WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 2 01;05 К анализу координатно-зависимой диффузии © Р.Ш. Малкович Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 23 мая 2005 г.) Выполнен анализ координатно-зависимой диффузии в твердом теле — диффузии, при которой вероятнось присутствия вакансии и вероятность миграции зависят от координаты x. Показано, что координатная зависимость параметров и приводит к появлению дрейфовой компоненты потока, при наличии которой направление перемещения атомов может совпадать (ускоренная диффузия), но может и не совпадать с направлением диффузионной компоненты (замедленная и восходящая диффузии). Установлены критерии ускоренной, замедленной и восходящей диффузий. Эти критерии определяются поведением функции F(x) =(x)/(x).

PACS: 11.15.Tk Диффузия в твердом теле в условиях координатной тили, что при координатной зависимости коэффициента зависимости коэффициента диффузии привлекает вни- уравнение, описывающее процесс диффузии, должно сомание целого ряда исследователей. Так, Ито и Одо- держать наряду с диффузионным также дополнительный, мари [1] рассматривали радиационно-стимулированную дрейфовый член. Это обстоятельство было отмечено в диффузию алюминия в кремнии, которую они анали- работах В.А. Ускова и В.В. Васькина [14], Мазера [15], зировали с использованием изменяющегося по глубине Маннинга [16], Н.А. Колобова и М.М. Самохвалова [17] коэффициента диффузии. Аналогичный подход был пред- и в монографии [18].

принят в работе Майниэра, Нельсона и Гиббонса [2], где Тем не менее в целом ряде публикаций последних лет исследовалась диффузия бора в кремнии и фосфора в уравнение кординатно-зависимой диффузии продолжает германии при облучении ионами водорода, а также в ра- записываться в ошибочной форме (1). В такой форме боте Мэби [3], где рассматривалась радиационно-стиму- уравнение диффузии использовалось в работах А.Н. Малированная диффузия мышьяка в кремнии, и в рабо- лахова [19,20], А.Н. Малахова и Е.Л. Панкратова [21], те В.М. Зелевинской, Г.А. Качурина и Н.Б. Придачи- А.А. Дубкова, А.А. Мальцева и Е.Л. Панкратова [22], на [4], где иследовалось ускорение диффузии приме- где рассматривалось время релаксации концентрации си предварительной ионной бомбардировкой. Коваль, вещества в среде с изменяющимся в пространстве коПик и Корбет [5] определяли профиль концентрации эффициентом диффузии, а также в работе Б.А. Зона, диффундирующей примеси в случае экспоненциально С.Б. Ледовского и А.Н. Лихолет [23], где анализироваизменяющегося с координатой коэффициента диффузии. лась координатно-зависимая диффузия в твердом теле Хорас, Марчезе и Риварола [6] учитывали координатную в условиях протекания гетерогенной реакции на его зависимость коэффициента диффузии при исследовании поверхности.

поверхностной диффузии адсорбированных газов в пори- В связи с указанными обстоятельствами нами был выстых телах. В работе Фонтэна, Деляжа и Ландхеера [7] полнен общий анализ координатно-зависимой диффузии диффузия титана в ниобате лития моделировалась в в твердом теле.

представлениях об изменяющемся с глубиной коэффициенте.

1. Уравнение координатно-зависимой Во всех указанных работах координатно-зависимая диффузии в твердом теле диффузия описывалась уравнением Диффузию в твердом теле рассмотрим как совокупc c = D(x), (1) ность большого числа случайных перескоков многих t x x частиц между многими фиксированными эквивалентныгде c = c(x, t) — концентрация примеси, x — координа- ми положениями равновесия. Рассматривая одномерную та, t — время, D = D(x) — коэффициент диффузии. От- задачу диффузии, будем считать, что атомы примеси расметим, что уравнение диффузии в форме (1) приводится полагаются в равноотстоящих плоскостях (положениях в монографиях Йоста [8], Крэнка [9], Шьюмона [10], равновесия) и время от времени перескакивают в соСтарка [11], А.И. Райченко [12]. Необходимо, однако, седнее положение равновесия — в обоих направлениях, отметить, что это уравнение в общем случае являет- а также, что перескоки возможны лишь в том случае, ся неправильным, ошибочным и не может описывать когда соседнее положение равновесия свободно (ваканкоординатно-зависимую диффузию. На это обстоятель- сионный механизм диффузии). Продолжительность перество обратили внимание Курата и др. [13], которые отме- скока сочтем пренебрежимо малой величиной. Процесс 138 Р.Ш. Малкович диффузии опишем с использованием двух независимых где параметров — вероятности того, что соседнее положе- D(x) =(x)(x)2, (5) ние равновесия свободно, т. е. вероятности присутствия d d вакансии, и вероятности обмена местами между v(x) = (x) - (x) 2. (6) dx dx атомом и вакансией — вероятности перескока.

Будем считать вероятность присутствия вакансии Как видно из равенства (4), при координатной зависии вероятность перескока функциями координаты: мости параметров диффузии, = (x), = (x), поток = (x), = (x). Величины и считаются не за- атомов примеси является сумой двух компонент — висящими от времени и концентрации атомов примеси. градиентной (диффузионной) Предположим, что число атомов примеси и количество c вакансий в каждой из плоскостей достаточно велико, так jd = -D(x) (7) x что можно считать, что число атомов Nab, перескакивающих за единицу времени с единицы площади из данной и дрейфовой плоскости a в соседнюю b, прямо пропорционально jv = v(x)c. (8) количеству атомов Na в a и вероятности присутствия Функция D(x) представляет собой обобщенный коэфвакансии b в плоскости b:

фициент диффузии (5), а v(x) является обобщенной Nab = baNa.

скоростью дрейфа (переноса) (6).

Скорость дрейфа можно представить в виде Здесь a — вероятность перескока за единицу времени из плоскости a в b. В свою очередь, число атомов d v(x) =D(x) ln F(x), (9) примеси Nba, перескакивающих за единицу времени в dx обратном направлении с единицы площади плокости b где в соседнюю a, прямо пропорционально количеству ато(x) мов Nb в b и вероятности присутствия вакансии a F(x) =. (10) (x) в плоскости a:

Nba = abNb. Подставив (9) в (4), нетрудно получить альтернативное выражение для потока атомов примеси:

Здесь b — вероятность перескока за единицу времени из плоскости b в a.

c j(x) =-D(x)F(x). (11) Результирующий поток атомов примеси j(x) через x F плоскость x, расположенную посередине между плоскоВоспользовавшись уравнением непрерывности, из выстями a и b, равен ражения (4) получим уравнение диффузии в твердом j(x) = Nab - Nba = baNa - abNb. (2) теле, являющееся обобщением уравнения Фика на случай координатной зависимости вероятности присутствия Переходя от дискретной к континуальной модели, бувакансии, = (x), и вероятности перескока = (x) дем рассматривать величины, и N как непрерывные функции координаты x, изменяющиеся в интерваc c ле (a, b) достаточно слабо. Тогда с точностью до членов = D(x) - v(x)c. (12) t x x высшего порядка малости можно записать При = const и = const уравнение (12) переходит в aNa = N - (N), bNb = N + (N) ;

уравнение Фика.

x 2 x Важно подчеркнуть, что координатная зависимость d d a = -, b = +, хотя бы одного из параметров, или, приводит dx 2 dx не просто к координатной зависимости коэффициента где — расстояние между соседними плоскостями.

диффузии, D(x), а к изменению самого диффузионного Значения, и N относятся к плоскости x. Подставляя уравнения — появлению дополнительной, дрейфовой, эти соотношения в выражение (2), получим:

компоненты v(x)c. Физический смысл появления x N d d дрейфовой компоненты потока в случае неравномерного j(x) =- + - N. (3) распределения вакансий состоит в том, что при прочих x dx dx равных условиях больше атомов примеси переходит из Представим N(x) в виде рассматриваевой плоскости на соседнюю, где концентрация вакансий выше, и постепенно атомы примеси N(x) =c(x), собираются преимущественно в плоскостях с более где c(x) — объемная концентрация атомов примеси.

высокой концентрацией. В случае координатной зависиТогда из (3) получим:

мости вероятности перескока дрейфовая компонента потока появляется вследствие того, что при прочих c j(x) =-D(x) + v(x)c, (4) равных условиях из плоскости с большей валичиной на x Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. К анализу координатно-зависимой диффузии плоскость с меньшей перескакивает атомов примеси будет наблюдаться восходящая диффузия: атомы примебольше, чем в противоположном направлении, и посте- си будут переходить из областей с меньшей концентрапенно атомы примеси собираются там, где вероятность цией в области с большей концентрацией, т. е. туда, где перескока мала. концентрация примеси и без того велика.

Уравнение (12) использовалось для анализа перерас- Установим количественные критерии ускоренной, запределения фосфора в кремнии в условиях имплантации медленной и восходящей диффузии. При ускоренной аргона при высоких температурах [24], при исследова- диффузии обе компоненты потока направлены одинакоc нии радиационно-стимулированной диффузии в кремнии вым образом, поэтому знаки величин jd = -D(x) (7) x при облучении протонами [25,26] и т. д. Подстановка и jv = v(x)c (8) должны быть одинаковы, так как D(x) > 0 и c(x, t) > 0, то произведение величин v(x) D и -c/x должно быть положительной величиной:

B(x) =v(x) + (13) c x v(x) -x > 0. Обращаясь к выражению для дрейфовой скорости (9) и принимая во внимание, что F(x) > 0, преобразует уравнение (12) в уравнение типа Эйнимеем:

штейна-Фоккера dF c < 0. (18) dx x c Напротив, при замедленной диффузии дрейфовая и гра= D(x)c - B(x)c. (14) t x2 x диентная компоненты направлены в разные стороны, так что величины jd (7) и jv (8) должны иметь разные Как видно, из равенств (5), (6), при (x) =const v(x) знаки, вследствие чего их произведение должно быть и D(x) связаны между собой соотношением отрицательной величиной. В этом случае D dF c v(x) =-, (15) > 0. (19) x dx x а при (x) =const — соотношением Помимо этого, при замедленной, как и при ускоренной диффузии, поток атомов примеси j(x) направлен в D ту же сторону, что и его градиентная компонента jd.

v(x) =. (16) x Значит, знаки величин j(x) и jd должны быть одинаковы, следовательно, их произведение должно быть положи Отметим, что при = const, = (x) уравнение c тельным: j(x) - > 0. Воспользовавшись выражениx диффузии (12) можкт быть представлено в виде ем для потока (11), находим:

c 2c dc c = 2 (x) - c. (17) > 0. (20) t x2 dxx x F В случае восходящей диффузии поток атомов примеси j(x) и его градиентная компонента ja направлены в 2. Ускоренная, замедленная противоположные стороны, так что знаки величин j(x) и восходящая диффузии и -c/x должны быть различными. Следовательно, произведение этих величин должно быть отрицательной Наличие дрейфовой компоненты потока jv (8) привеличиной. Отсюда находим:

водит к тому, что направление перемещения атомов примеси может совпадать и не совпадать с направлеc c < 0. (21) нием градиентной (диффузионной) компоненты jd (7).

x x F Когда дрейфовая компонента потока направлена в ту Неравенства (18)–(21) представляют собой критерии же сторону, что и градиентная, будет иметь место ускоренной (18), замедленной (19), (20) и восходящей ускорение диффузии. Когда же дрейфовая компонента диффузии (21), см. таблицу. Эти критерии определяются направлена против градиентной, ситуация носит более поведением функции F, связанной с параметрами дифсложный характер. Если дрейфовая компонента потока фузии, см. (10).

по абсолютной величине меньше градиентной (диффуПолагая, что в стационарном состоянии поток отзионной), будет иметь место замедление диффузии, но сутствует, j(x) =0, из соотношения (11) получаем:

само направление потока будет совпадать с направлени/x(c/F) =0, откуда следует ем градиентной компоненты: атомы примеси перейдут из областей с более высокой в области с более низкой c(x) =KF(x), (22) концентрацией примеси. Если же дрейфовая компонента по абсолютной величине будет равна градиентной, поток где K = const. Таким образом, стационарный профиль будет равен нулю, и профиль „застынет“: c/t = 0. диффундирующей примеси подобен профилю функИ наконец, если дрейфовая компонента по абсолютной ции F(x). Это, очевидно, имеет место при перевеличине будет превосходить градиентную компоненту, ходе от замедленной к восходящей диффузии. Если Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 140 Р.Ш. Малкович Критерии диффузии [14] Усков В.А., Васькин В.В. // Неорганич. материалы. 1972.

Т. 8. № 10. C.1843–1844.

Ускоренная Замедленная Восходящая [15] Maser K. // Appl. Phys. Lett. 1993. Vol. 63. N 18. P. 2576.

диффузия диффузия диффузия [16] Manning J.R. Diffusion Kinetics for Atoms in Crystals.

dF c dF c Princeton: D. van Nostrand Co, Inc., 1968. (Пер.: Ман< 0 > dx x dx x нинг Дж. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. М.:

Мир, 1971).

c c c c > 0 < [17] Колобов Н.А., Самохвалов М.М. Диффузия и окисление x x F x x F полупроводников. М.: Металлургия, 1975.

[18] Малкович Р.Ш. Математика диффузии в полупроводниках. СПб: Наука, 1999.

[19] Малахов А.Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. 40. № 7.

же в стационарном состоянии поток не равен нулю, С. 886–896.

j(x) =const = j0, то справедливо соотношение [20] Малахов А.Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42. № 6.

С. 581–589.

l dx [21] Малахов А.Н., Панкратов Е.Л. // Изв. вузов. Радиофизика.

c(x) =F(x) j0 + C, (23) 2001. Т. 44. № 4. С. 367–373.

D(x)F(x) x [22] Дубков А.А., Мальцев А.А., Панкратов Е.Л. // ЖТФ. 2002.

Т. 72. Вып. 11. С. 14–18.

где l = const, C = const.

[23] Зон Б.А., Ледовский С.Б., Лихолет А.Н. // ЖТФ. 2000.

Отметим в заключение, что, если F(x) =const, то, Т. 70. Вып. 4. С. 38–41.

как видно из (9), скорость дрейфа обращается в нуль, [24] Morikawa Y., Takeda T., Nagami K. // Japan. J. Appl. Phys.

v(x) =0, и ошибочное в общем случае уравнение (1) 1977. Vol. 16. N 7. P. 1281–1282.

становится справедливым. Как следует из (10), это на- [25] Morikawa Y., Yamamoto K., Nagami K. // Appl. Phys. Lett.

1980. Vol. 36. N 12. P. 997–999.

блюдается в случае прямой пропорциональности между [26] Малкович Р.Ш. // ФТТ. 1982. Т. 24. № 4. C. 1088–1093.

параметрами (x) и (x) (x) =const · (x). (24) Не трудно видеть, что такая ситуация имеет место при переходе от ускоренной к замедленной диффузии.

Список литературы [1] Itoh T., Ohdomary J. // J. Appl. Phys. 1970. Vol. 41. N 1.

P. 434–436.

[2] Minear R.L., Nelson D.G., Gibbons J.F. // J. Appl. Phys. 1972.

Vol. 43. N 8. P. 3468–3480.

[3] Maby E.W. // J. Appl. Phys. 1976. Vol. 47. N 3. P. 830–836.

[4] Зелевинская В.М., Качурин Г.А., Придачин Н.Б. // ФТП.

1974. Т. 8. № 2. С. 394–396.

[5] Kowall J., Peak D., Corbett J.W. // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 13.

N 2. P. 477–478.

[6] Horas J.A., Marchese J., Rivarola J.B.P. // J. Chem. Phys.

1980. Vol. 73. N 6. P. 2977–2983.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.