WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 7 03 О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости © А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 24 ноября 2003 г.) Получено и решено нелинейное интегральное уравнение, описывающее временную эволюцию амплитуды нелинейной неустойчивой волны на плоской однородной заряженной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Выяснилось, что характерное время реализации неустойчивости определяется начальной амплитудой виртуальной волны, с которой начинается неустойчивость, и закритичностью величины параметра Тонкса-Френкеля. При равной нулю закритичности характерное время реализации неустойчивости определяется только начальной амплитудой и может быть весьма большим, до 8 h. Этот эффект характерен именно для плоской заряженной поверхности жидкости и не имеет места для заряженных капель.

1. Исследование физических закономерностей реали- жидкости по отношению к поверхностному заряду:

2 зации неустойчивости заряженной плоской поверхности W = 4 / g; k —волновое число; — капилляр жидкости представляет интерес в связи с многочислен- ная постоянная жидкости: = /g.

ными академическими, техническими и технологически- Учет нелинейной поправки к частоте, появляющейми приложениями [1,2]. Однако, несмотря на значитель- ся при расчетах профилей нелинейных капиллярноный интерес к этому феномену, до сих пор не изучен фи- гравитационных волн в третьем порядке по малому зический механизм формирования „конусов Тейлора“ — параметру (a/) — отношению амплитуды волны a выступов на заряженной поверхности жидкости, образу- к капиллярной постоянной приводит к появлению ющихся на нелинейной стадии реализации ее неустойчи- зависимости критической величины параметра W от вости, с вершин которых идет сброс избыточного заряда амплитуды волны a (от малого параметра ) [12] путем эмиссии высокодисперсных сильно заряженных W 2 - · 2 2 - (a0/)2, = 11/8. (2) капелек [1–4]. Качественная модель формирования таких выступов предложена еще в [5]. В [6] предпринята Проследим за эволюцией во времени капиллярнопопытка их численного расчета, которая мало дала для гравитационной волны с k = -1, потерявшей устойчипонимания феномена. Но никто не пытался оценить вость при выполнении условия (1), т. е. при W = W = 2, характерное время формирования „конусов Тейлора“ от принимая во внимение то обстоятельство, что с ромомента начала реализации неустойчивости заряженной стом амплитуды волны критическое значение параметра жидкой поверхности. Этому вопросу и посвящено настоТонкса-Френкеля, согласно (2), снижается.

ящее рассмотрение, проведенное по схеме, использовавНевозмущенная капиллярным волновым движением шейся ранее при анализе нелинейных стадий развития равновесная плоская заряженная поверхность жидкосильно заряженной капли [7,8] и незаряженной капли в сти при W = 2 устойчива. Неустойчивость проявитоднородном внешнем электростатическом поле большой ся, если на плоской поверхности жидкости появится величины [9].

виртуальная волна сколь угодно малой амплитуды a0.

2. Пусть идеальная несжимаемая электропроводная В таком случае существующее значение параметра жидкость с плотностью заполняет в поле тяжести Тонкса-Френкаля W = 2 для волны будет закритичеg -nz полупространство z 0 в декартовой системе ским и, согласно теории [5,7–10], амплитуда этой волны координат (за nz обозначен орт оси z ), а ее невозначнет нарастать во времени по экспоненциальному мущенная волновым движением, равновесная плоская закону a(t) =a0 exp( · t) с инкрементом, пропорциоповерхность (совпадающая с плоскостью XOY) поднальным корню квадратному из разности между сущевержена действию сил поверхностного натяжения с ствующим значением W = W = 2 и критическим для коэффициентом и несет однородно распределенный виртуальной волны, определяемым по соотношению (2), электрический заряд плотностью.

т. е.

В рамках линейной модели [10,11] критические усло =(a0/) ( · g/). (3) вия реализации неустойчивости такой поверхности имеют вид Такой экспоненциальный рост с инкрементом, проW = k +(k)-1, k = -1, (1) порциональным начальной амплитуде, будет обеспечен W — безразмерный параметр Тонкса-Френкеля, ха- волне лишь на коротком интервале времени: пока прирактеризующий устойчивость свободной поверхности рост начальной амплитуды a не выйдет за пределы О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости условия a a0. Затем в выражении для инкремен- Сказанное означает, что в экспериментах по проверке та (3) следует заменить a0 на a0 + a и рассмотреть справедливости критерия неустойчивости заряженной экспоненциальный рост амплитуды на следующем ко- поверхности жидкости [13,14] характерное время ожиротком интервале времени и т. д. В итоге (детальные дания реализации неустойчивости должно зависеть от рассуждения вывода можной найти в работах [7–9], способа задания виртуальной волны. Поскольку в рабопосвященных исследованию временной эволюции ка- тах [13,14] это обстоятельство не упоминалось, остается пель, неустойчивых по отношению к собственному либо предположить, что в экспериментах виртуальные волны поляризационному зарядам) для отыскания амплитуды возникали либо из-за теплового движения молекул, но неустойчивой волны получим нелинейное интегральное тогда время ожидания реализации неустойчивости должуравнение но быть весьма большим, либо генерировались в результате случайных сотрясений установки, а их амплитуда t не контролировалась. Впрочем, в [3] имеется прямое a(t) g a(t) =a0 exp dt, (4) указание на длительность линейной стадии подготовки разряда: так, там упоминается, что примерно из пятнадцати метров кинопленки, на которую фиксировался решение которого имеет вид эксперимент с момента подачи напряжения, сам акт выброса струйки жидкости при реализации неустойчивости a0 aa(t) =. (5) зафиксирован лишь на одном кадре. В [14] о времени 1 - (a0/) · g/ · t 1 - t задержки разряда вообще не упоминается. Сказанному Из (5) несложно видеть, что характерное время ре- существует еще одно возможное объяснение: в экспериализации неустойчивости t, определяемое как харак- ментах [13,14] использовалось напряжение, превышавшее критическое, и эксперимент происходил при налитерное время неограниченного приближения к нулю знаменателя (5), полностью характеризуется инкремен- чии закритичности параметра Тонкса-Френкеля W по сравнению с критическим значением W = W = 2, опретом неустойчивости в начальный момент реализации деляемым (1), что и сказалось на величине характерного неустойчивости t = -1, хотя весь процесс является времени реализации неустойчивости.

существенно нелинейным. Отметим, что смысл в рассмотренном нелинейном росте амплитуды неустой- 3. Пусть в начальный момент времени величина параметра Тонкса-Френкеля превышает критическое для чивой волны со временем и в экспоненциальном росте, плоской поверхности жидкости на W и равна W + W.

характерном для линейной теории, различен: в линейной теории за время -1 амплитуда волны увеличивается В такой ситуации величина инкремента неустойчивости в начальный момент ее реализации будет зависеть как от 2.73 раза, а в рассмотренном нелинейном процессе за величины начальной амплитуды виртуальной волны a0, то же время амплитуда достигает бесконечно больших так и от степени закритичности W и в соответствии значений. То, что закон нарастания амплитуды волны с традиционными представлениями [1,7–10] задается со временем (5) обеспечивает большую скорость роста по сравнению с экспоненциальным, легко увидеть, рас- соотношением кладывая (5) и exp(t) при t < 1 по степеням t и g a0 сравнивая их между собой.

= W +.

Минимально возможное значение a0 определяется амплитудой капиллярных волн, порождаемых тепловым Зависимость же амплитуды неустойчивой волны от движением молекул жидкости a0 T / ( — постовремени определится как решение нелинейного интеянная Больцмана, T — абсолютная температура жидгрального уравнения кости). Амплитуда таких волн для подавляющего больt шинства реальных жидкостей при разумных (в смысле g a(t) a(t) =a0 exp W + dt, возможности существования жидкости) температурах будет иметь величину около половины ангстрема, и, следовательно, характерное время развития неустойчивости решение которого имеет вид будет весьма большим. Так, при a0 = 10-8 cm характер 2exp( g · W / · t) · (1 + ) ное время реализации неустойчивости t, например, для a(t) =, заряженной поверхности воды, граничащей с вакуумом, (1 + )2 - (a0/)2 exp(2 g · ( W /)t) приближается к 8 h. С ростом начальной амплитуды a a0 характерное время t уменьшается a-1 и уже при 1 +.

a0 10-3 cm измеряется единицами секунд. В итоге W получаем, что для получения в экспериментах при Характерное время реализации неустойчивости, опреW = W = 2 характерных времен реализации неустойчиделяемое данной зависимостью, получается из условия вости, измеряемых секундами, необходимо виртуальные обращения в нуль знаменателя a(t) в виде волны k · = 1, с которых начинается неустойчивость, создавать искусственно. t = (/g · W ) ln[(/a0)]. (6) Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 142 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов Заключение Характерное время реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости t определяется начальной амплитудой a0 виртуальной волны, с которой начинается неустойчивость, и степенью превышения параметром Тонкса-Френкеля критического для волны данной длины значения (т. е. закритичностью W ). Влияние закритичности W на величину t при W = 0 является преобладающим. При W = 0 характерное время t обратно пропорционально a0 и при достаточно малых a0 может достигать весьма больших величин в силу медленности нарастания амплитуды на линейной стадии неустойчивости. Так, если виртуальная волна порождается тепловым движением молекул жидкости и a0 10-8 cm, то t, например, для воды приближается к 8 h.

Зависимость характерного времени реализации неустойчивоРабота выполнена при поддержке гранта РФФИ сти t от величины начальной амплитуды волны a0 при ее (грант № 03-01-00760) и гранта Президента РФ изменении от 10-4 до 10-3 cm и степени закритичности пара(№ МК 929.2003.01).

метра Тонкса-Френкеля W, изменяющейся от 10-4 до 10-3.

Список литературы Из (6) видно, что основной вклад в величину характерного времени реализации неустойчивости дает закри- [1] Габович М.Д.// УФН. 1983. Т. 140. N. 1. С. 137–151.

[2] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994.

тичность параметра Тонкса-Френкеля W, а влияние №3. С. 3–22.

величины начальной амплитуды виртуальной волны a[3] Taylor G.I. // Proc. Roy. Soc. (London). 1964. Vol. 280A.

более слабо (см. рисунок). Принимая во внимание, что P. 383–397.

величина капиллярной постоянной для большинства [4] Шевченко С.И. // ЖТФ. 1990. Т. 60. Вып. 2. С. 54–58.

жидкостей измеряется единицами миллиметров, из (6) [5] Tonks L. Phys. Rev. 1936. Vol. 48. P. 562–571.

несложно найти, что уже при W 10-3 независимо [6] Allen J.E. // J. Phys. D. 1985. Vol. 18. P. 59–62.

от величины a0 характерное время реализации неустой- [7] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Григорьева И.Д. // ЖТФ.

1995. Т. 65. Вып. 9. С. 39–45.

чивости будет измеряться секундами. Применительно [8] Ширяева С.О. // ПЖТФ. 2000. Т. 26. Вып. 4. С. 5–8.

к экспериментам [13–14] сказанное позволяет пред[9] Григорьев А.И. // ПЖТФ. 1998. Т. 24. Вып. 24. С. 36–40.

положить, что в обоих случаях измерения проводи[10] Френкель Я.И. // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. №. 4. С. 348–350.

лись при определяющем влиянии на характерное время [11] Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О. // ЖТФ.

реализации неустойчивости закритичности параметра 1999. Т. 69. Вып. 7. С. 15–22.

Тонкса-Френкеля.

[12] Белоножко Д.Ф., Климов А.В., Григорьев А.И. // ПЖТФ.

2003. Т. 29. Вып. 24. С. 41–45.

4. Интересно отметить, что при рассмотрении за[13] Taylor G.I., McIwan A.D. // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 22. Pt 1.

кономерностей реализации неустойчивости капель по P. 1–15.

отношению к собственному и индуцированному заря[14] Шутов А.А. // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 8. С. 126–130.

дам [7–9] зависимость характерного времени реализации неустойчивости от амплитуды начального возмущения равновесной формы капли 0P2(cos ) (здесь P2(cos ) — полином Лежандра) маскируется его сильной зависимостью от радиуса капли R, имеющей вид t (R4/0).

При R 10-2 cm (а именно для капель таких размеров проводились экспериментальные исследования их устойчивости по отношению к поверхностному заряду [2]) и 0 10-8 cm получим (R4/0) 1. Поэтому обнаруженная в проведенном рассмотрении сильная зависимость характерного времени развития неустойчивости от величины начальной амплитуды на пороге критичности параметра Тонкса-Френкеля свойственна именно плоской заряженной поверхности жидкости.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.