WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 2 Кинетическая теория процессов ионизации и захвата электрона заряженной примесью в полупроводнике © В.Д. Каган Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия E-mail: victor.kagan@mail.ioffe.ru (Поступила в Редакцию 28 мая 2004 г.) В кинетическом уравнении для электронов проводимости учтены неупругие процессы электрон-фононного рассеяния, при которых электрон захватывается или освобождается из кулоновского поля примеси.

Оказывается, что при определенной энергии эти процессы становятся очень сильными. В указанной области энергий функции распределения свободных и связанных электронов коррелированы для того, чтобы процессы захвата и ионизации взаимно компенсировались. Существование области сильного рассеяния оказывается определяющим фактором при вычислении экспериментально измеряемых коэффициентов захвата и ионизации, входящих в уравнение баланса для электронной концентрации.

Работа поддержана грантом НШ-2242.2003.2.

1. Постановка задачи часть (1) должна обратиться в нуль, т. е. в равновесии ki = krne0, (2) На электрон в зоне проводимости полупроводника где ne0 — равновесная концентрация свободных электродействует кулоновское поле заряженной примеси. Если кинетическая энергия электрона превышает потенциаль- нов.

Коэффициенты kr,i являются экспериментально изменую энергию взаимодействия с примесью, примесь не ряемыми величинами. Вычисление этих коэффициентов может удержать электрон, и его движение распростратребует вывода уравнения (1) из микроскопической теоняется на весь макроскопический образец. Если потенрии. Тем не менее такой вывод никогда не проводился, циальная энергия превышает кинетическую, электрон а коэффициенты kr,i микроскопически вычислялись касзахватывается примесью, и его движение происходит кадным методом [1]. В этом методе не выводится ураввблизи притягивающей его примеси.

нение (1), поэтому не доказано, что вычисляемые велиИзменение концентрации свободных электронов в чины являются именно теми коэффициентами, которые зоне проводимости и концентрации электронов, захвавходят в уравнение (1) и измеряются экспериментально.

ченных примесями, происходит в результате неупругих Цель настоящей работы состоит в том, чтобы полупроцессов: поглощая фононы, электрон получает энерчить микроскопические кинетические уравнения, содергию, и происходит ионизация примесного состояния, а жащие функции распределения свободных и захваченпри испускании фононов электрон теряет энергию, и ных электронов. Движение электрона сначала описывапроисходит захват электрона примесью. Оба процесса ем классически, а в последней части работы — квантововносят вклад в уравнение баланса, описывающее измемеханически. Интегрируя кинетическое уравнение для нения неравновесной концентрации свободных электросвободных электронов по всем входящим в него микронов ne в полупроводнике, содержащем заряженные прископическим переменным, получим уравнение (1) для меси с концентрацией nim. Уравнение баланса линейно, концентрации, а входящие в него коэффициенты kr,i так как изменение концентрации считается малым по будут теми величинами, которые определяются экспесравнению со средней концентрацией;

риментально.

dne Если движение электрона описывается классической = kinim - kr nimne + G, (1) механикой, функция распределения электронов зависит dt от координат r и импульсов p электрона. Но при G описывает генерацию неравновесных электронов. Геописании процессов захвата и ионизации функции раснерация происходит мгновенно и с примесями никак пределения можно считать зависящими не отдельно от не связана; ki,r — коэффициенты ионизации и захвата, координат и импульсов, а только от полной энергии. Для которые считаются не зависящими от концентрации свободных электронов она положительна, примесей и электронов. Первое слагаемое в правой чаe2 p2 zeсти (1) описывает увеличение концентрации свободных E = p -, p =, e2 =, (3) электронов из-за процессов ионизации примесей, вто- r 2m рое — уменьшение из-за процессов захвата электрона где m — эффективная масса электрона, z — заряд на примеси. Оба слагаемых пропорциональны концен- примеси, — статическая диэлектрическая проницаетрации примесей. Поскольку в равновесии, одним из мость кристалла. Для захваченных электронов полная условий которого является отсутствие генерации элек- энергия отрицательна, и удобно положить функцию тронов, концентрация электронов стационарна, правая распределения зависящей от модуля полной энергии, Кинетическая теория процессов ионизации и захвата электрона заряженной примесью... обозначая его той же буквой E. Усредняя кинетические энергия положительна, а электрон с импульсом p - q уравнения по поверхности постоянной энергии в фа- захваченный и его энергия отрицательна. Эти условия зовом пространстве, получим кинетические уравнения определяют ту область фазового пространства, которая для функций распределения свободных и захваченных участвует в процессе захвата или освобождения от при(1,2) электронов f (E) меси свободного электрона. Член столкновений, описы вающий изменение функции распределения захваченных (1) (1) (1) (2) f (E)t + J1,1 f (E) = J1,2 f (E), f (E), (4) электронов при ионизации и захвате, аналогичен (5).

2 (2) (2) (1) Это выражение относится к отдельной примеси и усред f (E)t + J2,2 f (E) = J2,1 f (E), f (E). (5) няется по области ограниченного движения захваченных Считаем, что изменения во времени функций распреэтой примесью электронов деления определяются временными изменениями кон центрации. Член мгновенной генерации не выписываем, (2) (1) J2,1 f (E), f (E) = но считаем, что он определяет неравновесность кон165 2(E) центрации свободных электронов. Интегралы столкновений Ji,i описывают электрон-фононные столкновения, e dpdrdq - p - E (p - p+ q + q)|cq|при которых свободные или захваченные электроны r остаются свободными или захваченными, а интегралы (2) (1) столкновений Ji,k — те столкновения, при которых f (p, r)nq - f (p + q, r)(nq + 1) происходит ионизация примесных состояний или захват на примесные состояния. e2 e1 - p p+ q -. (7) Движение свободных электронов распространено на r r весь образец, поэтому при усреднении по фазовому пространству основной вклад в движение электронов, Здесь 2(E) =2/(2 )3 drdp(e2/r - p - E) =m 2m остающихся свободными, вносят макроскопические ко- e6/4 E5/2 — плотность энергетических состояний ординаты порядка размера образца. Для этих координат захваченных электронов.

пренебрежем потенциальной энергией электрона в поле Для простой модели взаимодействия электронов с примеси, так что функция распределения зависит только продольными фононами |cq|2 = q/s, где — от импульсов: усреднение члена J1,1 происходит только константа деформационного потенциала, — плотность по импульсному пространству. В члене J1,2 важны вещества. После интегрирования по всем угловым педвижения не только свободных, но и захваченных элекременным выражения для J1,2 и J2,1 становятся более тронов. Последнее происходит в ограниченной окрестпростыми:

ности данной примеси. Подсчитаем изменения числа (1) (2) свободных электронов вблизи каждой примеси и проJ1,2 f (E), f (E) суммируем эти изменения по всем примесям. Примеси достаточно удалены друг от друга, поэтому изменения (2) (1) = dE1W1(E, E1) f (E1 - E)e-E /T - f (E), на разных примесях суммируем независимо. Поскольку r(E) E число примесей макроскопическое, при усреднении по всему объему образца полный вклад будет конечным и 32 2nime6m1/2sW1(E, E1) = пропорциональным концентрации примесей 3l nim E(1) J1,2 f (E), f (E) =, 165 1(E) E(1 - e-E /T )[(E1 + 2ms2)2 - 8ms2E] e= dE1W1(E, E1), (8) dpdrdq E - p + (p - p- q - q)|cq|r (E) r E (2) (1) J2,1 f (E), f (E) (2) (1) f (p - q, r)nq - f (p, r)(nq + 1) (1) (2) e2 e= dE1W2(E, E1) f (E1 - E)eE /T - f (E), 1 p - - p- q. (6) i(E) E r r 512 2msЗдесь 1(E)=2 dr(E - p)/(2 )3 = m 2mE/2 — W2(E, E1) = 3l плотность состояний для свободных электронов, q, E5/2Eq = sq — волновой вектор и частота фонона, s —ско, (eE /T - 1)[(E1 - 2ms2)2 + 8ms2E]рость звука, cq — константа электрон-фононного взаи модействия, nq =(e q/T - 1)-1 — фононная функция = dE1W2(E, E1), (9) распределения Планка, T — температура в энергетиi(E) E ческих единицах. Функции (x) =1(x > 0) и (x) =4 (x < 0) в (6) являются математическим выражением где l = /4 m3 — энергетическая длина свободного условий, что электрон с импульсом p свободный и его пробега.

2 Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 212 В.Д. Каган Интегрируя функции распределения вместе с плотно- предэкспоненциальной константой, после чего интеграстью состояний по всем энергиям, получаем концентра- лы столкновений, вызывающих захват или освобождение цию электронов. В равновесии функции распределения электронов, обратятся в нуль. Конечно, при интегрироваэлектронов больцмановские: нии по энергии расходимость обоих членов сократится.

Но эти энергии не будут вносить и никакого конечного µ - E µ + E (1) (2) вклада в интеграл, определяющий баланс концентраций, f (E) =exp, f (E) =exp, (10) T T т. е. в коэффициенты ki,r. При отходе по энергии от „опасной“ энергии определяющей станет внутризонная µ = T ln[ne0 23/(mT)3/2] — значение химического релаксация, роль оператора J1,2 уменьшится и согласопотенциала электронов, обычным образом связанное вание функций распределения нарушится. При энергиях, с концентрацией свободных электронов. Равновесные далеких от 2ms2, для функций распределения можно функции распределения свободных и захваченных элекиспользовать больцмановские выражения с различаютронов обращают выражения (6), (7) в нуль. Генерация щимися концентрациями для свободных и захваченных меняет функциию распределения свободных электронов, электронов. Кинетическая теория должна определить ту но процессы релаксации быстро переводят эту функцию область энергий, в которой происходит переход межв больцмановскую снеравновесной полной концентраду разными функциональными соотношениями функций (1) цией f (E) =[ne 23/(mT )3/2] exp(-E/T ).

распределения свободных и захваченных электронов.

Уравнение баланса (1) получается в результате интеПри выводе уравнения (1) эта область энергий оказывагрирования по энергии уравнения (4), умноженного на ется главной для определения численного значения ki,r.

плотность энергетических состояний. Интеграл от J1,1 Расходимость интегралов, не позволяющая простым обращается в нуль вследствие сохранения полного чисобразом рассчитать коэффициенты захвата и ионизации, ла электронов при электрон-фононных столкновениях.

послужила, по-видимому, причиной, по которой теоретиПравая часть в уравнении (1) определяется интегралом чески используется совсем другой метод их расчета — от J1,2. Таким образом, для коэффициентов ki,r кинетикаскадный [1,3]. Этот метод состоит в рассмотрении ческая теория приводит к выражениям уравнения только для захваченных электронов при теп ловых энергиях, но интеграл столкновений J2,1 в этом 2 E E уравнении отсутствует. В энергетическом пространстве kr = exp - dE, r(E) T nim T 0 в область малых энергий идет диффузионный поток, скорость которого считается константой. Наличие потоki = krne0. (11) ка связывается с процессом ионизации, и принимается Рассмотрим выражение r (E) при E 2ms2. Оказыва- новое определение коэффициента захвата, который вычисляется из изменения нормировки функции распреется, что r (E) (E - 2ms2)4. При подстановке этого деления захваченных электронов. Поскольку уравнение выражения в (11) получаем кубическую расходимость баланса (1) не выводится, отождествление этого коэфинтеграла для kr. Точно так же расходится и выражение фициента с экспериментально измеряемой величиной kr для ki. Эта расходимость была отмечена Ваннье [2].

Физической причиной расходимости является дально- является произвольным допущением.

действующая природа кулоновских сил. При вычислении фазового объема, определяющего вероятность захвата, 2. Процессы ионизации при низких удается установить соответствие между расстоянием, температурах с которого электрон захватывается на примесь, и его энергией. Для энергии 2ms2 фазовый объем включаРассмотрим очень малые температуры T 2ms2. Тоет все координатное пространство, третья степень в гда область сильного рассеяния, в которой происходит расходящемся интеграле связана с трехмерностью произменение равновесного вида функций распределения, странства. Расходимость вызвана предположением, что находится при больших энергиях. В области тепловых функции распределения в окрестности энергии 2msэнергий можно упростить выражение (8) для времени больцмановские, т. е. сам процесс захвата на них влирелаксации r (E), пренебрегая малой энергией E по яет слабо. Основная идея развиваемой далее теории сравнению с энергиями порядка ms2. Считая, что в (11) состоит в том, что это предположение неверно и что основной вклад вносят тепловые энергии, после упров окрестности энергии 2ms2 для свободных электронов щения формулы (8) получим окончательное выражение образуется область сильного взаимодействия: в этой для kr области нельзя разделить процессы ионизации и захвата, оба слагаемых в члене J1,2 необходимо рассматривать 4 2e6 0.09 2e1 kr = =. (12) совместно. Выражение (9) описывает те же процессы, 45l Tm5/2s4 l Tm5/2sно с точки зрения захваченных электронов, поэтому и для захваченных электронов также образуется область Это выражение приведено в [1]. Каскадный метод предсильного взаимодействия. В этой области энергий функ- полагает потерю электроном энергии малыми порцияции распределения станут больцмановскими с одной ми, а при низких температурах электрон участвует в Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. Кинетическая теория процессов ионизации и захвата электрона заряженной примесью... существенно неупругом процессе. Поэтому авторы [1] учесть, что в этой области энергий модификация времевычисляли kr прямым методом и для вероятности за- ни релаксации r (E) недопустима. Хотя в окрестности хвата использовали то выражение, которое мы получили E = 2ms2 функция распределения свободных электропосле модификации (8). нов, как и в области тепловых энергий, подстроится Результат (12) хотя и красив, но неправилен. Для до- под функцию распределения захваченных электронов и казательства этого рассмотрим систему уравнений (4), станет полностью равновесной, большие энергии будут (5) в полном объеме. Приведенный выше вывод фор- вносить ненулевой вклад в ki,r. Определяющими станут мулы (12) предполагает, что функция распределения энергии порядка ms2/2, наименьшие из больших, при свободных электронов быстро пришла в равновесие которых уже вступает в игру релаксация свободных благодаря столкновениям со свободными электронами, электронов. С точностью до численного множителя после чего участвует в медленном процессе захвата. оценим коэффициент захвата, используя эту энергию Рассмотрим J1,1 в (11) в качестве нижнего предела интеграла, 1 0.08 2e(1) J1,1 f (E) = dq|cq|2 (p - p- q - q) kr = exp(-ms2/2T ).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.