WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 5 01;09 Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении Заславского © А.А. Короновский, А.Е. Храмова Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Государственный учебно-научный центр „Колледж“, 410026 Саратов, Россия e-mail: alkor@cas.ssu.runnet.ru (Поступило в Редакцию 25 сентября 2003 г.) Рассматриваются механизмы, приводящие к усложнению вида зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в двумерной динамической системе с дискретным временем (отображении Заславского) при изменении управляющих параметров в рамках одного динамического режима. Показано, что вид зависимости длительности переходных процессов от начальных условий для устойчивого цикла определяется его мультипликаторами и ассоциированными с ними многообразиями. Объясняется явление качественного усложнения вида зависимости длительности переходных процессов от начальных условий.

Полученные результаты могут быть обобщены на широкий класс динамических систем как с дискретным, так и с непрерывным временем.

В последнее время внимание исследователей привле- го (1) при заданных начальных условиях определялась чено к переходным процессам в динамических систе- так же, как это делалось в работах [11,19–21].

мах [1–4]. Результаты изучения переходных процессов В настоящей работе рассматриваются различные имеют как фундаментальное [5–7], так и прикладное динамические режимы отображения Заславского (1):

значение [8–10]. В качестве объектов исследования для устойчивые циклы периода 1 и 2. Из бифуризучения переходных процессов часто выбираются отоб- кационного анализа отображения (1) следует, что ражения [11–13] в силу того, что, с одной стороны, они при значениях управляющих параметров, отвечаю относительно просты, а с другой стороны, они демон- щих условиям 0 < d < 1, >0, 1 - 2d + d2 < стрируют основные нелинейные явления, свойственные < k < 4 + 2 + 8d - 2 2d + 4d2 + 2d2, на плоскодля сосредоточенных и распределенных систем. сти (x, y) существуют одна неустойчивая (x0, y0) и одна Ранее [11,12] на примере отображения Эно было устойчивая (x1, y1) точки показано, что существуют два сценария усложнения (-1 + d) характера зависимости длительности переходных проx0 = arcsin + 2, k цессов от начальных условий при изменении управляющих параметров в рамках одного периодического y0 = -, динамического режима. Первый сценарий реализуется, (-1 + d) когда мультипликаторы периодического цикла станоx1 = - arcsin +, вятся комплексно-сопряженными, а второй — когда k мультипликаторы имеют разные знаки и становятся y1 = -. (2) равными по абсолютной величине, оставаясь в облаУстойчивая точка (x1, y1) характеризуется мультиплисти действительных значений. Цель настоящей работы каторами заключается в обобщении результатов, полученных в работах [11,12] для отображения Эно, на более широ 2(-1 + d)кий класс двумерных динамических систем, что дает µ1 = 0.5 1 - k 1 kвозможность предполагать универсальность изученных закономерностей.

В качестве объекта исследования выбрана двумерная 2(-1 + d)2 динамическая система с дискретным временем, извест- - -1 - k 1 - - d - 4d + d, kная как отображение Заславского [14–18], k 2(-1 + d)xn+1 = xn + + sin(2xn) +dyn, mod 1, µ2 = 0.5 1 - k 1 2 kk yn+1 = dyn + sin(2xn). (1) 2(-1 + d)2 + -1 - k 1 - - d - 4d + d.

kЗависимость длительности переходного процесса от начальных условий T(x0, y0) в отображении Завлавско- (3) Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении Заславского Заметим, что неустойчивая точка (x0, y0) характери- рис. 1, b, c). Отметим, что после области разрыва, т. е.

зуется мультипликаторами при 2.4769 < k < 2.67524, наблюдается качественное усложнение вида зависимости длительности переходных процессов от начальных условий T(x0, y0), а именно 2(-1 + d)µ1 = 0.5 1 + k 1 появляется бесконечное число минимумов, накапливаkющихся у линии максимальных значений длительностей переходных процессов.

2(-1 + d)2 Для объяснения этого явления подробно рассмот- -1 + k 1 - - d - 4d + d, k2 рим поведение устойчивых многообразий неподвижной устойчивой точки и неустойчивого и устойчивого многообразий неподвижной неустойчивой точки. При 2(-1 + d)µ2 = 0.5 1 + k 1 значении управляющих параметров = 0.9, d = 0.3, kk < 0.66237 наиболее быстрая сходимость к неподвижной устойчивой точке осуществляется по устойчивому многообразию, соответствующему наименьшему по 2(-1 + d)2 + -1 + k 1 - - d - 4d + d.

своему значению мультипликатору µ1. Очевидно, что kлюбая точка начальных условий (x0; y0), лежащая в (4) малой окрестности неустойчивой точки (x0; y0), будет На рис. 1, a приведены зависимости мультипликатостремиться к аттрактору по направлению неустойчивого ров µ1 и µ2 от управляющего параметра k при фиксиромногообразия точки (x0; y0) µ2 (4). Поведение неустойванных значениях параметров = 0.9, d = 0.3, соответчивого многообразия неустойчивой точки в окрестноствующих устойчивому циклу периода один (x1, y1). На сти (x1; y1) при k < 0.66237 будет обусловливаться рис. 1, a наблюдается выход значений мультипликаторов устойчивым многообразием устойчивой точки (x1, y1), в комплексную область (при 0.66237 < k < 2.4769), что соответствующим наибольшему по модулю мультиплисоответствует области разрыва. При значениях паракатору µ2 (рис. 1, d). После области комплексных метра k = 0.66237 и 2.4769, соответствующих границам значений мультипликаторов устойчивой неподвижной области разрыва, значения мультипликаторов µ1 и µ2 точки (x1; y1) при = 0.9, d = 0.3, k > 2.4769 повесовпадают. Из рис. 1, a видно, что при k < 0.дение неустойчивого многообразия неустойчивой точмультипликаторы µ1 и µ2 принимают положительные ки (x0; y0) вблизи устойчивой точки (x1; y1) опредезначения, при этом выполняется соотношение µ1 <µ2, ляется устойчивым многообразием, соответствующим Таким образом, в области, предшествующей комплекснаибольшему по модулю мультипликатору µ1 (рис. 1, e).

ным значениям мультипликаторов, с увеличением управВ следствие того что мультипликатор µ1 является отриляющего параметра k от 0.63 до 0.66237 происходит цательным при k > 2.4769, неустойчивое многообразие постепенное увеличение мультипликатора µ1 и одновреточки (x0; y0) бесконечное число раз пересекает устойменно уменьшение мультипликатора µ2 на границе облачивые многообразия точки (x1; y1), что приводит к пости устойчивости цикла периода один мультипликаторы явлению бесконечного числа минимумов длительности принимают значения µ2 = 1, µ1 = 0.25, на границе облапереходных процессов при k > 2.4769.

сти разрыва мультипликаторы µ1, µ2 стремятся к одному Проведем аналогичный анализ зависимости длительи тому же значению 0.48. После области разрыва в точке ности переходных процессов от начальных условий k = 2.4769 значения мультипликаторов µ1 и µ2 рав- T(x0, y0) для более сложного динамического режины -0.48. При k > 2.4769 мультипликаторы являются ма — цикла периода 2. Для отображения Заславского отрицательными и наименьшим по абсолютному значе- не удается получить точных аналитических выражений нию становится мультипликатор µ2. Мультипликатор µ1 для элементов цикла периода 2 (x1, y1 ), (x2, y2 ).

2c 2c 2c 2c при увеличении параметра k от 2.4769 до 2.67524 стре- В следствие этого значения устойчивых элементов мится к -1. Для области 0.66237 < k < 2.4769 мульти- цикла периода 2 были получены численно. Элементы цикла периода 2 (x1, y1 ), (x2, y2 ) характеризуются пликаторы µ1 и µ2 являются комплексно-сопряженными 2c 2c 2c 2c мультипликаторами и удовлетворяют соотношению |µ1| = |µ2|.

При сопоставлении проекций поверхности T(x0, y0) 2c µ1 = 0.5(1 + d2+ k cos x1 + k cos x2 + k2 cos x1 cos x2 ) 2c 2c 2c 2c на плоскость начальных условий (x0, y0) (рис. 1, b, c) с расположением устойчивых многообразий (рис. 1, d, e) -4(d2 + kd2 cos x1 + kd2 cos x2 ) +(-1 - d22c 2c устойчивого цикла периода один (2) можно отчет- 0.5, -k cos x1 - k cos x2 - k2 cos x1 cos x2 )ливо проследить следующую закономерность: миниму2c 2c 2c 2c мы длительности переходных процессов совпадают с 2c µ2 = 0.5(1 + d2+ k cos x1 + k cos x2 + k2 cos x1 cos x2 ) 2c 2c 2c 2c тем многообразием, которое соответствует наименьшему по модулю мультипликатору (светлые линии на -4(d2 + kd2 cos x1 + kd2 cos x2 ) +(-1 - d2рис. 1, b, c). Максимальные значения длительностей пе- 2c 2c + 0.5.

-k cos x1 - k cos x2 - k2 cos x1 cos x2 )реходных процессов совпадают с устойчивым многооб2c 2c 2c 2c разием неустойчивой точки (x0, y0) (темные линии на (5) Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 138 А.А. Короновский, А.Е. Храмова Рис. 1. a — зависимость значений мультипликаторов µ1 и µ2 устойчивой неподвижной точки от управляющего параметра k при = 0.9, d = 0.3. Область разрыва соответствует области комплексных значений мультипликаторов. b — проекция поверхности зависимости длительности переходных процессов от начальных условий T(x0, y0) на плоскость возможных состояний (x, y) для отображения Заславского при = 0.9, k = 0.65, d = 0.3. Градация серого — длительность переходных процессов: белый цвет — нулевая длительность переходного процесса, черный — семьдесят единиц дискретного времени. c — аналогичная проекция для = 0.9, k = 2.5755, d = 0.3. Градация серого — длительность переходных процессов: белый цвет — нулевая длительность переходного процесса, черный — сто единиц дискретного времени. d — схематически показаны многообразия неустойчивой и устойчивой неподвижных точек (x0, y0) и (x1, y2) при фиксированных значениях управляющих параметров = 0.9, k = 0.65, d = 0.3. Мультипликаторы устойчивой неподвижной точки для рассматриваемых значений параметров имеют следующие значения: µ1 = 0.4122 и µ2 = 0.7278. Сплошная кривая — устойчивое многообразие неподвижной неустойчивой точки (x0, y0), штрихпунктир – неустойчивое многообразие этой же точки. Пунктир — устойчивое многообразие аттрактора, характеризующееся наименьшим по модулю мультипликатором µ1. Темный кружок — точка аттрактора, белый — неподвижная неустойчивая точка. e — многообразия неустойчивой и устойчивой неподвижных точек соответственно (x0, y0) и (x1, y1) при фиксированных значениях управляющих параметров = 0.9, k = 2.5755, d = 0.3. Мультипликаторы устойчивой неподвижной точки для рассматриваемых значений параметров имеют следующие значения µ1 = -0.8402 и µ2 = -0.3571. Сплошная кривая — устойчивое многообразие неподвижной неустойчивой точки (x0, y0), штрихпунктир — неустойчивое многообразие этой же точки.

Пунктир — устойчивое многообразие аттрактора, характеризующееся наименьшим по модулю мультипликатором µ2. Черный кружок — точка аттрактора, белый — неподвижная неустойчивая точка.

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении Заславского 2c 2c Рис. 2. a — зависимость значений мультипликаторов µ1 и µ2 управляющего параметра k при значении параметра = 0.9, d = 0.3. Область разрыва соответствует области комплексных значений мультипликаторов. b — проекция поверхности зависимости длительности переходных процессов от начальных условий T(x0, y0) на плоскость возможных состояний (x, y) для отображения Заславского при значениях управляющих параметров = 0.9, k = 2.70, d = 0.3. Градация серого — длительность переходных процессов: белый цвет — нулевая длительность переходного процесса, черный — восемьдесят единиц дискретного времени. c — аналогичная проекция для = 0.9, k = 3.10, d = 0.3. Белый цвет — нулевая длительность переходного процесса, черный — сто десять единиц дискретного времени. d — схематически показаны многообразия устойчивых элементов цикла периода два (x1, x2 ) при фиксированных значениях управляющих параметров = 0.9, k = 2.70, d = 0.3. Мультипликаторы 2c 2c 2c 2c устойчивого 2-цикла для рассматриваемых значений параметров имеют значения µ1 = 0.1054 и µ2 = 0.8536. Пунктир — 2c устойчивое многообразие аттрактора, характеризующееся наименьшим по модулю мультипликатором µ1. Черные кружки — элементы устойчивого цикла периода два. e — схематически показаны многообразия устойчивых элементов цикла периода два (x1, x2 ) при фиксированных значениях управляющих параметров = 0.9, k = 3.10, d = 0.3. Мультипликаторы устойчивого 2c 2c 2c 2c 2-цикла для рассматриваемых значений параметров имеют значения µ1 = -0.5720 и µ2 = -0.1573. Пунктир — устойчивое 2c многообразие аттрактора, характеризующееся наименьшим по модулю мультипликатором µ2. Черные кружки — элементы устойчивого цикла периода два.

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 140 А.А. Короновский, А.Е. Храмова На рис. 2, a приведены графики зависимости муль- Список литературы 2c 2c типликаторов µ1 и µ2 от управляющего парамет[1] Астахов А.В. и др. // РиЭ. 1993. Т. 38 (2). С. 291.

ра k при фиксированном значении параметров = 0.9, [2] Кальянов Э.В. // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26 (15). С. 26–31.

d = 0.3, соответствующих устойчивому циклу периода [3] Bezruchko B.P., Dikanev T.V., Smirnov D.A. // Phys. Rev. E.

два. Аналогично случаю устойчивой неподвижной точ2001. Vol. 64. P. 036210.

ки наблюдается выход значений мультипликаторов в [4] Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е., Храмокомплексную область (при 2.7723 < k < 3.0641), что ва А.Е. // ДАН. 2002. Т. 383 (3). С. 322–325.

соответствует области разрыва на рис. 2, a. При значе[5] Aston P.J., Marriot P.K. // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57 (1).

ниях параметра k, соответствующих границам области P. 1181.

2c 2c разрыва, значения мультипликаторов µ1 и µ2 совпа[6] Dhamala M. et al. // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 056207.

дают. Из рис. 2, a видно, что при 2.67524 < k < 2.[7] Woafo P., Kraenkel R.A. // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65 (1).

2c 2c мультипликаторы µ1 и µ2 принимают положительные P. 036225.

2c 2c значения, при этом выполняется соотношение µ1 <µ2. [8] Meucci R. et al. // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52 (5). P. 4676.

2c 2c На границе области разрыва мультипликаторы µ1, µ2 [9] Яландин М.И., Шпак В.Г., Шунайлов С.А. и др. // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 25. Вып. 10. С. 19–23.

стремятся к одному и тому же значению 0.29. После об[10] Zhu L. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86 (18). P. 4017.

ласти разрыва в точке k = 3.0641 значения мультипли2c 2c [11] Короновский А.А., Храмов А.Е. // Письма в ЖТФ. 2002.

каторов µ1 и µ2 равны 0.29. При 3.0641 < k < 3.Т. 28. Вып. 15. С. 61–68.

оба мультипликатора становятся отрицательными и наи[12] Короновский А.А., Храмова А.Е. // Письма в ЖТФ. 2003.

меньшим по абсолютному значению становится мультиТ. 29. Вып. 13. С. 10–17.

2c 2c 2c пликатор µ2 : |µ1 | > |µ2 |.

[13] Астафьев Г.Б., Короновский А.А., Храмов А.Е. и др. // Проводя аналогичное сопоставление проекций поИзв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003.

верхности T(x0, y0) на плоскость начальных услоТ. 11 (4).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.