пока неизвестный множитель.

Подставив (9.11,2) и (9.11,3) в (9.11,1) или осуществив подстановки двух соответствующих соотношений в любое, произвольно выбранное соотношение, получим

, (9.12)

то есть соотношение, аналогичное релятивистскому множителю для случая относительного движения двух систем отсчета, но имеющее совсем другое содержание, так как в соответствии (9.12) относительная скорость V = cβ зависит от относительного расстояния ρ между телами. Назовем величину γ также релятивистским множителем и исследуем его изменение в зависимости от изменения относительной скорости β.

В безразмерном представлении преобразования (9.11) будут иметь вид

(9.13)

где:

(9.14)

Поскольку соотношения (9.2) и (9.5) для расходящегося и встречного движения тел имеют разный вид, то следует ожидать, что функции γ = f(ρ) будут разными для этих случаев движения. Подставив (9.2) в (9.14), получим для расходящегося движения

. (9.15)

На рис.4а показаны зависимости γр = f(ρ) для разных значений параметра Q при расходящемся движении тел. Дифференцируя (9.15) по ρ и приравнивая производную нулю, найдем, что координата экстремума функции γ = f(ρ) совпадает с координатой максимума функции β = f(ρ) (зависимость 9.8) Дважды дифференцируя (9.15) по ρ убеждаемся, что в точке ρ = ρm функция γр = f(ρ) имеет минимум, причем при ρ = ρm    γр = 0. Заметим, что относительные скорость и время движения в этой же точке имеют конечные значения βm и tm, где tm определяется из соотношения (9.3) при ρ = ρm.

Продолжим далее анализ зависимости (9.15).

При ρ = 1 (начало расходящегося движения) γρ = 1.

При ρ → ∞ γρ →.

При Q = 1 γρ =.

При Q → 0 γρ → 1.

При Q >> 1 γρ → 1.

Подставив (9.5) в (9.14) получим для встречного движения

. (9.16)

На рис.4б показан вид зависимостей γв = f(ρ) для разных значений параметра Q при встречном движении тел. Дифференцируя (9.16) по ρ и приравнивая производную нулю, найдем, что координата экстремума функции γв = f(ρ) совпадает с координатой максимума функции β = f(ρ) (зависимость 9.9). Дважды дифференцируя (9.16) по ρ, убеждаемся, что в точке ρ = ρm функция γв = f(ρ) имеет минимум, причем при ρ = ρm    γв = 0. Отметим, что относительные скорость и время движения в этой точке имеют конечные значения βm и tm, где tm определяется из соотношения (9.6) при ρ = ρm.

Анализ зависимости (9.16) показывает, что при ρ = 1 (начало встречного движения) и ρ = 0 (столкновение тел) γв = 1.

При Q → 0 γв → 1.

При Q = 1 γв =.

При Q << 1 γв =.

При Q >> 1 γв → 1.

При анализе релятивистских эффектов, в определенных условиях сопутствующих движению двух тел в центральном поле, крайне важно ответить на вопрос: почему преобразование скорости, ранее применявшееся только для случая движения инерционных систем с постоянной скоростью относительно друг друга, применимы при движении двух тел в центральном поле, то есть в случае взаимного движения тел с переменной скоростью

Для ответа на этот вопрос повторим, следуя [2], вывод закона сложения релятивистских скоростей.

Пусть система К' движется относительно системы К с постоянной скоростью вдоль оси X. Пусть есть компонента скорости тела в системе К, а - компонента скорости того же тела в системе К'. Тогда из (9.10) имеем

(9.17)

откуда

. (9.18)

Разделив числитель и знаменатель правых частей этих равенств на dτ' получим

. (9.19)

Зависимости (9.19) представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности.

В релятивистский закон сложения скоростей две складываемые скорости V и входят несимметричным образом, что связано с некоммутативностью преобразований Лоренца.

В частном случае движения тел параллельно или вдоль оси X и, следовательно, и релятивистский закон сложения скоростей примет вид

, (9.21)

где и - некие переменные, представляющие собой отношение бесконечно малого изменения координат dx и dx' к бесконечно малым промежуткам времени dτ и dτ', соответственно и, таким образом, являющимися функциями времени.

Последнее легко доказывается с помощью тождества

. (9.21)

Если в этом тождестве предположить, что x -постоянная величина, то в результате дифференцирования будем иметь скорость Vx равной нулю, то есть принятое предположение приводит к абсурдному результату. Следовательно, координата x есть функция времени τ и тогда Vx - переменная величина, которая также является функцией времени. Впрочем, это же следует из преобразований (9.10), из которых видно, что координата x является функцией координаты x' и времени τ'.

Обратим внимание на то, что в зависимости (9.20) одна из этих переменных величин складывается с некоторой постоянной величиной V, при этом несимметричность и некоммутативность закона сложения скоростей сохраняются.

В случае движения двух тел в центральном поле скорость тела 2 в системе координат, связанной с телом 1

, (9.22)

а скорость тела 1 в системе координат, связанной с телом 2

, (9.23)

где: величины А и В определяются зависимостями (3.3),

функция - при расходящемся движении тел,

функция - при встречном движении тел.

Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей двух тел, движущихся в центральном поле, будет иметь вид

. (9.24)

В этом случае мы также используем релятивистский закон сложения скоростей для определения относительной скорости, зависимости (9.2) и (9.5), но при этом складываем две переменные, зависящие от координаты ρ, а, следовательно, и от времени движения, поскольку время движения зависит от координаты ρ, зависимости (9.3) и (9.6). При таком сложении переменных V1 = f(ρ) и V2 = f(ρ) имеет место симметричность и коммутативность закона сложения скоростей.

Симметричность складываемых скоростей следует из самой постановки задачи о движении двух тел в центральном поле, при которой векторы обеих скоростей направлены вдоль одной линии, но либо в разные стороны от некоторой начальной точки (расходящееся движение), либо навстречу друг другу. Коммутативность слагаемых скоростей легко проверить, подставляя (9.22) и (9.23) в (9.24).

При движении двух тел в центральном поле компоненты 4-х вектора Ai(i = 1, 2, 3, 4) преобразуются следующим образом

(9.25)

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.