WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 4 01 О преодолении критической скорости подвижной нагрузкой в упругом волноводе © С.Н. Гаврилов Институт проблем машиноведения РАН, 199178 Санкт-Петербург, Россия (Поcтупило в Редакцию 7 декабря 1998 г.) Исследуются явления, возникающие при преодолении скорости звука нагрузкой, движущейся по струне на деформируемом основании. Предложена форма решения, удобная для качественного анализа волновых процессов. Рассмотрены случаи разгона и торможения нагрузки.

Введение Общее представление для решения В работе исследуются явления, возникающие при Нетрудно получить общую формулу для решения запреодолении скорости звука нагрузкой, движущейся по дачи (1), (2). Применим преобразование Фурье по струне на упруго-вязком основании (рис. 1). Подвижная координате x к (1); решение полученного дифференцинагрузка моделируется дельта-функцией Дирака. Данная ального уравнения запишем через интеграл Дюамеля, задача рассматривалась в работе [1], где построена после чего применим обратное преобразование Фурье.

асимптотика решения при ускорении, стремящемся к Заменив порядок интегрирования в полученном выраженулю. В работе [2] показано, что в момент преодолении и вычислив внутрений интеграл, имеем ния критической скорости возникает ярко выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоt ростью звука, а также построена асимптотика решения c 2 |x - l( )| u = - ( )e-c (t- ) c в окрестности данного фронта для больших времен.

2 t - В настоящей работе подробно анализируется волновая 0 картина в струне в момент преодоления критической скорости. Некоторые из результатов, полученных в на J0 k(c2(t - )2 - (x - l( ))2 d, (3) стоящей работе, упомянуты в [1], однако без соответствующего обоснования на языке формул. Предложена форма решения, удобная для анализа сингулярностей в k = k - c22, (4) выражении для наклона струны, возникающих в этот момент. Показано, что в рамках данной модели для преодоления скорости звука сосредоточенной нагрузкой где (t) — функция Хевисайда.

при разгоне необходима бесконечная сила тяги, несмотря Мы предполагаем, что вязкость достаточно мала, так на наличие диссипации в деформируемом основании.

что k > 0. Формула (3) справедлива для произвольных Исследованы случаи разгона и торможения нагрузки.

функций l(t) и (t). Она была получена в работе [1] для Рассмотрена распределенная нагрузка.

случая движения с постоянным ускорением. Вычислим наклон струны u исходя из (3) Постановка задачи u =1 +2. (5) Уравнение движения струны и начальные условия имеют следующий вид:

При ограниченных x и t функция 2 непрерывна и ограничена; она возникает при дифференцировании u - - 2u - ku = (t) x - l(t), (1) cгладких подынтегральных функций в (3). Для 1 спраu(x, t) = 0, u(x, t) = 0. (2) t=0 t=Здесь u(x, t) — перемещение точки x на струне в момент t; c — скорость звука; k и — коэффициенты упругости и вязкости деформируемого основания соответственно; l(t) — координата нагрузки; (t) — интенсивность нагрузки. Будем предполагать, что (t) достаточно гладкая функция. Рассматривается задача Коши: предполагается, что u 0, если |x| достаточно велик для данного t <. Рис. 1. Струна на деформируемом основании.

О преодолении критической скорости подвижной нагрузкой в упругом волноводе Переход через критическую скорость Если подвижная нагрузка движется вдоль струны со скоростью звука в течение некоторого промежутка времени, то решение соответствующей задачи будет разрывным [3]. Можно доказать обратное: существование такого промежутка времени — необходимое условие разрывности решения. Это легко сделать, воспользовавшись представлением (3) для решения и теоремой о непрерывности интеграла по параметру. Нас интересуют волновые процессы в струне, возникающие при мгновенном преодолении критической скорости. Исследуем их численно, пользуясь формулой (3). Рассмотрим сначала случай разгона нагрузки. Относительно закона движения нагрузки будем предполагать лишь, что l(t0) = a = 0 и l < c для t < t0, где t0 — момент преодоления критической скорости. Оказывается, что в момент t0 ”яма” под нагрузкой начинает отставать от нее (рис. 3) ( — координата в подвижной системе Рис. 2. К определению момента t.

координат, перемещающейся вместе с нагрузкой; t1-t0 — малый промежуток времени). В дальнейшем эта ”яма” превращается в ярко выраженный волновой фронт, певедливо представление (v = l) ремещающийся со скоростью c вдоль струны. Асимптотика решения в окрестности этого фронта получена N 1 в работе [2].

1 = (ti )e-c (t-ti ) Проанализируем теперь переход через критическую i=скорость при помощи формул (5)–(7). Рассмотрим x - l(ti ) l(ti ) - x поведение струны при t = t0, x = x0 + 0, где x0 = l(t0).

-, (6) Легко видеть, воспользовавшись рис. 2, что первый член |1 - v(ti )/c| |1 + v(ti )/c| в формуле (6) дает при этом u +. Далее, мы будем иметь u + при x = x0 + ct + 0 для t > t0, где моменты времени ti суть решения уравнения что соответствует значению на фронте, порожденном в |x - l(t )| момент преодоления скорости звука. Для x = x0 - t + = t. (7) c при t = t0 будем иметь u = O(1). Таким образом, мы получили, что в момент, когда скорость нагрузки Функция 1 возникает при дифференцировании функстановится равной критической, наклон струны перед ции Хевисайда в (3). В случае отсутствия деформируеней становится вертикальным, причем эта особенность мого основания u =1. В общем случае представление перемещается по струне перед нагрузкой со скоростью c;

(5)–(7) удобно тем, что все сингулярности в u опреденаклон струны позади нагрузки остается конечным. Возляются функцией 1. Решение задачи в форме (5)–(7) никает вопрос, какую силу тяги необходимо приложить напоминает потенциалы Лиенара–Вихерта в электродик нагрузке, чтобы преодолеть критическую скорость. В намике.

работе [4] при помощи модели, учитывающей инерциОпределение момента времени t можно проиллюстрионность нагрузки, получена формула для продольной ровать при помощи рис. 2. Жирной линией показано силы сопротивления F, действующей на нагрузку при движение нагрузки. Для вычисления моментов t, соответствующих данной точке плоскости, необходимо провести через нее два луча с наклоном c и -c. Моментами t будут абсциссы точек пересечения лучей с кривой движения нагрузки. Легко видеть, что если движение происходит со скоростью, меньшей c, то такая точка пересечения будет единственной; при наличии участка сверхзвукового движения момент времени t может быть не единственным; при этом либо имеется конечное число ti, либо они образуют дискретный спектр. Решения уравнения (7) могут образовывать непрерывный спектр только при наличии интервала времени, где движение происходит со скоростью c, однако в этом случае решение, как известно [3], разрывно и формула (5) бессмысленна. Рис. 3. ”Яма” под нагрузкой.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 140 С.Н. Гаврилов x [-; 0]. Плотность подвижной нагрузки будет / (x, t) =0 x-l(t). Для u справедливо представление u = 0() 1(x -, t) +2(x -, t) d. (9) Исследуем переход через критическую скорость при разгоне. Вычислим сингулярную часть u для t = t0, x = x0 + 0; она дается интегралом 1 0()d. (10) 2 - v t (x0 -, t0) c Разложив знаменатель подынтегральной функции (используя уравнение (7)) по степеням, легко получить, что характер сингулярности определяется интегралом Рис. 4. Переход через критическую скорость при торможении.

c 0()d, (11) 2 2 ||a ее движении (см. также [5]), т. е. сингулярность отсутствует. Этот факт может быть =+ F = - (c2 - v2)(u 2) пояснен при помощи рис. 2. Физической причиной 2 =-возникновения сингулярностей при переходе через критическую скорость является ”накопление” возмущений T(t) = - u =-0 + u =+0. (8) в окрестности нагрузки вследствие равенства скоростей движения нагрузки и распространения волны. Для того Здесь — линейная плотность струны, T —сила начтобы определить вклад в интеграл (9) участка нагрузки, тяжения невозмущенной струны. Из (8) сразу получаем, имеющего при t = t0, координату x0 -, следует найти что F = - при t t0 - 0. Таким образом, для преодоточку пересечения луча с наклоном c, проведенного из ления критической скорости сосредоточенной нагрузкой точки (t0; x0 + ), с графиком l(t). Но v(t0) = c, необходима бесконечно большая сила тяги. Отметим, поэтому расстояние до точки пересечения есть величина что результат этот получен при наличии вязкости в порядка O( ) и соответственно v(t ) - c = O( ).

деформируемом основании.

На физическом языке можно сказать: волны от дальнего Рассмотрим теперь случай перехода через критичекрая нагрузки приходят при t t0 с большим опозданием = скую скорость при торможении (рис. 4). В этом случае (задержка есть величина O( )), поэтому возмущение, аналогично можно показать, что u при t = t0 - 0, приносимое ими, недостаточно для образования сингуx = x0 - 0, а при x = x0 + 0 имеем u = O(1).

лярности.

Соответственно, опять получаем, что F -, однако Автор глубоко благодарен П.А. Жилину и Д.А. Индейв этом случае бесконечная сила со стороны струны цеву за постоянное внимание к работе и ценные советы.

способствует переходу через критическую скорость.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что Работа выполнена при частичной финансовой подвесьма полезным будет рассмотрение задачи в нелидержке РФФИ (грант № 99-01-00693) и правительства нейной постановке. Существенные различия здесь буСанкт-Петербурга.

дут связаны с наличием связи между поперечными и продольными колебаниями. Явления, возникающие при Список литературы преодолении критической скорости, должны приводить к существеным изменениям силы натяжения струны на [1] Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б. // МТТ. 1986. № 1. С. 155– участке перед нагрузкой, т. е. к существенным деформа160.

циям струны в продольном направлении, что не учиты[2] Gavrilov S. // J. Sound and Vibration. 1999. Vol. 222(3). P. 345– вается при рассмотрении задачи в линейной постановке.

361.

[3] Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 374 с.

Распределенная нагрузка [4] Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. // ПММ. 1983.

Т. 47. № 5. С. 863–866.

Рассмотрим теперь распределенную нагрузку. Пусть [5] Андрианов В.Л. // ПММ. 1993. Т. 57. № 2. С. 156–160.

при t = 0 ее плотность 0(x), для определенности пусть 0(x) > 0 при x [-; 0] и 0(x) = 0 при Журнал технической физики, 2000, том 70, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.