WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 1 Из истории науки Обменное давление и приближение Вигнера–Зейтца1 © Н.А. Дмитриев Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, 607180 Саров, Нижегородская обл., Россия (Поступила в Редакцию в окончательном виде 22 декабря 2004 г.) Получены рабочие формулы для численного расчета обменной части давления в металле в приближении сферических ячеек Вигнера–Зейтца, исходя из формулы, полученной Н.А. Дмитриевым в приближении Хартри–Фока.2 PACS: 71.10.Ca, 71.20.Gj 1. Введение говорил Б.Я. Зельдович: „...на самом деле мы все трепещем перед ним, как перед высшим судьей“. (Из Необходимость вычисления давления прямым воспоминаний А.Д. Сахарова о Н.А. Дмитриеве).

квантово-механическим методом была связана с тем, что полуфеноменологические, томас-фермиевские, 2. Переход к приближению квазиклассические (без поправок и с разного рода Вигнера–Зейтца поправками) методы не давали правильного уравнения состояния (УС) вблизи нормальной плотности металла.

Согласно [1], обменная часть давления в приближении С другой стороны, прямым квантово-механическим выХартри–Фока выражается формулой3 числением было показано, что уже только приближение Хартри дает значительное улучшение поведения УС l2 d Pexc = dr1dr|(r2 + g|r1)|2 по сравнению со статистическими методами. Поэтому 3 d g 0 0 следующим естественным шагом стал расчет обменных I поправок в давлении. В предлагаемой работе как раз. (1) |r2 + g - r1| и решена эта задача в приближении Хартри–Фока для =1 модели сферических ячеек металла. В расчетах давления Здесь 0 — ячейка с центром в начале координат, часто ограничиваются внутриячеечным приближением.

— объем ячейки, g пробегает центры всех ячеек Здесь рассчитывается полное обменное давление — решетки, (r2|r1) — матрица плотности для электронов внутриячеечное и междуячеечное (кулоновская часть с одним направлением спина (спины считаются компенмеждуячеечного давления в рассматриваемом сфериче- сированными).

ском приближении точно равна нулю). Оценка точности Фактически (r2|r1) вычисляется нами в приближепроведенных вычислений основана на их сравнении с ре- нии Вигнера–Зейтца, поэтому желательно и межъячеечные интегралы, входящие в (1), также считать в призультатами таких же вычислений для случая свободного ближении Вигнера–Зейтца. Это даст логическую стройэлектронного газа, которые выполнимы и фактически ность, что должно упростить и уточнить расчеты. Сразу выполнены в работе точно. В статье отсутствует отметим, что все дальнейшее относится в основном традиционный раздел „Обсуждение результатов“ и это к взаимодействию внутри незаполненной зоны (зон), придется сделать самому читателю. Тем не менее эта что впрочем и составляет основную часть обменного сугубо аналитическая работа, как я надеюсь, окажется давления.

полезной по крайней мере в методическом отношении, где Н.А. Дмитриев был воистину недосягаемым. (Как Обменную часть давления в приближении Хартри–Фока можно получить из общего выражения для него, полученного в работе [1]. Эта Отчет ВНИИЭФ 1964 г. К печати подготовлен М.Ф. Сарры. часть имеет вид (1) и эта формула впоследствии была опубликована Аннотация и Введение написаны М.Ф. Сарры. в [2]. (Прим. М.Ф.С.) 186 Н.А. Дмитриев Пусть функция |(r2 + g|r1)|2 представлена в виде До перехода к приближению Вигнера–Зейтца ядро GK интеграла Фурье по g обладает свойством эрмитовости (если решетка имеет центр симметрии): GK(r2r1) =G-K(r1|r2) =G (r1|r2).

K Это свойство сохраняется и в приближении Вигнера– |(r2 + g|r1)|2 = dKeiKg f (r2|r1). (2) K Зейтца. В самом деле (опускаем индекс K), Для удобства расчетов будем считать, что область G(r2|r1) - G(r1|r2) интегрирования по K может выходить за пределы одной ячейки обратной решетки; таким образом, f (r2|r1) K = [G(r2|r)(r - r1) - G(r1|r)(r - r2)] dr определяется не вполне однозначно. Подставляя (2) в (1), имеем l= - [G(r2|r) G(r1|r) - G(r1|r) G(r2|r)] dr Pexc = dK d eiKg = - d G(r2|r) G(r1|r) dr1dr2 f (r2|r1).

K 4 n d |r2 + g - r1| g 0 Введем обозначение - G(r1|r) G(r2|r) n eiKg Gk(r2|r1) =.

1 d |r2 + g - r1| = - d e-iKr G(r2|r) e-iKr G(r1|r) g 4 dn Функция GK(r2|r1) как функция r1 определена в ячейке 0 и удовлетворяет уравнению d - e-iKrG(r1|r) e-iKr G(r2|r) = 0, GK(r2|r1) =-4(r1 - r2) и граничным условиям 1 dn блоховского типа с квазиимпульсом K. При переходе к приближению Вигнера–Зейтца заменим ячейку 0 на так как в силу граничного условия (4) подынтегральная сферу равного объема 0, а измененную функцию G0 функция — нечетная функция от r на -границе 0.

K определим таким же уравнением Положительным фактом, позволяющим надеяться на хорошую точность, является то, что при интегрировании G0 (r2|r1) =-4(r1 - r2)(3) K плоских волн изложенный метод Вигнера–Зейтца является вполне точным (пока квазиимпу льс и импульс одно и граничным условием Вигнера–Зейтца на границе шара и то же). Действительно, J(r1) = eiKr GK(r2|r1)dre-iKr G0 (r2|r1) - функция четная от r1, K есть решение уравнения J = -4eiKr, удовлетво(4) e-iKr n1 G0 (r2|r1) - функция нечетная от r1. ряющее вигнер-зейтцовскому граничному условию с K квазиимпульсом K. Но этим условиям удовлетворяВ наше определение не входит параметр из форму- ет сама плоская волна (4/K2)eiKr, которую можно лы (1). Чтобы ввести его, сделаем следующее преобразо- рассматривать как интеграл по всему пространству вание:

eiKr |r2-r|dr2. В Приложении показано, что и для давления свободного электронного газа приближение eiKg I eiKg = Вигнера–Зейтца никакой ошибки не вносит.

I I |r2 + g - r1| r2 + g - r g g I I I 3. Вычисление функции Грина = GK r2 r1.

Для вычисления функции GK(r2|r1) разложим ее по Таким образом, в приближении Вигнера–Зейтца, пересферическим гармоникам. Уравнение (3) равносильно обозначая I/ на, получаем условию GK(r2|r1) - — гармоническая в 0 функr2-rция. Как известно, ePexc = - dK = Pl(r0r0)1(r2r1) 2 d |r2 - r1| l= dr1dr2 f (r2|r1) GK(r2|r1).

K d =0 0 l r = 1(r2r1) Ylm Ylm(r0), r2 2l + В дальнейшем будем вместо G0 и 0 писать GK и 0.

K l=0 m=-Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Обменное давление и приближение Вигнера–Зейтца где гармонику равен нулю; соответствующее условие спра rl ведливо для нечетной функции. При этом достаточно, если r1 < r2, rl+1(r2, r1) = брать гармоники с тем же M; другие тривиально дадут rl, если r1 > r2, нуль.

rl+Введем обозначение а сферические гармоники Y1m нормированы условием |Ylm|2 d = 1. За ось для сферических гармоник выбе4 d s YLM(, )YpM(, )e-iKr cos = iL+pApLM(Krs ). (5) рем направление квазиимпульса K. Разложим прежде всего GK(r2|r1) - по сферическим гармоникам от r2-rЛегко видеть, что в силу свойств четности произнаправления r0, ведения YLMYpM ApLM действительны и симметричны, ApLM = ALpM.

GK(r2|r1) = + Flm(r1; r2)Ylm(r0).

r2 - r1 lm Подставляя (5) в граничные условия и сокращая на p+l i, получаем Тогда l + I drApLM - Ll + LFlLM = Flm(r1; r2) = GK(r2|r1) - Ylm(r0) 2l + |r2 - r1| L — гармоническая функция.

для четных p;

Поскольку в граничные условия (4) r2 входит только как параметр, они должны удовлетворяться для каждой ApLM Ll + FlLM = 0 (6) гармоники в отдельности. Учитывая, что на границе 2l + L r1 > r2, получаем для нечетных p.

1 rl 2 Таким образом, FlLM — действительны. В силу доFlm(r1; r2) + Ylm(r0) e-iKr 2l + 1 rl+1 казанной выше эрмитовости они симметричны. Видно, s r1=rs что система (6) распадается по M и по l. Эта си— четная функция, стема может быть решена заранее для всех случаев.

d l + 1 rl FlLM суть определенные безразмерные функции одного Flm(r1; r2) - Ylm(r0) e-iKr безразмерного параметра Krs, который в дальнейшем dr1 2l + 1 rl+2 s r1=rs будет обозначаться через. Для решения системы (6) — нечетная функция, где rs —радиус 0.

можно обрезать ее на некотором номере гармоник, на Поскольку эти условия должны выполняться тождетом же, на котором производится обрезание в других ственно по r2, зависимость Flm от r2 должна иметь частях задачи. Такой подход, по-видимому, приведет вид Flm(r1; r2) =Flm(r1)rl. Из гармоничности Flm(r1) к значительному искажению: например, теряется свойследует, что Flm(r1) = Flm,LMrLYLM(r0).

1 ство эрмитовости, что показывается непосредственной L,M проверкой для двух гармоник. Можно переходить к Поскольку при вращении r1 и r2 вместе вокруг оси пределу по числу гармоник. Можно искать разложение K G(r2|r1) не должно меняться, отличны от нуля тольв ряд по степеням ; коэффициенты ряда определяются ко члены с M = m. Окончательно, вводя обозначения рекуррентно. Проделаем это.

Flm,LM = mMil-LFlLM, получаем Прежде всего разложение коэффициента ApLM начиI нается с |p-L|. В самом деле, произведение YLMYpM GK(r2|r1) = |r2 - r1| разлагается на сумму гармоник порядка от |L - p| до |L + p| (через два), так что коэффициенты при всех rLr2l + il-LFlLM 1 YLM(r1)Ylm(r0), степенях ниже |L - p| после интегрирования дадут rL+l+s M,L,l нули.

Рассмотрим сначала систему (6) для M = 0. Тогда а граничные условия принимают вид l, L, p |M|, следовательно, l, L, p = 0. Выделяя диаго нальные элементы, систему можно переписать в виде YlM(r0) + il-LFlLMYLM(r0) eiKr 1 2l + L=|M| 1 l + Flpm = AplM - LApLmFlLm, — четная функция; pAppM 2l + L =p l + 1 если p — четное;

- YlM(r0) + Lil-LFlLMYLM(r0) e-iKr 1 2l + L=|M| 1 Flpm = - AplM - ApLmFlLm, — нечетная функция. Условие, что функция направления AppM 2l + L =p r0 — четная, очевидно, равносильно условию, что интеграл от произведения этой функции на любую нечетную если p — нечетное.

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 188 Н.А. Дмитриев Предположим, что порядок по в F1pM определяется Используя отброшенное ранее уравнение, получаем свободным членом, т. е. равен |l - p|. Члены суммы по (1) l+L в скобках имеют порядок |p - L| + |L - l|, который A0l0 - LA0L0FlL2l+L =равен 1 - p для L, лежащих между p и, так что Fl00 =.

(2) |L - l| < |p - l|. Для прочих L слагаемые имеют более LA0L0FlLL =высокий порядок. Таким образом, можно определять последовательно старшие члены разложений Flpm для Члены в числителе имеют порядок соответственно |l - p| = 0, 1, 2,.... Так же, очевидно, получаются и L + l - L = l для L l, L + L - l = 2L - l > l для L > l.

следующие члены разложения.

Итого числитель порядка. Члены в знаменателе имеют Пусть теперь M = 0. Предыдущее рассуждение не порядок 2L, т. е. знаменатель имеет порядок 2 и Fl00 — подходит из-за того, что в уравнении для Fl00 в знамепорядок l - 2. Слагаемые Flp0 имеют порядок |l - p| нателе оказывается нуль. Выделив Fl00, систему можно и p + l - 2. Поскольку p + l - 2 |l - p|, кроме тех записать в виде случаев, когда l = 0 или p = 0, Fl00 = F0l0 имеет порядок l - 2, a Flp0 (l = 0, p = 0) — порядок |l - p|, как и все 1 AplFlp0 = - - Ap00Fl00 - ApL0FlL0, остальные Flpm.

App0 2l + L =0,p Вычислим старший член Flесли p — нечетное;

A000 -... (2) F000 =, F010 = (-A100 -...), (2) A A010F010 +...

1 l + Flp0 = - Apl0 - LApL0FlL0, pApp0 2l + L =0,p A000A110 A000AF000 = - +... = - +..., A010A100 Aесли p — четное.

Y00 = 1; Y10 = 3, = cos, l + - A0l0 + LA0L0FlL0 = 0.

2l + L =d A000 = 1 · 1 · ei = 1 +..., Отбрасывая последнее уравнение, можно выразить Flp0, -(1) (2) (1) (2) p = 0 через Fl00: Flp0 = Flp0 + Flp0 Fl00, где Flp0 и Flp определяются системами уравнений 1 d A110 = 3 3e- = -1 +..., i2 1 Apl(1) (1) -Flp0 = - - ApL0FlL0, App0 2l + L =0,p 1 d A100 = 1 3e-i если p — нечетное;

i -1 l + (1) (1) Flp0 = Apl0 - LApL0FlL0, pApp0 2l + d L =0,p = -i 3 (1 - i +...) = - +..., -если p = 0 — четное;

F000 = +....

(2) (2) Flp0 = -Apl0 - ApL0FlL0, AppL =0,p Разложение в ряд может быть вполне реальным способом вычисления.

если p — нечетное;

В заключение этого раздела выпишем формулу для обменного давления через коэффициенты FlLM (2) (2) Flp0 = - LApL0FlL0, pApp0 L =0,p lPexc = - (l + L + 1)il-L dKFlLM(Krs ) 3rs lLM если p = 0 — четное. Рассуждая так же, как выше, (1) (2) получаем, что Flp0 имеют порядок |l - p|, а Flp0 —поряrl rl 2 f (r2|r1) YlM(r0)YLM(r0)dr1dr2. (7) K док p; они располагаются в другой последовательности:

rl+L 2 s 0 сначала Fl(2), затем Fl(2) и т. д.

00 Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Обменное давление и приближение Вигнера–Зейтца 4. Матрица плотности задачи от плоскости, в которой лежат эти три оси. Это справедливо вследствие того, что любой фазовый множитель Матрица плотности (r2|r1) выражается через однов f, не зависящий от, исчезнет в произведении LM электронные функции, нормированные на ячейку, k,nm f f. Теперь угловой интеграл зависит только от LM lM углов между k, k и K, т. е. выражается через длины k, k dk (r2 + g|r1) = e-ikg (r2) (r1), и K. Обозначим его, включая степени i, через k,nm 4k3 k,nm nm HLM(k, l, m |k, l, m; K) где (4/3)k3 =(2)3/ — объем ячейки обратной решетки. Интегрирование по k производится до k0, если dr(k (K) = il-l -L Yl(k )(r0)Ylm)(r0)YLM (r0). (9) m n — номер заполненной зоны, и по части шара для незаполненной зоны. Отсюда Введем следующее обозначение:

dkdk -k)g |(r2 + g|r1)|2 = ei(k ((4/3)k3)rL+nm VL(k, n m, l |k, nm, l) = vk,nml(r)vk,n m l (r) dr n m rL s (r2) (r1) (r2) (r1), k,nm k,n m k,n m k,nm (10) и наконец заменим переменный интегрирования dkdk f (r2|r1) = (k - k - K) k dkdk dK(k - k - K) =dkK2dkd d cos. Очевидно, от ((4/3)k3)nm направления k и от азимута ничто не зависит, так что n m dkd можно заменить на 4k2dk (r2) (r1) (r2) (r1).

k,nm k,n m k,n m k,nm k 2 - k2 - K2 k dk cos = k0K0 =, d cos =.

Вводя обозначение 2kK k,K-const kK f (k, n m |k, nm) LM Итак, dkdk dK(k - k - K) =82kdkk dk KdK, |k - k | K k + k.

rL (K) = i-L (r) (r) YLM (r0)dr, k,n m k,nm Учитывая формулы (8)–(10), имеем rL s f =(k, n m |k, nm) LM где K = k - k, получаем = VL(k, n m, l |k, nm, l)HLM(l, m, k |l, m, k; K), lPexc = - (L + l + 1) dKFlLM(Krs ) l,l 3rs LlM K = k - k, dkdk (k - k - K) ((4/3)K0 )2 l2 9 kdkk dk nm Pexc = - (L + + 1) n m 3rs 2 k4 ML nm n m f (k, n m |k, nm) f (k, n m |k, nm). (8) LM lm k+k Для вычисления f введем обозначения KdK LM F LM(Krs ) klmax |k-k | (k (r) = ilvk,nml(r) Ylm)(r0), k,nm l=|m| f (k, n m |k, nm) f (k, n m |k, nm).

LM M здесь осью для сферических гармоник служит не K, a k Наметим, как вычисляется угловой интеграл H:

f (k, n m |k,nm) l LM (k Ylm) = Pl (k0K0)Yl(K), mµ µ rs µ=-l rL = il-l -L vk,nml(r)vk,n m l (r) r2dr rL s где l,l k 2 - k2 - KPl (k0K0) =Pl mµ mµ dr(k (K) 2kK Yl(k )(r0)Ylm)(r0)YLM (r0).

m — обобщенные сферические функции (см. [3] стр. При вычислении интеграла по углам можно считать, и далее). Ylµ YlµYLM d = CLM,lµ выражается через коl µ что азимуты гармоник с осями k, k и K отсчитываются эффициенты Клебша–Гордана (см. [3] стр. 152 и далее).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.