WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 2 Границы существования континуального трехмерного биполярона © В.К. Мухоморов Агрофизический научно-исследовательский институт, 195220 Санкт-Петербург, Россия E-mail: ivl@agrophys.spb.su (Поступила в Редакцию 22 марта 2001 г.

В окончательной редакции 4 июня 2001 г.) Определены область существования трехмерного биполярона в пространстве координат / иконстанты электрон-фононного взаимодействия. В основу определения допустимых границ, положено требование появления первого связанного состояния двух поляронов. Критерии, определяющие появление первого связанного состояния, находятся из решения интегрального уравнения, соответствующего уравнению Шредингера, описывающему собственные колебательные состояния биполярона. Для выделения колебательного уравнения из общего электрон-фононного гамильтониана используется метод канонических преобразований координат Боголюбова–Тябликова.

В последнее время проблема существования биполя- жить исходный гамильтониан в ряд по малому параронных образований широко обсуждается в литерату- метру, а также построить непротиворечивую схему поре [1–9]. Имеются экспериментальные подтверждения следовательных приближений для энергии и волновой существования биполяронов в органических соединени- функции.

ях [10–12], в расплавленных солях [13], в аммиачных Гамильтониан описывающий состояния двух электросистемах [14,15]. При этом в теоретических работах в нов в поляризующейся среде в приближении эффективоснову критерия существования полагается выполнение ной массы электрона m, имеет обычный вид требования положительности энергии связи биполярона F = 2Fp - Fbp, где Fbp — полная энергия синглетного 2 биполярона, Fp — полная энергия полярона в основ- H = - (2 + 2 ) + Vfeifrj bf - Vfe-ifrj b+ f 2m r1 r2 j=1,2 f, ном 1s-состоянии. Энергии отсчитываются от дна зоны проводимости. Обычно из этого условия определяются 1 e2 границы существования трехмерного биполярона либо + f b+bf + bfb+ +, (1) f f 2 |r1 - r2| по величине константы электрон-фононной связи, либо f по диэлектрическим свойствам полярной среды. Однако требование положительности величины энергии связи где является необходимым, но не достаточным. Для суще1/ствования биполяронных образований требуется наличие f 4 2mf 1/Vf = i, u =, хотя бы одного связанного состояния в биполяронной |f|u1/потенциальной яме. Это особенно важно вблизи критических значений параметров, когда энергия связи бипо = e2u/2 f — константа электрон-фононной связи, лярона стремится к нулю.

f — частота продольных оптических фононов, и В настоящей работе определяются границы облаs — высокочастотная и статическая диэлектрические сти существования трехмерного биполярона из усло-1 -проницаемости среды, -1 - - s, — объем вия появления первого связанного состояния двух поосновной области. Суммирование выполняется по всем ляронов в биполяронной потенциальной яме. Для ревекторам в первой зоне Бриллюэна. Следуя [16,17], ввешения этой задачи необходимо сначала выделить из дем формально малый параметр, такой что f = 2f.

полного гамильтониана электрон-фононной системы гаЭтот подход справедлив для величин констант связи мильтониан, описывающий основной терм биполяро >1 [18].

на, а затем найти гамильтониан относительного двиДля дальнейшего изложения удобно перейти от опежения поляронов в биполяронном потенциале. Решить раторов bf и b+ к комплексным переменным координат f эту задачу можно, воспользовавшись методом канофононного поля qf и сопряженным им импульсам pf нических преобразований координат к коллективным переменным [16,17], позволяющим отделить внутрен b+ =(q-f)/ - i pf/ 2, ние трансляционно-инвариантные степени свободы от f движения системы как целого. В результате применения этого метода снимается вырождение относительно группы трансляций и появляется возможность разло- bf =(qf/ + i p-f)/ 2. (2) Границы существования континуального трехмерного биполярона Учитывая (2), гамильтониан (1) преобразуем следую- получим для гамильтониана ряд разложения по малому щим образом: параметру H = - 2 +2 + Wf Mf(1, 2)eifH = - (2 + 2 ) + Wf eifrj qf 2m 1 2 2m r1 r2 j=1,f f, e1 e+ Mf(2, 1)e-if2 +c. c. + + f(qf q-f + 4 pf p-f) +, (3) |+1-2| 2 |r1 - r2| f + f u-f(1)Mf(1, 2) +u-fMf(2, 1) где используется обозначение f i 4e2 f 1/ Wf =.

+ QfWf Nfeif1 + Nfeif2 + c. c.

|f| f Введем также новые переменные + fQf u-f(1)Nf + uf(2)Nf + c. c r1 = R1 + 1, r2 = R2 - 2, (4) + fQfQ-f (Nf + Nf) где R1 и R2 — координаты центров тяжести поляри- f зационных потенциальных ям, 1 и 2 — координаты 2if 2if электронов, описывающие высокочастотные осцилляции + Pf + Ff(R, ) P-f- F-f(R, ) электронов в поляронных потенциальных ямах и отсчитывающиеся от центров тяжести первого и второi3 2if го поляронов соответственно. В дальнейшем удобно + ff Pf + Ff(R, ) G-f(1, 2) перейти к координатам центра инерции системы R и f относительного движения поляронов 2if - Gf(1, 2) Pf + Ff(R, ) 1 r1 = R + - 1, r2 = R - - 2. (5) 2 ff + 24 Gf(1, 2)G-f(1, 2) +...

Таким образом, движение взаимодействующих поляf ронов будет складываться из поступательного движения всей системы и из колебательного движения поляронов = H0 + H1 + 2H2 + 3H3 + 4H4 +..., (7) друг относительно друга около их положения равновесия. Вместо переменных qf введем новые фононные где введены следующие обозначения:

координаты Qf, описывающие квантовые флуктуации фононного поля вблизи его классических значений uf (1) Ff(R, ) =wI + zJ, Gf = 2(yP1 + xP2), f f f f и uf (2) [19], w = (y + x), z = y - x, f f f f f f e-i fR qf = uf(1)e-i f /2 + uf(2)eif/2 I = 2PR, J = 2P, y = f(1) exp(-if/2), x = f(2) exp(if/2), f f + Qf ei f /2 + e-i f /2. (6) PR = -i /R, P = -i /, Pf = -i/Qf, Выражение (6) позволяет выделить две независимые Nf = 1 + exp(if), Nf = N-f, классические составляющие поля uf (1) и uf (2), движуMf(1, 2) =uf(1) +uf(2) exp(if), щиеся вместе с электронами. Эти комплексные числа удовлетворяют условию действительности u- f = u.

f Mf(2, 1) =uf(2) +uf(1) exp(-if), Преобразования координат (5) и (6) выделяют транс- Pf = exp(if/2) Pf - ff(1) kMf(1, 2)Pk ляционную координату и приводят к инвариантности k гамильтониана (3) относительно операции трансляции.

Перейдем в гамильтониане (3) от переменных r1, r2, + exp(-if/2) Pf - ff(2) kMf(2, 1)Pk.... (8) qf к новым переменным R,, 1, 2, Qf. Замена k координат в соответствии с (5) и (6) позволяет развить схему последовательных приближений для двухэлек- Как известно [16,17], регулярное уравнение Шрединтронной задачи, строго учитывая закон сохранения пол- гера с гамильтонианом (7) может существовать только в ного импульса системы. В результате замены координат том случае, если 0|H1|0 обращается в нуль. Из этого Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 234 В.К. Мухоморов условия обычно определяются неизвестные комплексные используя вариационный принцип и минимизируя эквивеличины uf (1) и uf (2), на которые для усреднения валентный уравнению (13a) функционал. В предельном лишних степеней свободы, появляющихся при введении приближении продольных длинноволновых оптических координат (4) и (5), накладываются шесть дополнитель- фононов (f = 0) функционал низшего электронных условий ного состояния биполярона будет иметь следующий вид [19,20]:

ff(1) qf exp if R + - uf(1) = 0, f E0() = - ( /2m) 0(1, 2)(2 + 2 ) 1 ff(2) qf exp if R - - uf(2) = 0, 0(1, 2)d1d2 - (e2/) f 2 = x, y, z, (9) 0(1, 2)0( 1, 2) |1 - 1|-причем без ограничения общности можно допустить, что f (i) и uf (i) удовлетворяют следующим линейным + |1 - - 1|-1 + |2 - - 2|-условиям ортогональности:

+ |2 - 2|-1 d1d2d1d2 +(e2/) f ff(1) uf(1) +uf(2) exp(-if) =, f 0(1, 2) |(1--2)|-1 d1d2. (15) f ff(2) uf(2) +uf(1) exp(-if) =. (10) При энергия E0() стремится к удвоенной энерf гии полярона. Выбор волновой функции и минимизация Числа uf (1) и uf (2) минимизируют потенциальную энерэтого функционала методом промежуточной электронгию перенормированных фононов. Введенные преобрафононной связи [21] при дополнительных условиях норзования позволяют разложить уравнение Шредингера мированности волновой функции и выполнении теоремы рассматриваемой системы в ряд по степеням параметра вириала для каждого были проведены в [22]. В работах [20,22] в рамках метода Гайтлера–Лондона с учетом (H - E) = (H0 + H1 + 2H2 + 3H3 +... - E). (11) межэлектронных корреляций было показано что трехмерный синглетный биполярон является двухцентровым Волновую функцию и энергию E ищем также в виде образованием и минимум полной энергии достигается разлложения в ряд по теории возмущений при некотором конечном равновесном расстоянии 0, E = E0 + E1 + 2E2 + 3E3 +..., (12a) около которого осуществляется колебательное движение двух связанных поляронов.

=0 + 1 + 22 + 33 +.... (12b) Из системы уравнений (13) находим первую поправку к волновой функции Подставляя (12a) и (12b) в (11) и объединяя слагаемые при одинаковых степенях, получаем систему уравнений 1 = 0(1, 2; )(H0 - E0)0 = 0, (13a) |H1|j + (1, 2; )0, (16) E0 - Ej j (H0 - E0)1 =(E1 - H1)0, (13b) j= (H0 - E0)2 =(E2 - H2)0 +(E1 - H1)1,.... (13c) где 1 — некоторая функция координат Qf, ортогональГлавным членом разложения, несущим нетривиальную ная 0.

информацию о системе, является гамильтониан H0.

Подставляя с учетом (16) волновую функцию (12b) Основной эффект взаимодействия частиц и поля свов разложение (11) и раскрывая векторы Ff, можно дится к возникновению для каждой из частиц поляриполучить уравнение, описывающее относительное двизационной потенциальной ямы. Учитывая, что в нулевом жение поляронов с приведенной массой m, движение приближении H0 зависит только от переменных 1 и 2 биполярона как целого с эффективной массой mR и и от координаты как от параметра, волновую функцию движение новых фононов, нулевого приближения 0 можно записать в мультипликативной форме P2 R P2 + +E0()+ f(Q fQ -f+f -f) 2m 2mR 0 = 0(1, 2; )(, R, Qf ). (14) f 0|H1| |H1|j j Основной терм синглетного биполярона можно найти, + 0 =W(, R, Qf )0, (17) E0 - Ej решая интегродифференциальное уравнение (13a) либо j Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Границы существования континуального трехмерного биполярона Параметры уравнения (24) где 0,, -V0, m, / -1( /2m0)1/2 2(2m0/ ) 22 0 4m Q f =QfNf, f = f(1) exp(if/2)+f(2) exp(-f/2), 1.00 5.0 3.65 · 10-2 2.000 · 10-2 0.f(1) =f - ff(1) kMk(1, 2)k, 1.05 5.5 0.1357 1.250 · 10-2 0.k 1.08 5.75 0.2421 7.340 · 10-3 0.1.10 6.5 0.2833 1.0673 · 10-3 0.f(2) =f - ff(2) kMk(2, 1)k.

1.12 7.43 0.7940 2.5848 · 10-3 0.k Импульс PR, кононически сопряженный координате R, является интегралом движения (полный импульс системы). Поскольку зависимость от R входит только в опеи средняя величина r12 оказывается у этих авторов маратор кинетической энергии, уравнение движения центра ло чувствительной к диэлектрическим свойствам среды.

тяжести биполярона выделяется из уравнения (17). ТаВ результате таких расчетов получаются парадоксальные ким образом, переменная R является циклической перерезультаты [24–26]: энергия связи биполярона с увеменной и связана только с трансляционным движением личением отношения / монотонно уменьшается, а биполярона как целого с эффективной массой mR.

размер биполярона остается постоянным во всем допуУчитывая, что основной вклад в суммы по f вносят стимом диапазоне /. Кроме того, в данной схеме значения |f| -1, можно принять |f||| 1, и, при сближении поляронов энергия отталкивания обраследовательно, экспонентой exp(if) в (17) можно прещается в бесконечность, хотя при сближении центров небречь, так как она является быстро осциллирующей.

тяжести поляронов в одну точку ( = 0) совсем не Это позовляет разделить переменные и Qf в (17) и обязательно r12 = 0, так как межэлектронное расстояние тем самым выделить уравнение, описывающее относиопределяется расстоянием |1 - 2|. Такая ситуация тельное движение поляронов с приведенной массой m, напоминает модель атома гелия. По-видимому, количественные результаты, получаемые в теории биполярона, P построенной на гамильтониане (1) только в координатах + E0() () =W(). (18) 2m r1 и r2, не позволяют корректно выявить все особенности строения трехмерного биполярона.

Электронный терм E0(), играющий роль потенциала Для того чтобы определить критические значения взаимодействия, зависит от диэлектрических свойств cr при фиксированных значениях /, перейдем от среды (через отношение /) как от параметров, а дифференциального уравнения (18) к интегральному.

также от величины константы электрон-фононного взаиПредварительно проведем замену () = u()/ и модействия [22]. Как показал анализ, энергия связи бивведем новую переменную x = - полярона уменьшается с увеличением отношения /, которое ввиду F 0 достигает своего предельно d2u 2m 2 2m допустимого значения: 1.13 по данным [19,22,23] и 1.15 + V0e-x u + Wu = 0. (19) dx2 по расчетам [24].

Используя результаты работы [22], определим из уравПринимая во внимание, что u(x = 0) =u(x = ) =0, нения (18), при каких критических значениях cr для а также учитывая интегральное соотношение фиксированного отношения / появляется первое x x x связанное состояние в биполяронной потенциальной яме.

Для этого учтем, что вблизи минимума межполяронный dx dx... f (x) dx потенциал E0() надежно аппроксимируется гауссовской x0 x0 xформой V0 exp[-(-0)2]. За нуль отсчета энергии приx нималась удвоенная энергия полярона. В таблице при= (x - z)n-1 f (z) dz, (20) ведены параметры межполяронного потенциала вблизи (n - 1)! xего минимума. С увеличением отношения / межполяронное равновесное расстояние 0, характеризуюдифференциальное уравнение (19) можно свести к безщее средний размер биполярона, монотонно возрастает размерному интегральному уравнению типа Фредгольма (см. таблицу), и это является естественным следствием ослабления межполяронной связи. Этот результат впол- x 2mV0 2mW не логичен. Однако в литературе (см., например, [24–26]) u(x) = zu(z) exp(-z2) + dz 2 встречается утверждение, что размер биполярона можно охарактеризовать средним расстоянием r12, которое фактически является межэлектронным расстоянием (1).

2mV0 2mW Но межэлектронное расстояние и межполяронное рас+ x u(z) exp(-z2) + dz. (21) 2 стояние являются далеко не одним и тем же параметром, x Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 236 В.К. Мухоморов Здесь был совершен переход к новой переменной z = x. Появлению первого связанного состояния биполярона, лежащего ниже экранированной кулоновской асимптотики межполяронного потенциала, будет соответствовать такое cr, при котором W начинает обращаться в нуль [27]. Далее, используя подстановку u(z) =w(z) exp(z2/2), уравнение (21) можно привести к симметричному виду 2mV w(z) = K(z, t)w(t) dt, (22) где ядро уравнения записывается теперь следующим образом:

t exp[-(z2 + t2)/2], t < z, K(z, t) = (23) z exp[-(z2 + t2)/2], t > z.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.