WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 2 Аномалии в спектре собственных электромагнитных волн в анизотропных пластинах © В.И. Альшиц, В.Н. Любимов Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова Российской академии наук, 117333 Москва, Россия E-mail: alshits@ns.crys.ras.ru (Поступила в Редакцию 5 апреля 2002 г.) Исследована радикальная перестройка спектра собственных электромагнитных волн в анизотропных пластинах оптически двуосных и одноосных кристаллов при небольших отклонениях направления распространения от симметричной ориентации. Если сагиттальная плоскость и грани пластины являются плоскостями симметрии тензора диэлектрической проницаемости, то существует четыре независимых семейства объемных собственных волн, каждое из которых характеризуется бесконечной последовательностью дисперсных кривых. Кривые независимых семейств пересекаются, образуя сетчатую структуру. В результате возмущений, при которых сагиттальная плоскость и грани пластины перестают быть плоскостями симметрии, происходит взаимодействие волн, принадлежащих различным семействам, возникают моды смешанных поляризаций, а дисперсионные кривые расталкиваются: точки пересечения исчезают. В окрестности таких точек даже небольшие изменения частоты приводят к резким изменениям поляризации волновых полей.

Подобно тому как натянутая струна имеет характер- 1. Четыре независимых семейства ные собственные частоты звучания, анизотропная криобъемных собственных волн сталлическая пластина имеет бесконечный набор собственных электромагнитных волн. Свойства этих волн Рассмотрим анизотропную пластину толщиной 2d, вызависят от компонент тензора диэлектрических прони- резанную из оптически двуосного кристалла, грани коцаемостей кристалла, от ориентации поверхностей торой параллельны плоскостям симметрии оптических пластины относительно кристаллографических осей, от свойств кристалла, характеризуемых тензором диэлекконкретных граничных условий на этих поверхностях трической проницаемости (рис. 1, a). С обеих сторон и от направления распространения. Используя стан- пластина граничит с изотропной средой, определенной диэлектрической проницаемостью. Все свойства дартные положения кристаллооптики [1–3], исследуем собственных электромагнитных волн в такой пластине далее собственные волны в анизотропных пластинах определяются уравнениями Максвелла и стандартными оптически двуосных и одноосных кристаллов и опишем граничными условиями.

ситуации, при которых даже очень небольшие изменения Электрическая компонента волнового поля в пластине в условиях распространения приводят к радикальным и в прилегающий к ней изотропной среде может быть изменениям в структуре волновых полей и как следствие записана в следующем виде:

в структуре дисперсионных кривых.

Если сагиттальная плоскость (плоскость волновых E(x, y, z ; t) =E(z ) векторов) и грани пластины являются плоскостями симметрии тензора диэлектрической проницаемости, exp i n(x cos + y sin ) - t. (1) то существует четыре независимых семейства объемных c собственных волн, каждое из которых характеризуется бесконечной последовательностью дисперсионных криЗдесь x, y, z — координаты текущей точки (оси коордивых, а каждой кривой отвечает характерная поляризация нат направлены вдоль главных осей тензора, так что волнового поля. Кривые независимых семейств пересеi j = ii j); t — время; — частота; c — скорость каются, образуя сетчатую структуру. Возмущения, при света в вакууме; n = c/v; v — скорость распространения которых сагиттальная плоскость и грани перестают быть волнового поля; угол задает направление распростраплоскостями симметрии, приводят к взаимодействию нения. Магнитная компонента поля H(x, y, z ; t) имеет волн, принадлежащих различным семействам, возник- вид, аналогичный (1).

новению мод смешанных поляризаций и расталкиванию В условиях, когда грани пластины параллельны плосдисперсионных кривых в точках пересечения. В окресткостям симметрии, при любом направлении распроности этих точек даже небольшие изменения частоты странения (любом значении угла ) рассматриваемые приводят к резким изменениям поляризации волно- волновые поля существуют в виде двух независимых вых полей. Это явление и будет далее аналитически семейств. Во-первых, как симметричные по электриописано. ческим компонентам волнового поля и одновременно Аномалии в спектре собственных электромагнитных волн в анизотропных пластинах волнового поля, и для параметров n± = n±(n2 будут ) конкретизированы далее.

Волновое поле в прилегающей изотропной среде при z d описывается формулой (1), в которой следует положить E(z ) =E1 exp(-pz /c), p = p(n2) = n2 -. (5) Здесь E1 — вектор поляризации, p — параметр локализации волнового поля в изотропной среде (p > 0).

При z -d в (5) нужно произвести замену E1 E2, p -p. Таким образом, волновое поле вне пластины экспоненциально затухает по мере удаления от ее поверхностей.

Если волновые поля в пластине формируются объемными волнами, то для них n2 0, а волновые нормали ± таких волн составляют с гранями пластины углы ±, определяемые выражением ± = arctg(n±/n) (рис. 1, a).

При симметричных направлениях распространения, когда = 0 или /2, сагиттальная плоскость оказывается плоскостью симметрии и каждое из двух Рис. 1. Характеристики волновых полей в случае, когда саупомянутых выше независимых семейств собственных гиттальная плоскость и грани пластины являются плоскостями волн в свою очередь распадается еще на два, одно симметрии тензора. a — сечения поверхностей показателей из которых сформировано волнами „плюс“-ветвей, а преломления сагиттальной плоскостью и векторы рефракции другое — волнами „минус“-ветвей (рис. 1, b, c). При объемных волн в пластине; b — ориентации векторов поляэтом дисперсионные соотношения для собственных волн ризации электромагнитных полей для объемных собственных всех четырех семейств легко записать в явной форме.

волн семейств (SEAH)+ и (SEAH)-; c — ориентации вектоТак, при = 0 имеем следующие четыре выражения ров поляризации для объемных собственных волн семейств для безразмерных частот = d/c:

(AESH)+ и (AESH)-.

[- arctg(n+/p1) +m]/n+, (SEAH)+, (6) [arctg(p/n-) +s]/n-, (SEAH)-, (7) антисимметричные по магнитным компонентам (n2) = [arctg(p1/n+) +k]/n+, (AESH)+, (8) Ex,y (z ) =Ex,y (-z ), Ez (z ) =-Ez (-z );

[- arctg(n-/p) +l]/n-, (AESH)-. (9) Hx,y (z ) =-Hx,y(-z ), Hz (z ) =Hz (-z ) (2) (рис. 1, b). Обозначим структуру таких полей символами Здесь SEAH. Соотношения (2) характеризуют поведение волn+ = n+(n2) = 1 - n21/3, новых полей по отношению к отражению в центральной n- = n-(n2) = 2 - n2, (10) плоскости пластины, когда z -z.

Во-вторых, волновые поля существуют как антисим- m, s, k, l — числа натурального ряда, определяющие нометричные по электрическим компонентам и одно- мер соответствующей дисперсионной ветви. Семейства временно симметричные по магнитным компонентам дисперсионных кривых, описываемых соотношениями (AESH); в соотношениях (2) электрические и магнитные (6)–(9), приведены на рис. 2, a, b. При построении этих величины следует соответственно поменять местами кривых удобно использовать асимптотические выраже(рис. 1, c). ния при малых и больших значениях аргументов тригоВ каждом из семейств векторная амплитуда E(z ) нометрических функций, т. е. когда p 0 (при n2 );

в пластине состоит из парциальных вкладов волн ветвей n+ 0 (при n2 3); n- 0 (при n2 2).

двух типов, которые будем отмечать знаками „плюс“ и Векторные амплитуды волновых полей для конфигу„минус“ раций (SEAH)±, описываемых дисперсионными соотноE(z ) =E+(z ) +E-(z )(3) шениями (6) и (7), имеют вид (эти ветви соответствуют двум независимым решениям (n+/1) cos( n+z /d) уравнений Максвелла). Зависимость от координаты z E+(z ) =a+ 0, величин, входящих в (3), имеет вид -(n/3)i sin( n+z /d) E±(z ) =E± exp(in±z /c) +E± exp(-in±z /c). (4) 1 Здесь координата z меняется в пределах -d z d; выH+(z ) =a+ i sin( n+z /d), (11) ражения для векторов E±, определяющих поляризацию Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. 224 В.И. Альшиц, В.Н. Любимов E-(z ) =a- cos( n-z /d), -n-i sin( n-z /d) H-(z ) =a- 0. (12) n cos( n-z /d) Здесь a± — амплитудные множители. Для конфигураций (AESH)±, описываемых соотношениями (8) и (9), векторные амплитуды волновых полей получаются из (11), (12) при замене cos i sin (рис. 1, b, c).

Принимая во внимание конфигурацию кривых (рис. 2, a, b), приближающихся к разным асимптотическим уровням n2 3 и n2 2, нетрудно понять, что при наложении рис. 2, a на рис. 2, b должны возникнуть множественные пересечения соответствующих дисперсионных кривых в области

если учесть изменения в направлениях осей координат:

a — пересечения семейств дисперсионных кривых собственx y, y -x. При этом в выписанных соотношениях ных волн независимых поляризаций при отсутствии возмущений; b — принципиальная схема расталкивания дисперсионных следует произвести замену 1 2.

кривых при возмущении (пунктиром показан ход кривых при отсутствии возмущения); c — трансформация дисперсионных кривых, показанных на рис. 3, a, под влиянием возмущения.

2. Возникновение мод гибридной поляризации Если в результате общего возмущения и сагиттальная плоскость, и грани пластины одновременно перестают совпадать с плоскостями симметрии, все четыре семейства собственных волн перестают быть независимыми:

возникают моды гибридной поляризации, а все точки пересечения дисперсионных кривых исчезают, кривые расталкиваются (рис. 3, a–c). Это происходит, например, при небольшом повороте граней вокруг общего (несимметричного) направления, лежащего в плоскости xy. Величина расщепления оказывается при этом пропорциональной углу такого поворота. Отметим, что аналогичный эффект расталкивания описан авторами для упругих волн в кристаллах [4].

Рассмотрим подробнее один из видов возмущений, в результате которого только сагиттальная плоскость перестает быть плоскостью симметрии, а грани пластины по-прежнему остаются плоскостями симметрии.

Таким возмущением является небольшое изменение направления распространения — его отклонение от оси x на малый угол. При этом происходит гиРис. 2. Дисперсионные кривые четырех независимых семейств бридизация волн одинаковой четности, принадлежащих объемных собстенных волн.

Физика твердого тела, 2003, том 45, вып. Аномалии в спектре собственных электромагнитных волн в анизотропных пластинах „плюс“- и „минус“-ветвям. Описанные выше четыре Если же в исходном состоянии оптическая ось лежит серии решений объединяются в два независимых се- в сагиттальной плоскости и направлена вдоль оси x, то мейства, образованных линейными комбинациями типа выражение (14) принимает форму (3) ранее независимых конфигураций (SEAH)+, (SEAH)с одной стороны и (AESH)+, (AESH)- с другой. Анализ n2 0(0 - ) = ±( ).

поведения дисперсионных кривых волновых полей оди0 - n2 (0e - 2)n2 - 0(e - )n2) наковой четности вблизи любой из точек их пересечения (17) показывает, что возмущение ликвидирует пересечение В этом случае 0 = 2 = 3, e = 1. Заметим, что форветвей: происходит расталкивание кривых на величину, мулы (14), (16), (17), полученные в линейном приближепропорциональную параметру возмущения ( ).

нии по возмущению, допускают лишь такие варианты Опуская достаточно громоздкие выкладки, приведем параметров, при которых величина остается малой.

конечный результат 3( f 1/ - 1)( f - 1) + = ±( )n2.

3. Обсуждение (2 - )[(13 - 2)n2 - 3(1 - )] (14) Обсудим характерные черты влияния различных тиЗдесь для краткости введены обозначения пов возмущений на картину дисперсионных кривых. При p2(3 - 1) +33/повороте граней пластины относительно кристаллограf = f (n2) =, ± ± 1n2 + 3nфических осей на небольшой угол вокруг нормали ± к сагиттальной плоскости (вокруг направления оси y) 1 = 1/1 - 1/2, 3 = 1/3 - 1/2. (15) cагиттальная плоскость остается плоскостью симметВеличины n2 в этих выражениях определены по пории, а грани перестают совпадать с плоскостями симметложениям точек пересечения дисперсионных кривых рии. При этом четыре изначально независимых семейпри отсутствии возмущения. Соответствующие условия ства также попарно гибридизируются. Однако соответполучаются в результате приравнивания правых частей ствующие пары формируются уже по иному принципу:

(6) и (7) или (8) и (9).

одна из них образуется волнами только „плюс“-ветвей, а Поляризация волновых полей при этом оказывается другая — волнами только „минус“-ветвей. Возмущение гибридной и резко меняется при небольших изменениях искажает структуру волновых полей, так что свойства частоты на тех участках дисперсионных кривых, четности (2) исчезают, однако расталкивания пересекакоторые близки к точкам разрыва. Несмотря на малость ющихся дисперсионных кривых не происходит. Действивозмущения, общая структура и направленность дистельно, рассматриваемое малое возмущение лишь слегперсионных кривых резко поменялись. Гладкие линии ка искажает дисперсионные кривые на рис. 2, a, b, что не приобрели ярко выраженную волнообразность. Появиможет устранить пересечения „плюс“- и „минус“-ветвей.

лось новое качество: при плавном движении по отдельЕсли же, сохраняя данное возмущение, ввести еще и ной дисперсионной кривой поляризация с определенной небольшое изменение направления распространения, периодичностью резко меняется. Векторы поляризации то и сагиттальная плоскость перестает быть плоскостью при этом совершают движение между взаимно ортогосимметрии, при этом должны исчезать все точки перенальными предельными ориентациями (это видно из сосечения ветвей. Расталкивание ветвей, отвечающих поотношений (11), (12) и рис. 1, b, c). Возникают большие лям изначально (до возмущения) одинаковой четности, эффекты, вызванные малым возмущением.

приближенно будет описываться приведенными выше Наконец, отметим, что данное возмущение не ликсоотношениями, в которых, а расталкивание видирует точки пересечения ветвей, отвечающих волветвей, относящихся к полям (до возмущения) разной новым полям разной четности. Такие поля остаются четности, оказывается более слабым и определяется независимыми до тех пор, пока поверхности пластины произведением двух малых параметров: ( )( ).

параллельны плоскостям симметрии тензора.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.