WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 5 01;03 О нелинейных эффектах в моделях конденсации при непрерывном и дискретном описании нуклеации © Ю.Е. Горбачев Институт высокопроизводительных вычислений и информационных систем, 191187 Санкт-Петербург, Россия e-mail: gorbachev@hm.csa.ru (Поcтупило в Редакцию 28 октября 2002 г.) Предложена система нелинейных уравнений для описания эволюции доли конденсата. Показана принципиальная неприменимость диффузионного приближения в рамках уравнения Зельдовича для описания нелинейных эффектов. Получено диффузионное уравнение, не имеющее ограничения области применимости, связанного с малостью пересыщения.

Введение Конденсатом принято называть кластеры закритического размера g > g, связывая это с их устойчивостью. Дополнительным аргументом к такому выбору Выводу уравнений, описывающих течения, сопровожможно считать и описанную выше особенность редающиеся процессом конденсации, посвящено большое лаксации кластеров. Эта особенность позволяет также число статей [1–3]. Несмотря на то что процедура такого считать, что при формировании конденсата ток через вывода непосредственно связана с переходом от деталькритический размер близок к своему квазистационарного описания системы к сокращенному [4,5], с этой ному значению [6]. Уравнение, описывающее поведеточки зрения он не рассматривался. Это связано прежде ние конденсата, может быть получено из кинетических всего со сложностью разделения быстрых и медленных уравнений для функции распределения кластеров по переменных, описывающих процессы нуклеации и конразмерам.

денсации. Дело в том, что конденсация характеризуется Анализ процесса конденсации в рамках кинетического рядом характерных времен. Так, в работе [6] было покаподхода, начиная с работы [9], проводился на основе зано, что эволюция функции распределения кластеров системы уравнений квазихимической модели конденсапо размерам к своему квазистационарному значению ции. В рамках этой модели считается, что рост кластеопределяется не одним характерным временем, а целым ров определяется реакциями ассоциации — присоединенабором: кинетическим временем релаксации k, введенния мономера к g-меру (кластеру из g-мономеров), а их ным в работах [7,8], и бесконечным рядом парциальных распад — реакцией мономолекулярного распада g-мера времен задержки d(g), зависящих от размера кластера на (g - 1)-мер и мономер (g-мера). Наличие этого ряда времен задержки делает процесс релаксации и образования конденсированной Ag-1 + A1 Ag; g = 2, 3,.... (1) фазы весьма специфическим. В работе [6] показано, что d(g) монотонно растет с увеличением g, причемдля Константу скорости реакции ассоциации (1) будем + докритических кластеров g < g время задержки мень- обозначать Kg-1, а соответствующую константу скоше времени релаксации, а следовательно, выход функции рости распада — Kg. Тогда эволюция функции распредераспределения кластеров по размерам на свое квазиста- ления кластеров по размерам ng определяется системой ционарное значение регламентируется исключительно уравнений кинетическим временем. Для закритических кластеров nсоотношение этих времен становится противоположным + (u n1) =-I2 - I, (2) j и, начиная с некоторого размера gM, d(g) сравнивается t j=с характерным газодинамическим временем h, т. е. достаточно большие кластеры эволюционируют лишь на ng + (u ng) =Ig - Ig+1, временах масштаба h. Из вышесказанного следует, что t критический размер разделяет кластеры, которые уже - + Ig = -Kg ng + Kg-1n1ng-1; g = 2,...,. (3) на кинетических временах k в основном успевают отрелаксировать к своему квазистационарному распреВеличина Ig определяет скорость образования g-меделению [6] (докритические кластеры) от кластеров, ров в единице объема в результате вышеперечисленных которые на этих временах только начинают релакси- реакций или ток кластеров в пространстве размеров.

ровать (закритические кластеры). Это согласуется с Корректность уравнения (2), а также всех его дальнейопределением k как времени, на котором формируется ших модификаций и следствий основывается на одном из кластер критического размера [7,8]. результатов работы [6], заключающемся в том, что при О нелинейных эффектах в моделях конденсации при непрерывном и дискретном... g > gm(t) ток в пространстве размеров отсутствует. Это Обе рассмотренные выше функции ne и ns опреg g означает, что gjg = 0 при g, а также сходимость деляются набором термодинамических функций, описуммы на верхнем пределе в правой части равенства (2). сывающих макроскопическое состояние системы. Их + Константы скоростей Kg и Kg связаны между собой принято называть медленными, или газодинамическими, соотношением, вытекающим из закона действующих переменными. Увеличение скорости изменения одной масс, из них, например концентрации мономеров, приведет к - 0 + Kg = Kg Kg, Kg = ne /ne, (4) отклонению функции распределения от его стационарноg-1 g го значения, причем, как показано в работе [6], соответгде Kg — константа равновесия, ne — равновесная g ствующее квазистационарное распределение является функция распределения, функцией производной по времени от стационарной функции распределения, т. е. s. В этом смысле мы будем g (g) ne = n1 exp -, ne = n1, (5) говорить о выходе за рамки классического описания.

g kT Данные, свидетельствующие о необходимости выхода за рамки такого описания и о зависимости протекания обращающая в нуль ток кластеров в пространстве разпроцесса конденсации не только от газодинамических меров Ig(ne ) =0, (g) — минимальная работа образоg параметров, но и от скорости их изменения, обсуждавания g-мера, T — температура газа мономеров.

лись в [12,13].

Помимо равновесного распределения выделяется стаОтклонение тока зародышеобразования от своего стационарное ns, определяемое соотношением I(ns ) = g g ционарного значения приводит к его зависимости от раз= const = Is. В последнем случае для g 2 имеем мера кластера, однако, как будет видно из дальнейшего g = 0, однако 1 = 0.

анализа, для описания поведения доли конденсата достаНаряду с дискретным описанием процесса нуклеации точно знать его значение только для критического разна основе системы уравнений (3) в работах [10,11] был мера зародыша, которое, как отмечалось выше, можно предложен его непрерывный аналог в виде уравнения считать равным своему квазистационарному значению.

диффузии в пространстве размеров. С использованиВ работе предложены варианты различной точности ем закона действующих масс (4) выражение для тока описания поведения доли конденсата. Путем сопоставзародышеобразования Ig может быть записано в виде ления дискретного и непрерывного описаний оценена (с использованием выражения (5)) точность последнего. Показано, что при непрерывном подходе не удается получить правильного описания ng-1 ng ng + + Ig = Kg-1n1ne - -Kg-1n1ne g-1 g ne ne g ne поведения доли конденсата при сильных пересыщениях.

g g g-ng ln ne Доля конденсата = -Dg - ng g g g Процесс конденсации обычно описывается в терминах ng ng массы конденсата [1,2], за которую принимается масса = -Dg + (g) = jg, (6) g kT g закритических зародышей + где Dg = Kg-1n1 — коэффициент диффузии.

Заменяя в уравнении (3) конечную разность в правой = m1gng dg, = m1gng dg, части на производную, получим уравнение диффузионg ного типа для функции ng где m1 — масса мономера.

Для вывода уравнения эволюции массы конденсата ng jg + (u ng) =-. (7) воспользуемся той же системой уравнений (8), (7) для t g функции распределения кластеров по размерам ng(g, t), что и при решении задачи нуклеации (не прибегая к ноЭто уравнение с током j, определяемым соотношенивым кинетическим уравнениям, содержащим источникоем (6), должно быть дополнено граничными условиями вый член, пропорциональный -функции (g - g) [2]).

при g = 1 и g =. В качестве первого из них естественИсходя из определения (9) и используя уравнение (7) но взять уравнение (2), а второе обычно записывается в для нахождения временной производной от функции рас виде ng/ne 0 при g. Для замыкания описания сиg пределения, после дифференцирования и нтегрирования стемы это уравнение необходимо дополнить уравнением по частям получим для n1, которое, исходя из (2), может быть записано в виде (по поводу сходимости интеграла см. комментарий d m1 dg после (2)) = j dg + g j - ng, dt dt g n1/t + (u n1) = j2 + jg jg dg. (8) d = + u. (10) g=dt t Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 136 Ю.Е. Горбачев -1/Поскольку процесс конденсации заведомо рассматри1 = /g, = -, вается на временах, много больших кинетического k, 2kT gто, согласно выводам работы [6], уравнение (10) можно упростить, заменяя в нем ng и j на их квазистационар- где скорость сноса в пространстве размеров может быть записана в виде ные значения nqs и jqs соответственно. Воспользуемся g для тока выражением (6), а для работы образования js ln ns 2 js Dg капли выражением = - + Dg g = - +. (16) ns g ns kT g g g (g) = a(g - 1)2/3 - b(g - 1), kT Дифференцируя соотношение (13) по времени и используя уравнение (7), получим 4 3vl 2/a =, b = ln s, (11) kT d - + u = D g/3-1nqs + -где — коэффициент поверхностного натяжения; g dt 3 vl — объем, приходящийся на мономер в жидкой фазе;

s — пересыщение, а для коэффициента диффузии — + g-2/3 -1 - g1/3 -2 ln s выражением + + Dg = Kg n1 K1 n1g2/3 = D(g/g)2/3. (12) dg + g/3 jqs - nqs ; = 1, 2, (17) g dt Тогда, выполняя в (10) интегрирование по частям d 0 dg ng + 0 u = jqs - nqs. (18) g j dg = - Dgne dg g dt dt g ne g g g Пренебрегая по сравнению с 1 в уравнении - для 2, для = 2 и 1, получим 2 = D ng +g-2/3 ng g-1/3- ag1/3+ g2/3 ln s dg, 3 d 2 2 D g + 2 u = g1/3nqs + 1 - g1/3 0 ln s g dt g2/ вводя обозначения для моментов функции распределения dg +g2/3 jqs - nqs, (19) g = g/3ng dg (13) dt g d 1 1 D + 1 u = nqs + 0 - g1/3 ln s и пользуясь тем, что 2a/3 = g1/3 ln s, получим g - dt g2/ d m1 = D nqs + g-2/3 2 - g1/3 1 ln s + -dg dt g +g1/3 jqs - nqs. (20) g dt dg + g jqs - nqs. (14) g Обрывая цепочку уравнений для на = -1, будем dt пользоваться замыкающим соотношением Согласно [6], квазистационарный ток кластеров критического размера jqs имеет вид 1 = 2. (21) -1 jqs = js 1 - 1 - 1 + -2µ exp -µb/k В результате для описания поведения доли конденсата получим замкнутую систему из пяти уравне2/ µ ний (14), (18)-(21). Если в уравнении (17) при = 2 не + 2 1 - 1 + -2µ js, пренебрегать величиной, то потребуется еще одно - замыкающее соотношение, в качестве которого можно = 1 + k, k =, воспользоваться уравнением, аналогичным (21) 4 4D d d ln ns 2 = 2. (22) -2 = g, µ = k, dt dt g- В результате поведение доли конденсата может быть b 1 dg 2 = - описано системой из шести уравнений (14), (17) с ln, k k (g ) +g /g = 1, 2, (18), (21) и (22).

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. О нелинейных эффектах в моделях конденсации при непрерывном и дискретном... Особенности дискретного подхода приближенного выражения для стационарного тока -js = Dgne )-1dg Dne /( ), для величин, выg Уравнение Зельдовича широко используется при исчисленных при g = g, получим следовании процесса нуклеации, однако область его применимости a priore оценить достаточно сложно. Часто это становится возможным только в результате сравне- = 1 -, ния a posteriore с результатами, полученными в рамках дискретного подхода, основанного на квазихимической 2 3g2/3 4a3/D = D 1 -, =. (27) модели конденсации (2), (3). При проведении такого a 3ln2 s анализа удобно в обоих случаях перейти к новым Из этих соотношений видно, что отличие выражений, переменным g [6] полученных в рамках непрерывности и дискретного описания, определяется полушириной равновесного g = ng/ns. (23) g распределения кластеров по размерам ne вблизи своего g В результате из уравнения (7) получим минимального значения в точке g = g. Отсюда видно, что при малых диффузионное описание эволюции dg g g d ln ns функции распределения ng (т. е. уравнение (7)) оказы+ g u = + Dg - g g, (24) dt g g g dt вается неприменимым.

Описывающее эволюцию функции g и полученное где скорость сноса в пространстве размеров опреденепосредственно из уравнений квазихимической модели ляется выражением (16), а из (3) получим уравнение (26) с уточненным выражением для потока в пространстве размеров и коэффициентом диффузии dg Is + + g u = n1Kg 1 - g+позволяет в рамках диффузионного приближения опи+ dt n1Kg ns g сывать ситуации и с малыми значениями. По сути дела оно является обобщением уравнения Зельдовича, Is + - n1Kg-1 1 - g не имеющем ограничения применимости, связанного с + n1Kg-1ns g-малостью пересыщения (что соответствует большим ).

Выясним теперь отличия, к которым приводит ис+ Is Is Kg пользование дискретного подхода для описания процесса - + g + ns ns Kg-образования доли конденсата.

g g-Введем понятие доли конденсата в рамках дискретноne d ln ns g-1 го подхода + + n1Kg 1 - g - g g, (25) ne dt g = m1gng, = m1gng. (28) где введено обозначение g = g - g-1.

g Переходя от дискретной формы записи к непрерывИсходя из уравнений (3), получим уравнение, описываной, получим уравнение диффузии с модифицированныющее эволюцию массы конденсата, ми (по сравнению с уравнением (24), полученным из уравнения Зельдовича (7)), коэффициентом диффузии и d m1 dg скоростью сноса в пространстве размеров = Ig + g I - ng. (29) dt g+1 dt dg g g d ln ns + g u = + D - g g, g Для его замыкания воспользуемся представлением dt g g g dt для тока (6). Перегруппируя слагаемые суммы в выражении (29), получим Is D = Dg 1 -, g + + n1Kg-1ns ne Kg-g-g-+ + Ig = n1Kg + n1 Kg 1 - ng.

+ ne Kg ns g Is g+1 g+g-+ = - + n1Kg 1 -, (26) ns ns g g-1 + + + + Полагая Kg K (g/g)2/3, Kg-1/Kg 1 - 2/(3g) величина Dg определяется соотношением (12). Заметим, и ne /ne exp ( - (1 - (g/g)1/3) ln s), сумму можно g-1 g что переход к уравнению диффузии (26) с использовани- преобразовать к виду ем новых переменных (23) более оправдан, поскольку в 2/g широком диапазоне размеров кластеров это отношение + + n1Kg + n1K является более плавной функцией g, чем ng/ne, исполь- g g g+зуемое при получении уравнения Зельдовича.

Оценивая выражения для коэффициента диффузии 1 - 1 - exp (g/g)1/3 - 1 ln s ng.

и скорости сноса в (26) при g = g с учетом 3g Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 138 Ю.Е. Горбачев Дальнейшие преобразования этой суммы могут Заключение быть связаны с линеаризацией экспоненты при малых В работе получена система уравнений, описывающая пересыщениях, ln s 1: exp ((g/g)1/3 - 1) ln s эволюцию доли конденсата, и предложен ряд методов 1 + (g/g)1/3 - 1 ln s. В этом случае она может ее замыкания. Показано, что выделение конденсата как быть переписана в виде кластеров закритического размера согласуется не только 2/ с результатами анализа устойчивости кластеров, но и с g + + n1Kg +n1K 1- (g/g)1/3 ln s + ng.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.