WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 7 01;09 Замкнутые геодезические траектории на части поверхности тора © С.С. Романов Национальный научный центр „Харьковский физико-технический институт“, 61108 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 9 января 2003 г.) На тороидальных многообразиях исследованы геодезические траектории, которые расположены в части многообразия, содержащей большой экватор тора. Используя интегралы геодезических, рассмотрены локальные и глобальные свойства траекторий. Из максимальных геодезических сконструированы замкнутые траектории, которые имеют целые глобальные инварианты.

Введение многообразия. Верхняя грань значений h для некоторых величин угла приведена в таблице.

Любая информация о траекториях бывает полезной при организации движения. В физике низких энергий h электромагнитные взаимодействия играют центараль0 (ch 0 - 1)-1 ную роль. Направление и фокусировка частиц с магнитarccos(1/ ch 0) (th 0 sh 0)-1 ным моментом могут быть осуществлены посредством /2 (ch 0)-1 магнитного поля, поторое успешно применяется в физи (ch 0 + 1)-1 ке атомных пучков, а также предложено для нейтронных пучков [1].

Накопление нейтронов облегчается, если использоОтметим, что геодезическая траектория может обвать магнитное поле в виде тора. В кольце допустививать азимутальную ось тора, пересекая большой и мая энергия нейтронов, которые могут быть захвачены малый экваторы тора, только при h < (ch 0 + 1)-1.

ловушкой, больше по сравнению со сферой. Барьер Уравнение геодезической в этом случае приведено в [4].

для влетающих нейтронов отсутствует, если движение Геодезическая траектория является максимальной [7] на нейтронов в ловушке осуществляется по ограниченной тороидальном многообразии, она определена на всем части поверхности кольца [2]. Естественные движения множестве R3. При других значениях h геодезические при отсутствии внешних сил происходят по геодезинаходятся на ограниченном тороидальном многообразии ческим траекториям. На тороидальном многообразии и для замкнутых траекторий могут быть только кусочноне каждая максимальная геодезическая определена на всем многообразии. Поэтому поверхность тора в R3 гладкими.

Когда h (th 0 sh 0)-1, геодезические расположены не является геодезически полной. Геодезические трав выпуклой части многообразия и пересекают большой ектории характеризуются локальными и глобальными экватор тора.

инвариантами. Связь между глобальными инвариантами Интеграл Клеро устанавливает локальную связь межвдоль геодезических на тороидальных многообразиях ду характеристиками геодезических.

установлена в работах [3,4].

В настоящей работе получены уравнения геодезических траекторий, которые располагаются на ограниченАналитические свойства второго ных тороидальных многообразиях.

интеграла Интеграл Клеро Здесь мы найдем уравнения максимальных геодезических траекторий, которые определены на ограниченном Система дифференциальных уравнений геодезичетороидальном многообразии.

ских [5] имеет два интеграла. Первый интеграл, который Зависимость между поверхностными координатами называется интегралом Клеро, в тороидальной системе геодезических представляется вторым интегралом [4] координат,, [6] имеет вид h(ch 0 - cos )d sin = h(ch 0 - cos ), () =.

sh 0 1 - h2(ch 0 - cos )h — константа вдоль геодезической на торе = 0.

Угол между геодезической и меридианом тора имеет Если рассматривать только траектории, которые либо ограниченное изменение [0, /2]. Если правая часть плотно покрывают многообразие R2, либо являются пеинтеграла Клеро превосходит единицу, то геодезическая риодическими, мы должны оставаться в действительном располагается на ограниченной части тороидального векторном пространстве R. В этом случае геодезические, 140 С.С. Романов описываемые указанными интегралами, являются глад- Оно не имеет особенностей, отличных от особеннокими траекториями без самопересечений и узлов. стей первого слагаемого. Влияние третьего сомножитеДля дальнейшего анализа второго интеграла геодези- ля на величину A2 оценим асимптотически. Результат ческих удобно перейти к новой переменной x = tg(/2) вычисления таков и записать его в виде суммы двух слагаемых 2(ch + 1)-1 shA2 ch + (x) =2h (A1 + A2). (2ch2 + ch - 1) ch sh 2ch Здесь и далее индекс 0 у опущен, однако мы предпола arctg x.

гаем, что находимся во множестве R2. Первое слагаемое ch - 1 - (ch + 1)x -1/1 - h(ch - 1) +(1 - h(ch + 1))x2 Геодезическая траектория при h = (th · sh )-A1 = dx расположена между верхней и нижней параболическими 1 + h(ch - 1) + 1 + h(ch + 1) xлиниями тора имеет подынтегральную функцию, состоящую из двух ch сомножителей. Подкоренное выражение первого сомно- () = (ch + 1) shжителя может обращаться в нуль, когда постоянная Клеро превосходит (ch + 1)-1. Поэтому значения h 2 ch - cos убывают с ростом (см. таблицу). Второй сомножитель 1 - arctg 2 K(k) в нуль не обращается. (ch + 1)(1 - cos ) Второе слагаемое 2 2sh (1 - cos ) ch 2 - arctg A2 = - ch cos - 2ch2 + ch - ch + -1/1 - h(ch - 1) +(1 - h(ch + 1))x2 и пересекает большой экватор тора.

dx Другим примером, когда максимальная геодезическая (1 + x2) 1 + h(ch - 1) +(1 + h(ch + 1))xтраектория определена не на всем тороидальном многообразии, есть h = (ch )-1. Область, в которой опредедругих особенностей не добавляет.

лена траектория, находится между верхней параллелью При h =(ch - 1)-1 большой экватор тора является ( = /2) и нижней ( = -/2) и содержит большой геодезической.

экватор тора.

Когда h =(th · sh )-1, первое слагаемое Слагаемые второго интеграла -1/ch -- x2 dx ch dx (ch + 1)-1/2 sh2 ch +A1 =, A1 = · 2ch + 2ch2 -ch -1 - x2 2ch-1 + x+ x2ch2 + ch - 1 2ch+2ch2 +ch - sh 2(ch + 1)-1 ch dx = K(k) - F(, k) A2 = - 2 ch 2ch + (1 + x2) 1 - x2 2ch-1 +x2ch+выражается через эллиптический интеграл K(k) и элимеют особенности в точках x = ±1.

липтическую функцию, F(, k), квадрат модуля которой Максимальная геодезическая траектория равен 2ch2 + ch - 1 ch + 1 2 2cos k2 =, () 1 - arctg K(k0) = 4(ch + 1) ch sh ch 1 - cos а аргумент эллиптической функции есть 2 2 1 - cos - arctg ch + 2ch - 1 cos = arccos x.

ch - касается верхней параллели со стороны меньших знаВторое слагаемое можно записать в виде чений и нижней —со стороны больших величин.

Квадрат модуля эллиптического интеграла в этом случае -1/ ch -- x2 dx равен 2(ch + 1)-3/2 shch +A2 = - ·.

2ch + 2ch2 -ch -k2 =.

(1+x2) +x2 2ch2 + ch - 2ch2 +ch -1 4ch Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. Замкнутые геодезические траектории на части поверхности тора Траектория не имеет особенностей на параболических линиях тора.

Обе траектории при непрерывном изменении начальных значений поверхностных координат плотно покрывают ограниченную часть тороидального многообразия [8].

Замкнутые геодезические траектории Из максимальных геодезических составим уравнение замкнутой траектории. Отмеченные ранее кривые являются гладкими, кроме точек касания. По теореме Дарбу [9], необходимым и достаточным условием заРис. 1. Схема тороидальной геодезической, показывающая мкнутости всех геодезических тороидальной метрики кривую с p = 1, q = 4, i = arccos(1/ ch ). Для этого является выполнение равенства тора аспектовое отношение немного превосходит единицу (ch = 3/2). Пунктир — невидимая часть геодезической;

h(ch - cos )d p(i) сплошная кривая — часть геодезической, лежащей на наиболее = удаленной от центра части тороидальной поверхности.

sh 1 - h2(ch - cos )2 q(i) i(h) при всех i (p и q целые). Всякая геодезическая состоит из 2q геодезических отрезков между точками касания с параллелями.

Она огибает ось тора p раз. Пределы интегрирования i(h) определяются нормировкой постоянной Клеро.

При h =(th ·sh )-1 геодезическая содержится между параллелями i = ± arccos(1/ ch ), которые являются параболическими линиями тора.

Геодезическая замкнута тогда и только тогда, когда 2 ch = (ch + 1) 1 - arctg ch K(k) sh 2 sh p Рис. 2. Геодезическая обходит ось тора один раз (p = 1) и - = составлена из четырех геодезических отрезков (q = 2). Тор q 2ch2 + ch - довольно толстый (ch = 3/2). Параллели, которых касается замкнутая геодезическая, расположены при i = ±/2.

для некоторого рационального p/q.

Уравнение геодезических траекторий, когда h = =(th · sh )-1, На рис. 1 представлена трехмерная кусочно-макси ch мальная замкнутая траектория между параболическими 1() (ch + 1) = sh2 линиями тора с p = 1, q = 4, масштабный множитель c = 15 · 5. Отмечены верхняя и нижняя параллели, которых касается траектория.

2 2(ch - cos ) 1 - arctg K(k) Когда h = (ch )-1, угол (/2) между двумя после (ch + 1)(1 - cos ) довательными точками касания с крайними параллелями равен 2 2sh (1-cos ) ch - arctg ch cos - 2ch2 + ch - ch + 1 = 1 K(k0) -.

2 sh sh 2ch - представляет собой кусочно-максимальные геодезические, которые являются непрерывными кривыми. Знак Условие замкнутости траектории, совершающей p числа 1 = ±1 определяет ориентацию геодезической.

обходов оси тора и состоящей из 2q геодезических Знак = ±1 фиксирован на отрезке геодезической, отрезков, записывается в виде идущей от i = arccos(1/ ch ) до i = - arccos(1/ ch ), и меняется всякий раз, когда i достигает значения p 1 · (/2) =.

arccos(1/ ch ) или - arccos(1/ ch ).

q Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 142 С.С. Романов Замкнутая траектория, состоящая из кусочно-максимальных геодезических, ch + 1 2 2cos 1() 1 - arctg K(k0) = sh ch 1 - cos 2 2 1 - cos - arctg 2ch - 1 cos расположена между параллелями = ±/2 и содержит большой экватор тора.

Описанную ситуацию иллюстрирует рис. 2.

Результаты 1. Тороидальные многообразия — распространенный объект в физических исследованиях природы.

2. Геодезические траектории на ограниченном тороидальном многообразии открывают новые возможности для пленения частиц.

3. Первый интеграл Клеро позволяет установить границу между ситуациями, когда геодезическая траектория является максимальной, и случаем, когда траектория расположена на ограниченной части поверхности тора.

4. Признаком того, что геодезическая расположена в ограниченной области тороидального многообразия, является наличие особенностей у второго интеграла геодезических.

5. Особенности второго интеграла определяют положение крайних параллелей тора, которых касается геодезическая.

6. Замкнутая траектория имеет глобальные инварианты: p — число обходов оси тора до замыкания, состоит из 2q геодезических отрезков.

7. Замкнутая геодезическая является кусочно-гладкой кривой без узлов и самопересечений.

Список литературы [1] Kugler K.-J., Paul W., Trinks U. // Phys. Lett. 1978. Vol. 72B.

P. 422–424.

[2] Пауль В. // УФН. 1990. Т. 160. Вып. 12. С. 109–127.

[3] Романов С.С. // ДАНУ. 2001. № 9. С. 84–88.

[4] Romanov S.S. // Scientific Paper of the Institute for Nuclear Research. 2001. Vol. 4 (6). P. 169–193.

[5] Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. М.:

ГИТТЛ, 1952. 343 с.

[6] Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных гармоник. М.: ИЛ, 1952. 476 с.

[7] Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии.

М.: МИР, 1982. 359 с.

[8] Jacop Palis, Jr., Welington de Melo. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York; Heidelberg; Berlin: Springer Verlag, 1982. 301 p.

[9] Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.:

Мир, 1981. 325 с.

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.