WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. 2 Диэлектрическая проницаемость квазидвумерных полупроводниковых наноструктур © Н.Л. Баженов¶, К.Д. Мынбаев, Г.Г. Зегря Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 19 июня 2006 г. Принята к печати 26 июня 2006 г.) Исследуется пространственная и временная дисперсия диэлектрической проницаемости электронного газа в квазидвумерных квантовых наноструктурах. Впервые получены аналитические выражения для диэлектрической проницаемости в случае квантовой ямы в виде -функции и прямоугольной ямы конечной глубины. Получен критерий перехода к строго двумерному и строго трехмерному случаям.

PACS: 71.15.Mb, 71.45.Gm, 73.21.Fg 1. Введение Видно, что в этом случае нет радиуса экранирования, а потенциал убывает как куб расстояния. Таким образом, В настоящее время большое внимание уделяется при исследовании электронных эффектов в квантовых созданию и исследованию полупроводниковых нано- структурах важно корректно учитывать эффект экраниструктур, в частности структур в виде квантовых ям, рования. В частности, известно [8–10], что коэффициквантовых нитей и квантовых точек. При теоретической ент усиления полупроводниковых лазерных структур на оценке параметров таких структур одноэлектронная мо- квантовых ямах непосредственно выражается через дидель не всегда применима. При учете взаимодействия электрическую проницаемость, и поэтому знание закона между частицами необходимо корректно учитывать в ее пространственной дисперсии важно для корректного таких структурах эффект экранирования электрическорасчета параметров таких структур.

го поля зарядов [1–5]. Известно, что экранирование Сложность заключается в том, что реальная полупропотенциала зарядов в двумерном случае приводит к водниковая квантовая яма не является строго двумерной существенно другой пространственной зависимости диструктурой, поскольку не только обладает отличной от электрической проницаемости по сравнению с трехмернуля шириной, но и ввиду конечности высоты потенным случаем. Так, в трехмерном случае зависимость циального барьера описывается волновыми функциями, фурье-компоненты диэлектрической проницаемости от которые, хотя и экспоненциально затухают, но все же волнового вектора q имеет вид [6]: (q) const/q2, что отличны от нуля и вне квантовой ямы.

приводит к следующей пространственной зависимости Цель работы состоит в следующем. Отталкиваясь от потенциала пробного заряда от расстояния r:

двух предельных случаев для трехмерного и двумерного электронного газа, мы рассмотрим квантовые ямы в виде e exp(-r/rD) (r) =, (1) -функции и прямоугольной ямы с бесконечно высокими r стенками, ограничиваясь случаем одного уровня размерного квантования. Сопоставление этих моделей интерест. е. потенциал экспоненциально убывает с расстоянием но тем, что если в первой из них волновые функции (rD — радиус экранирования). Для невырожденного газа отличны от нуля только вне ямы, то во второй — только носителей заряда величина rD совпадает с радиусом внутри ямы. И наконец, мы получим выражение для диэкранирования Дебая.

электрической проницаемости в случае прямоугольной С другой стороны, в двумерном случае аналогичная потенциальной ямы конечной глубины (также ограничизависимость диэлектрической проницаемости имеет вид (q) const/q, и для потенциала внутри пленки толщи- ваясь только одним уровнем) и покажем, при каких параметрах ямы эта модель сводится к рассмотренным ранее.

ной a было получено [7] 1 2r 2r (r) =e - H0 - N0, (2) 2. Основные соотношения r a a a где H0(x) и N0(x) — функции Струве и Неймана соДля нахождения диэлектрической проницаемости мы ответственно. Для очень больших расстояний (r a/2) воспользуемся методом самосогласованного поля, котопотенциал принимает вид рый, как известно [11], при вычислении диэлектрической проницаемости приводит к результатам, аналогичным eaполучаемым в приближении хаотических фаз.

(r) =. (3) 4rЕсли ввести одночастичную матрицу плотности, ¶ E-mail: bazhnil.ivom@mail.ioffe.ru то ее изменение во времени подчиняется уравнению Диэлектрическая проницаемость квазидвумерных полупроводниковых наноструктур Лиувилля: Изменение локальной концентрации имеет вид i =[, ], (4) n = Sp (n ) t где одночастичный гамильтониан содержит зависящее = e-iqr k + q, l |k, l k, l| |k + q, l. (14) от координат и времени малое возмущение V (r, t):

k,l;q,l = 0 + V (r, t). (5) Тогда из уравнения Пуассона для фурье-компоненты Здесь невозмущенный одночастичный гамильтониан наведенного потенциала получаем равен p2 4e s 0 = + U0(r), (6) Vq (0) = 2m qгде p — оператор импульса, m — масса электрона, U0 — Vq(0) (k, l|k+ q, l ) f0(Ek+q,l )- f0(Ek,l) периодический потенциал в отсутствие возмущения, а, (15) волновые функции зависят от волнового вектора k и Ek+q,l - Ek,l - + i k,l,l квантового числа l и удовлетворяют уравнению Шредингера а диэлектрическая проницаемость равна 0 k, l = Ek,l k, l, (7) 4eпричем (, q) =1 - lim 0 qk, l = uk,l(r)eikr, (8) 1/(k, l|k + q, l ) f0(Ek+q,l ) - f0(Ek,l). (16) где — объем, а uk,l(r) — периодическая часть Ek+q,l - Ek,l - + i k,l,l блоховской функции.

Энергия Ek,l электрона в зоне l выражается через волВыражение (16) получено в работе [11] с использованиновой вектор k и массу электрона ml как Ek,l = k2/2ml.

ем вышеприведенных рассуждений.

Невозмущенная матрица плотности 0(k) подчиняется Строго двумерный случай может быть проанализироследующему уравнению:

ван аналогично, однако имеются некоторые особенности.

Теперь волновые функции имеют другой вид: по двум (0) k, l = f0(Ek,l) k, l, (9) координатам x и y, которые мы обозначим общим где символом r (а не общепринятым, чтобы не путать -Ek,l - µ с матрицей плотности), они описываются блоховскиf0(Ek,l) = exp + 1 (10) ми функциями. По координате z в строго двумерном T случае вероятность обнаружения заряженной частицы — распределение Ферми-Дирака, µ — уровень химичестрого равна нулю. При решении уравнения Пуассона ского потенциала.

фурье-компоненты получаются только для направлений, Предположим, что возмущение V (t), которое для распараллельных плоскости ямы, а по координате z уравнесматриваемого подхода самосогласованного поля предние приходится решать непосредственно. В результате ставляет собой полный потенциал, имеет следующую для диэлектрической проницаемости имеем временную зависимость:

2eV0(t) =V0(0)eit+t, (11) (, q) =1 - lim, (17) 0 Sq где мало. После линеаризации уравнения (4) можно получить выражение для матричного элемента матрицы (k, l|k + q, l ) f0(Ek +q,l ) - f0(Ek,l) плотности:

=, Ek +q,l - Ek,l - + i k,l,l k, l| (0)|k + q, l (18) Vq(0) f0(Ek+q,l ) - f0(Ek,l) (k, l|k + q, l ) где S — площадь „нормировочного ящика“, а k — =, (12) Ek+q,l - Ek,l - + i волновой вектор в плоскости, в которой движутся носители заряда. Мы видим, что главное отличие по где сравнению с трехмерным случаем состоит в том, что в знаменателе второго члена стоит q, а не q2. Как (k, l|k + q, l ) = d u () uk+q,l (), (13) k,l отмечалось во Введении, это приводит к существенно разным выражениям для экранирования в двумерном и — объем элементарной ячейки. трехмерном случаях [7,12].

Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. 192 Н.Л. Баженов, К.Д. Мынбаев, Г.Г. Зегря Физическая ситуация появления „двумерной“ зави- Уравнение Пуассона для наведенной потенциальной симости заключается в том, что характерный раз- энергии имеет вид мер (1/q) пространственной протяженности фурье-ком4e2k поненты потенциала в направлении z превышает харакs s - q2Vq (z ) +2Vq (z ) =- exp(-2k|z |) z терный размер волновой функции в этом направлении. S Последний в данном случае просто равен нулю. Инте (k + q, l |k, l) k, l| |k + q, l. (25) ресно проследить, как эта ситуация проявляется в следуk,l,l ющих модельных структурах: потенциальной яме в виде -функции, прямоугольной потенциальной яме с бескоВновь видим, что по сравнению с трехмерным слунечно высокими стенками и прямоугольной потенциальчаем зависимость от z осталась в явном виде. Для ее ной яме конечной глубины. Дело в том, что в первой из нахождения необходимо решить уравнение (25).

них волновая функция отлична от нуля только вне ямы, В принципе необходимо по отдельности рассмотреть во второй — только внутри ямы, а в третьей — как внурешение в случае q = 2k и q = k. При q = 2k для три, так и вне ямы. Кроме того, последний случай являдиэлектрической проницаемости получаем ется наиболее интересным с практической точки зрения.

4e2k 1 4k (, q) =1- lim -, 3. Потенциальная яма в виде 0 - 4k2 ) 2 q(2k + q) S(q-функции (26) где дается выражением (18).

В данном случае волновые функции носителей заряда В литературе принято представлять результат для по двум координатам x и y (т. е. r) описываются блоховквазидвумерного случая, выделяя в явном виде множискими функциями, а по координате z они соответствуют тель 2e2/q, соответствующий чисто двумерному слурешению уравнения Шредингера для потенциальной чаю, и вводя формфактор F(q), который явно учитывает ямы в виде -функции U = -(z ), см. [13, задача 2.7]:

отклонение от чисто двумерного случая. В рассматриваемом случае выражение (26) запишется следующим m m (z ) =k1/2e-k |z | = exp - |z |, (19) образом:

2 2eгде (, q) =1 - lim F(q), (27) m 0 Sq k =. (20) причем формфактор имеет вид В такой яме имеется только один уровень.

Рассуждая аналогично тому, как в предыдущих разk 2k делах, мы получим для матричного элемента матрицы F(q) = 1 +. (28) 2k + q 2k + q плотности:

Прежде всего отметим, что если последовательно расk, l|(0)|k + q, l смотреть решение уравнения (25) для случая q = 2k, Vq,k f0(Ek +q,l )- f0(Ek,l) (k, l|k + q, l ) то получим значение F(q = 2k) =3/8, которое по =. (21) лучается и из выражения (28) при соответствующей Ek +q,l - Ek,l - + i подстановке.

Однако в данном случае, как и в строго двумерном слу- Рассмотрим (28) в двух интересных предельных случае, разложение потенциала в ряд Фурье производится чаях: q k и q k.

только в плоскости ямы. Поэтому 1. q k.

В этом случае характерный размер волновой функции V (r, z ) = Vq(z )e-iqr, (22) в направлении z, т. е. 1/k, меньше характерного разq мера для изменения потенциальной энергии 1/q. Видно, что при q Vq,k = k dz e-2k |z |Vq(z ). (23) F(q 0) =1, (29) и мы приходим к строго двумерному случаю.

Для концентрации электронов получаем 2. q k.

k В этом случае характерный размер волновой функции n = exp(-2k|z |) S в направлении z, т. е. 1/k, превышает характерный размер для изменения потенциальной энергии 1/q. Тогда e-iqr k + q, l |k, l k, l||k + q, l.

q k,l,l k F(q ), (30) (24) q Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. Диэлектрическая проницаемость квазидвумерных полупроводниковых наноструктур а диэлектрическая проницаемость равна Для диэлектрической проницаемости вновь имеем выражение (27), а формфактор равен 2e2k (, q ) =1 - lim. (31) 0 Sq2 2 4k4 (1- e-qa) F(q)= (1 + e-qa)2 + D 2 Таким образом, с точностью до численного множиq2 4k2 + q1+ a теля полученное выражение соответствует объемному случаю.

q2 2 3q Как видим, условие перехода к „двумерной“ зави 1 + + 2 симости диэлектрической проницаемости от волнового 2( + k2 ) 4(4k2 + q2)( + k2 ) вектора заключается в том, что характерный размер q2 k2 a qa фурье-компоненты потенциала в направлении z (1/q) + + +, 2(2 + q)(4k2 + q2)( + k2 )2 4q 8(4k2 +q2) превышает размер волновой функции k-1.

(39) где 4. Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины 4k2 q(2 + q) = 1 +, (2 + q)(4k2 + q2) 4( + k2 ) Рассмотрим в рамках общего подхода более реалистичный случай прямоугольной ямы конечной глубины U0. Ограничимся первым уровнем размерного 1 - e-qa qe-qa( - k2 ) D = + квантования с энергией электронов E < U0. Волновые q (4k2 + q2)( + k2 ) функции в направлении z соответствуют решению для qkпрямоугольной потенциальной ямы шириной a [14].

+.

Тогда 2 (2 + q)( + k2 ) C E e x, x 0, Ход зависимостей F(q) показан на рисунке. Представ U ляет интерес анализ следующих предельных случаев.

C sin(kx + ), 0 < x < a, (z ) = (32) k 1. Проверим, что наше решение в некотором пределе a x Ce E e-, x a, U0 сводится к яме, описываемой -функцией. Необходимо одновременно перейти к пределу U0 и a 0, но 1/E при соблюдении условия U0a2 = const. При этом у нас C =. sin =. (33) 1/2 Ek, а — конечно.

1 + a Тогда = 1/(2 + q2) и формафактор равен Здесь = 2m(U0 - E), (34) 2 q F(q) =2 2 + (2 + q)2 2 (2 + q) (2 + q) 2mE k =. (35) Выражение для волновых функций имеют вид = 1 +, (40) (2 + q) (2 + q) |k, l = uk,l(r)eik r (z ). (36) k что с точностью до обозначений совпадает с (26), т. е. со S случаем ямы в виде -функции.

Уравнение Пуассона для наведенной потенциальной 2. При стремлении высоты ямы к бесконечности, энергии имеет вид согласно (34),, = 2k2 / (4k2 + q2) и решение s s - q2Vq (z, t) +2Vq (z, t) сводится к величине z k2 -QC2 e2 z, если z 0, F(q) = +k42 + q2a -QC2 sin2(kz + ), если 0 < z < a, = (37) 3qa 2 44(1 - e-qa) + -. (41) k 8 qa a2q2(42 + q2a2) -QC2 e2 (a-z ), если z a, +k Это выражение для F(q) совпадает с приведенными в 4eQ = (k, +q, l |k, l) k, l||k + q, l. (38) работах [3,15].

S k,l,l Интересно рассмотреть соотношение (41) в двух предельных случаях.

Вновь зависимость от z осталась в явном виде. Для ее нахождения необходимо решить уравнение (37). а) qa 1.

5 Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. 194 Н.Л. Баженов, К.Д. Мынбаев, Г.Г. Зегря Как видим, условие перехода диэлектрической проницаемости к „двумерной“ зависимости от волнового вектора заключается в том, что характерный размер фурье-компоненты потенциала (1/q) в направлении z превышает размер волновой функции, который в данном случае равен просто a.

Вернемся к анализу выражения (39) и рассмотрим следующие случаи.

3. qa 1.

В этом случае = 1/2. В выражении (39) после разложения экспонент по малому параметру qa останутся следующие члены:

2 2 2 a qa - (qa)2/2 a F(q) = - + (2 )2 2 q24 4q 1 + a 1 ( a)= 2 + 2 a + = 1, (45) 2 1 + a что в точности соответствует строго двумерному случаю (см. рисунок).

4. qa 1.

В этом случае 1/q и члены, содержащие, вклада в (39) не дадут. Выражение для формфактора принимает вид Зависимости формфактора F(q) от волнового вектора q для 3 a потенциальной ямы конечной высоты, полученные при слеF(q) = 1 + +. (46) дующих параметрах: U0 = 0.5эВ, m = 0.023m0 (символы 4).

4 2( + k2 ) q 1 + a Ширина ямы, : a —7, b —70 и c — 700. Представлены расчеты по выражениям: 1 — (47), 2 — (49). Линия Видно, что зависимость F(q) качественно соответсоответствует значению F(q) =1.

ствует трехмерному случаю. Чтобы лучше ее понять, рассмотрим для (46) два следующих предельных случая.

Раскладывая экспоненту в ряд до членов 2-го порядка а) a 1.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.