WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 2 Локализация электронов и блоховские осцилляции в сверхрешетках из квантовых точек в постоянном электрическом поле © И.А. Дмитриев¶, Р.А. Сурис Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный технический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Получена 30 июня 2000 г. Принята к печати 30 июня 2000 г.) Показано, что спектр электронов в идеальных двумерных и трехмерных сверхрешетках из квантовых точек в постоянном электрическом поле может быть дискретным или непрерывным в зависимости от ориентации поля относительно кристаллографических осей сверхрешетки. В последнем случае ширина образующейся поперечной минизоны экспоненциально зависит от кристаллографического индекса направления поля. Вблизи направлений, соответствующих непрерывному спектру, происходят резкие изменения области локализации электрона. Рассмотрены блоховские осцилляции в таких сверхрешетках. Показано, что рассеяние осциллирующих электронов может быть сильно подавлено подходящим выбором величины и направления поля.

1. Введение полю направлению. Это происходит, если в перпендикулярной к полю плоскости не оказывается собственных (кристаллографических) векторов СРКТ. В противном Несколько лет назад были найдены и сейчас активно развиваются методы выращивания больших упорядочен- случае в перпендикулярной к направлению поля плосконых массивов квантовых точек (КТ) [1]. Успехи техноло- стиобразуются цепочкиилиплоскостиКТс одинаковым электрическим потенциалом и возникает поперечная мигов позволяют надеяться, что в ближайшее время будут низона, ширина которой экспоненциально уменьшается созданы достаточно совершенные регулярные структуры с увеличением расстояния между КТ в этих цепочках с квантовыми точками. Однако, насколько нам известно, свойства двумерных (2D) и трехмерных (3D) сверхреше- (плоскостях), т. е. с увеличением кристаллографического ток из квантовых точек (СРКТ) в постоянном электриче- индекса направления поля. Таким образом, несмотря на то что величина интегралов перекрытия экспоненциальском поле остаются практически не изученными. Между но быстро уменьшается с ростом расстояния между КТ, тем в таких структурах должны наблюдаться интересные в идеальной СРКТ каждый из них при соответствующей эффекты, связанные с резкой зависимостью спектра и ориентации электрического поля становится ответственобласти локализации электронов в электрическом поле ным за существенную перестройку спектра и области от его направления.

локализации носителей. Обсуждается физичность полуВ отсутствие электрического поля спектр электронов ченных результатов и изменения картины при переи дырок в сверхрешетке (СР) представляет собой набор ходе к неидеальной СРКТ (в рамках одноэлектронной минизон, образующихся в дополнительном периодичемодели).

ском потенциале СР, модулирующем дно зоны проводиТрехмерность потенциала СРКТ непосредственно отмости и верх валентной зоны материала, в котором выраражается на характере блоховских осцилляций, которым щена СР [2]. Мы предполагаем величину электрического посвящена третья часть работы. В отличие от одномерполя и резонансных интегралов перекрытия между КТ ных сверхрешеток колебания происходят на двух или настолько малыми, что применимо одноминизонное притрех основных частотах (для 2D и 3D СРКТ соответближение, т. е. фактически считаем, что в изолированной ственно) и на их высших гармониках (с экспоненциально квантовой точке есть только один уровень квантования.

меньшими амплитудами). Основные частоты независиВ первой части работы формально решено одноэлекмо настраиваются изменением величины и направления тронное уравнение Шредингера для идеальной СРКТ электрического поля [3].

произвольной симметрии и размерности в постоянном Как известно, в одномерных СР основным препятэлектрическом поле с учетом всех резонансных интеграствием для наблюдения и практических применений лов перекрытия между квантовыми точками.

блоховских осцилляций служит их малое время жизни, Вторая часть посвящена анализу полученного решесвязанное с рассеянием на примесях и фононах (мы здесь ния. Трехмерность потенциала СРКТ и малость интеограничиваемся внутриминизонными процессами рассегралов перекрытия позволяют реализоваться ситуации, яния). В последней части работы нами показано, что, когда состояния электронов в идеально периодической в отличие от одномерных сверхрешеток, в СРКТ внутрешетке оказываются локализованными в поперечном к риминизонное рассеяние может быть сильно подавлено ¶ подходящим выбором величины и направления электриFax: (7-812) E-mail: dmitriev@theory.ioffe.rssi.ru ческого поля.

220 И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис 2. Формальное решение уравнения Ваннье, относящихся к узлам СРКТ, разнесенным на вектор, т. е. экспоненциально убывают с ростом ||.

Шредингера для СРКТ в постоянном Подставляя в уравнение Шредингера для электрона в электрическом поле постоянном электрическом поле Для нахождения состояний электронов в СРКТ в F=(0 + eFr) = E(5) электрическом поле мы несколько модернизировали метод, развитый для одномерных СР в [4]. Поскольку волновую функцию в виде разложения по функциям Ванэлектроны в СРКТ в электрическом поле локализованы, нье = C|, получим для амплитуд C уравнение удобно в качестве базиса использовать функции Ваннье рассматриваемой минизоны, которые в случае сильной (E - eF)C - -1C1 = 0, (6) связи близки к волновым функциям в изолированных квантовых точках и определяются соотношением [5] где = I + eFX — модифицированные полем интегралы перекрытия, или, в представлении | = eik(r-)uk(r), (1) C(k) = eikC, N k [E - (k)]C(k) +ieFkC(k) =0. (7) где N — полное число узлов СРКТ, = niai — i Интегрирование последнего уравнения дает собственные вектора СРКТ, ai — базисные вектора СРКТ, суммирование ведется по разрешенным значениям C(k) =g(k) exp ik - eik, (8) волнового вектора k, лежащим в пределах первой зоны eF F Бриллюэна СРКТ, eikruk(r) — блоховские собственные функции гамильтониана 0 СРКТ в отсутствие элекгде = (1/eF)(E - eik); g(k), (k) — трического поля. Здесь следует отметить, что функции F Ваннье при рассмотрении одной минизоны всегда можно неизвестные функции; индексами и обозначены выбрать вещественными. Тогда матрицы всех физических параллельные и перпендикулярные полю компоненты величин, вычисленные на функциях Ваннье, должны соответствующих векторов (величины k, —векторы быть симметричными.

в случае 3D СРКТ и скаляры в случае 2D СРКТ).

Матричные элементы 0 на функциях Ваннье связаны В силу того, что коэффициенты C заданы на дискретсо спектром электронов соотношением [5] ном множестве узлов СРКТ, функция C(k) должна быть периодической:

(k) = eik(1-2) 1|0|2. (2) C(k + K) =C(k), (9) N 1-где K = mibi, bi — базисные вектора обратной СРКТ.

Разбив матрицу 0 на диагональную и недиагональную Для выполнения этого условия вектор в (8) должен части быть вектором прямой решетки R = niai. Отсюда получаем спектр электрона в виде 1|0|2 = 01,1 + I1-2(1 - 1,2) (3) R(k) =-eFR + cos k. (10) (здесь учтено, что ввиду трансляционной симметрии F матричный элемент 0 зависит только от разности 1 - 2), и подставив это выражение в (2), легко Вектора сверхрешетки, перпендикулярные полю, по коубедиться, что 0 есть средняя по k энергия в минизоне торым проводится суммирование в (10), существуют (ее мы примем за начало отсчета энергии — 0 = 0), а не при всех направлениях электрического поля. СоотI(k) = eikI определяет закон дисперсии электрона в ветственно, в зависимости от ориентации поля спектр минизоне. Используя ортогональность и трансляционные может быть дискретным или непрерывным, а электрон свойства функций Ваннье, матрицу координаты можно локализованным или нелокализованным в поперечном к представить в следующем виде: полю направлении.

1|r|2 =(1 + X0)1,2 + X1-2(1 - 1,2). (4) Иррациональные направления поляВекторы X0 и X1-2 имеют ненулевую величину, если Назовем направление поля иррациональным, если все СРКТ неинвариантна относительно инверсии координат отношения Fai/Fak, i = k — иррациональны. При r -r. От первого из них можно избавиться сдвигом таких направлениях поля вектора сверхрешетки, перпенначала координат, другие же, как мы увидим, определяют Корректность введения иррациональных и рациональных направлепоправку к интегралам перекрытия I, пропорциональний поля обсуждается в следующей части работы. Здесь лишь заметим, ную полю. В случае слабой связи между КТ величичто в пространственно ограниченной сверхрешетке число рациональны X, I малы в меру слабости перекрытия функций ных направлений конечно, и такое разделение имеет физический смысл.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Локализация электронов и блоховские осцилляции в сверхрешетках из квантовых точек... дикулярные полю, отсутствуют (плоскость постоянного 3. Спектр и область локализации электрического потенциала проходит только через одну электрона в электрическом поле квантовую точку), спектр дискретен и образует двумерную (2D СРКТ) или трехмерную (3D СРКТ) лестницу Обсудим теперь полученные результаты. Мы уже упоВаннье–Штарка:

минали, что в случае сильной связи интегралы перекрытия между КТ экспоненциально уменьшаются с ростом R = -eFR = - eniFai. (11) расстояния между ними. Казалось бы, можно оставить в рассмотрении только некоторые из них, как это обычно Для определения собственных функций остается найти делается для одномерных сверхрешеток. Однако из (13) g(k). В силу (9) она должна быть периодична:

следует, что сколь угодно малый интеграл перекрытия g(k + bi) =g(k). (12) при соответствующем рациональном направлении поля оказывается ответственным за существенную перестройОднако для иррациональных направлений поля bi/bk, ку спектра и области локализации электрона.

i = k — иррациональные числа и, следовательно, Проиллюстрируем это на примере двумерной кваg(k) — периодическая функция с двумя или тремя дратной СРКТ. Обозначим через a и расстояние несопоставимыми периодами, откуда g(k) =const.

между ближайшими КТ и соответствующий резонансный Итак, собственные значения энергии и соответствуинтеграл перекрытия. В пренебрежении всеми остальющие им волновые функции электрона в постоянном ными интегралами перекрытия (приближение ближайэлектрическом поле при иррациональном направлении ших соседей) получим следующие две возможности поля даются следующими выражениями:

(см. (12), (13)).

R F|R = F C | = R|R, Приближение ближайших соседей R = -eFR, а) При направлении поля вдоль базисного вектора СР dk в поперечном к полю направлении образуется минизона R C = exp ik( - R) + eik1, (13) VB eFшириной 4, электрон локализован только в направлении поля:

где | — функции Ваннье, определенные формулой (1).

Во избежание путаницы отметим, что всюду далее N(k) =2 cos(ka) +eNFa, функции Ваннье обозначаются строчными греческими буквами |, а штарковские собственные состояния — N Cn,n(k) =eiknaJn -N(2/eFa). (15) заглавными латинскими буквами |R. Заметим также, что вектор R здесь является одновременно и квантовым В слабых полях, когда аргумент функции Бесселя числом, и средним значением координаты электрона в = 2/eFa 1, длину локализации в направлении состоянии |R : R|r|R = R.

поля можно оценить как 2a, в обратном предельном случае сильных полей 1 электрон локализуется в Рациональные направления поля основном в одной цепочке квантовых точек n = N, а амплитуды в соседних цепочках равны. СущественПусть теперь поле направлено рационально, т. е. по ное отличие от спектра сверхрешетки из квантовых ям крайней мере одно из отношений Fai/Fak, i = k — заключается в узости поперечных минизон. В то время рациональное число. Тогда в перпендикулярной к полю как в одномерных сверхрешетках состояния различных плоскости образуются цепочки или плоскости квантовых ступеней штарковской лестницы благодаря широкому точек с одинаковым электрическими потенциалом, что поперечному спектру вырождены при любой величине означает существование векторов сверхрешетки, перэлектрического поля, в СРКТ уже в достаточно слабом пендикулярных к полю. Поскольку k в этом случае поле F 4/ea вырождение отсутствует (рис. 1).

являются квантовыми числами (см. (10)), g(k) опреб) Когда поле направлено под углом к базисным вектоделяется из условия нормировки. С учетом этого для рам сверхрешетки, в приближении ближайших соседей рациональных направлений поля спектр становится дискретным, электрон локализуется во всех направлениях (оси координат направлены вдоль R(k) = cos(k) - eFR, a1, a2):

F Nx,Ny = ea(NxFx + NyFy), R N N C (k) =lnorm dk exp ik( - R) + eik1, Cnxx,,nyy = Jnx-Nx(2/eFxa)Jny-Ny(2/eFya). (16) eF1 F (14) Область локализации определяется величинами где lnorm — нормировочный множитель. x = 2/eFxa, y = 2/eFya (рис. 2, a).

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 222 И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис Рис. 1. a — спектр сверхрешетки из квантовых ям в электрическом поле; благодаря широкому поперечному спектру при любой величине поля разрешены упругие (el) и неупругие (in) процессы перехода между состояниями штарковской лестницы. b —спектр СРКТ при рациональных направлениях поля; при увеличении поля или индекса направления поля упругие процессы, а затем и процессы с участием фононов становятся запрещенными.

Рис. 2. a — зависимость области локализации электрона при иррациональном направлении поля Fx/Fy = 2/ от его величины;

сверху вниз: eFa/I = 1/6, 2/3, 5. b — зависимость области локализации от направления поля вдоль диагонали элементарной ячейки сверхрешетки: сверху вниз: вдали от резонанса — Fx/Fy = 2/, очень близко к резонансу — Fx/Fy = 0.99, точно в резонансе.

Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Локализация электронов и блоховские осцилляции в сверхрешетках из квантовых точек... Учет других интегралов перекрытия Направим теперь поле по диагонали элементарной ячейки сверхрешетки. Тогда в приближении ближайших соседей все уровни в штарковской лестнице оказываются многократно вырожденными (см. (13)). Учет интеграла перекрытия по диагонали элементарной ячейки D приводит к снятию этого вырождения, образуется поперечная минизона шириной 4D, N(k) =2D cos(kd) +eFNd, N Cn,n (k) =eikndJn -N cos(kd/2), (17) eFd где d = 2 a — диагональ элементарной ячейки СРКТ.

При сколь угодно малой разориентации поля от направления диагонали в бесконечной идеальной сверхРис. 3. Зависимость ширины поперечной минизоны от индекса решетке спектр становится дискретным. При этом в рационального направления поля (в логарифмическом масштанебольшом угловом диапазоне направлений поля вблизи бе).

диагонали = D/ длина локализации в поперечном направлении продолжает определяться интегралом перекрытия по диагонали, а в направлении поля — интегралом перекрытия между ближайшими соседями. При большей разориентации вновь становится применимым приближение ближайших соседей (рис. 2, b).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.