WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 5 01;09 Распространение электромагнитных волн в волноводе с анизотропным модулированным заполнением © Э.А. Геворкян Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 119501 Москва, Россия e-mail: EGevorkyan@teach.mesi.ru (Поступило в Редакцию 21 апреля 2005 г.) Рассмотрено распространение поперечно-электрических (TЕ) и поперечно-магнитных (TM) электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения с анизотропным периодически модулированным в пространстве и времени заполнением. В предположении малости индексов модуляции заполнения получены аналитические выражения для TE- и TM-полей в области „слабого“ взаимодействия между сигнальной волной и волной модуляции. Найдена частота, вокруг которой происходит „сильное“ взаимодействие между сигнальной волной и волной модуляции и выявлены особенности полей в данной области.

PACS: 84.40.Az Введение нестационарным и неоднородным диэлектрическим заполнением рассмотрено в работах [14–19]. В настоящей В литературе имеется большое количество теорети- работе решается аналогичная задача для случая, когда ческих и экспериментальных работ, посвященных ис- волновод заполнен анизотропной периодически модулиследованиям различных аспектов электродинамики пе- рованной средой.

риодически модулированных сред (см., например, [1–8]). Рассмотрим волновод произвольного поперечного сеЭти исследования представляют большой интерес и с чения с анизотропным немагнитным (µ = 1) модулироточки зрения развития теории, и с точки зрения воз- ванным заполнением (модулированный одноосный криможности широкого практического применения перио- сталл), тензор диэлектрической проницаемости котородических сред в различных областях электроники сверх- го имеет вид высоких частот, микроэлектроники, тонкопленочной и 1(z, t) 0 0 интегральной оптики, акустооптики и т. д. Так, например, = 0 1(z, t) 0, (1) ими пользуются при конструировании генераторов с 0 0 2(z, t) распределенной обратной связью, полосовых фильтров, параметрических усилителей, многочастотных лазеров где компоненты 1(z, t) и 2(z, t) волной накачки модус распределенной обратной связью (РОС-лазеров) и с лированы в пространстве и во времени по гармоничераспределенным и брэгговскими отражателями (РБО- скому закону лазеров), преобразователей мод с использованием тон- 1(z, t) =1 1 + m1 cos k0(z - ut), копленочных волноводов и т. д.

В последние десятилетия вырос интерес к теорети2(z, t) =2 1 + m2 cos k0(z - ut). (2) ческим и экспериментальным исследованиям электродинамики периодически нестационарных и неоднородных 0 Здесь 1 и 2 — диэлектрические проницаемости в как анизотропных и гиротропных сред, так и жидких отсутствие волны модуляции, m1 и m2 — индексы кристалов. Это связано с возможностью использования модуляции, k0 и u — волновое число и скорость волны подобных модулированных сред при создании устройств модуляции соответственно.

с тонкой периодической структурой для канализации Рассмотрим распространение сигнальной электромагразличных типов волн (в том числе и электромагнитнитной волны с частотой 0 в подобном волноводе в ных), а также при создании призменных поляризатопредположении малости индексов модуляции (m1 1, ров, фильтров с двойным лучепреломлением, дифракm2 1, m1 m2). Это оправдано тем, что обычно в ционных решеток, голограмм, светофильтров Шольца реальном эксперименте индексы модуляции очень малы и т. д. [9–13].

и могут изменяться от 10-4 до 4 · 10-2. Заметим, чтопри выполнении условия 1 0.8, где 1 = u 1/c (c — Постановка задачи и волновые скорость света в вакууме), наряду с индексами модуляции оказывается и малым параметр l1 = m11/(1 - 1) уравнения (l1 1).

Распространение электромагнитных волн в волново- Поперечно-электрическое (TE) и поперечно-магнитде произвольного поперечного сечения с периодически ное (TM) поля в подобном волноводе, как и в наших Распространение электромагнитных волн в волноводе с анизотропным модулированным заполнением ранних работах (cм., например, [14–19]), опишем с помо- и искать решения полученных уравнений в виде щью продольных составляющих магнитного (Hz ) и элек трического (Ez ) векторов, взяв их в качестве потенциа- Hz = exp i(pnu - 0) Hnz () (x, y), (11) n лов полей. Тогда из уравнений Максвелла с учетом тоn=го, что Dx = 1(z, t)Ex, Dy = 1(z, t)Ey, Dz = 2(z, t)Ez, B = H можно получить волновые уравнения для потен- циалов Hz (x, y, z, t) и Ez (x, y, z, t) в виде z = exp i(pnu - 0) Enz () (x, y) (12) n TE-волна: n=2Hz 1 Hz с учетом того, что функции (x, y) и (x, y) удовлеn n Hz + - 1 = 0; (3) z c2 t t творяют уравнениям Гельмгольца TM-волна:

n (x, y) + 2 (x, y) =0, = 0, (13) 1 z 2 2z n n n n z + 2 - = 0, (4) z 1 z c2 t (x, y) +n (x, y) =0, (x, y) = 0, (14) n n n где = 2/x2 + 2/y2 — двумерный оператор Ла пласа, z = 2Ez.

где — контур поперечного сечения, n — нормаль Нетрудно показать, что поперечные составляющие к, то получим следующие обыкновенные диффеTE- и TM-полей в этом случае будут выражаться через ренциальные уравнения второго порядка относительно потенциалы переменной для определения Hnz () и nz ():

d 1 dHnz Hz = Hn(z, t) (x, y), Ez = En(z, t) (x, y) n n 2 n 1 - 1 0 + Hnz = 0, (15) n=0 n=d 1 d - 1 (5) следующими формулами d 1 1 dnz n TE-волна:

2 1 - 1 0 + nz = 0, (16) d 1 1 d 1 - 1 Hn(z, t) H = -2 (x, y), (6) где n n z n= (upn - 0)2 0 2 = 1 - 2 1 - 1 0, n n c2 1 Hn(z, t) E = -2 [z0 (x, y)], (7) n n c t (upn - 0)2 2 2 n=0 2 n = 1 - n 1 - 1 0, (17) c2 TM-волна:

2 0 1 [2En(z, t)] -2 pn = 1 - 2, H = - n [z0 (x, y)], (8) n c2 n c t n=0 0 2 2 - 11 0 0 (pn)2 = 1 - nb1, 0 0 1 [2En(z, t)] 2 - 12 c-E = n (x, y), (9) n 1 n=0 z u b1 = 1 - 1, 2 =. (18) c где, n и, n — ортонормированные собственные n n функции и собственные значения соответственно второй Введя в уравнения (15) и (16) новые переменные по и первой краевых задач для поперечного сечения волноформулам вода, индекс означает поперечные составляющие, z0 — орт оси 0z, — двумерный оператор Набла.

k0b1 d k0b1 1d s =, s =, (19) 1 2 0 2 - 1 1 21 1 - 1 0 0 Решение волновых уравнений.

Выражения для ТЕ- и ТМ-полей их можно преобразовать к дифференциальным уравнениям типа Матье-Хилла:

Если в (3) и (4) ввести новые переменные [8] 2 d2Hnz 42 d2nz 4n(1) n + Hnz = 0, + nz = 0.

z 1 d k2b2 ds2 0 k2b = z - ut, = - (10) 0 d s 2 u u - 11()/(20) Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 136 Э.А. Геворкян Заметим, что частотная область, определяемая усло- волны в волноводе, анизотропное заполнение которовиями го модулировано в пространстве и времени по гармоническому закону, поперечно-электрическое (ТЕ) и n поперечно-магнитное (ТМ) поля представляют набор n 1 n - 0| n, (21) |1 - n| =, |1 = n пространственно-временных гармоник с различными ам2 2 2 плитудами. При этом в области слабого взаимодействия где сигнальной волны с волной модуляции амплитуды на плюс первой и минус первой гармониках оказываются 4 n = pn -, малыми (они пропорциональны индексам модуляции в k2b2 0 u 0 первой степени) по сравнению с амплитудой основной гармоники (она не зависит от индексов модуляции).

4 n 0 = pn -, (22) k2b2 0 u 0 Область сильного (резонансного) n 0 (up0 - 0)2 k2b2 n l1, (23) взаимодействия n = n = + 1 -1 k2b2 u2 0 n 0 2 n Как известно [14], при приближении величин n и 21n 0 n 1 = n = m2 - m1, (24) к единице, т. е. когда выполняются условия -k2b22 0 n соответствует области слабого взаимодействия сигналь|1 - n|, |1 - 0| n, (29) n ной волны с волной модуляции заполнения волновопроисходит сильное взаимодействие между сигнальной да. Решая уравнения (20) методом, развитым в рабоволной и волной модуляции заполнения (выполняется тах [14–19] и ограничиваясь членами, пропорциональныусловие Вульфа-Брэгга первого порядка для отраженми индексам модуляции заполнения в первой степени, ных от уплотнений волн) и возникает значительный для потенциалов ТЕ- и ТМ-полей в области частот (21) энергообмен между ними.

получим выражения Условие (29) можно переписать в виде (для TM-поля) TE-волна:

0,s - 0 0 0,s + 0, (30) n Hz = (x, y) exp i(pnz - t) c где частота 0,s, вокруг которой происходит сильное n 0 взаимодействие, имеет вид n=1 uk0 42 2 1 n n 0,s = (1 + n), n = 1 +, n = n, V exp ikk0(z - ut), (25) k 21 b1k2 k=-(31) где а ширина области сильного взаимодействия выражается формулой |k| k0u(1 + 1n) n n 0 c n c n k n 1 0 0 =. (32) V = k l1 +, c = ; (26) k ± 8 21n 2uk0 c n 4 1 ± n Вычисления приводят к тому, что в области частот (30) n n TM-волна:

|V-1| 1, |V1 | m1, m2. (33) Последние соотношения показывают, что в области Ez = (x, y) exp i(pnz - 0t) cn n 0 0 сильного взаимодействия сигнальной волны с волной n=модуляции анизотропного заполнения волновода амплитуда волны на отраженной минус первой гармонике оказывается не зависящей от индексов модуляции. Иными Vkn exp ikk0(z - ut), (27) словами, в указанной области помимо нулевой гармоk=-ники сигнала существенную роль играет и отраженная где минус первая гармоника на частоте |k| 0 cn k ukVkn = k l1 + - (m1 + m2), -1,s = (n - 1), (n >1). (34) 2uk0 cn n 1cn В заключение отметим, что, с одной стороны, при cn =. (28) ±n 4 1 ± m1 0 полученные выше результаты переходят к уже известным результатам работы [19], а с другой стороны, n Отметим, что в (25) и (27) величины c и cn из них предельным переходом при u 0 можно полу0 определяются из условия нормировки. Как следует чить результаты в случае неоднородного, но стационариз (25) и (27), при распределении электромагнитной ного анизотропного заполнения волновода.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Распространение электромагнитных волн в волноводе с анизотропным модулированным заполнением Список литературы [1] Элаши Ш. // ТИИЭР. 1976. Т. 64. № 12. C. 22–58.

[2] Карпов С.Ю., Столяров С.Н. // УФН. 1993. Т. 163. № 1.

C. 63–89.

[3] Касседи Е.С., Олинер А.А. // ТИИЭР. 1963. Т. 51. № 10.

C. 1330–1347.

[4] Касседи Е.С. // ТИИЭР. 1967. Т. 55. № 7. C. 37–52.

[5] Барсуков К.А., Болотовский Б.М. // Изв. вузов. Радиофизика. 1964. T. 7. № 2. C. 291–299.

[6] Peng S.T., Cassedy E.S. // Proc. of the Symp. on Modern Optics. N. Y.: Politecnic Press. 1967. V. MRI-17. P. 299–342.

[7] Elachi Ch. // Journal of Applied Physics. 1972. V. 43. N 9.

P. 3719–3723.

[8] Барсуков К.А. // РиЭ. 1964. T. 9. № 7. C. 1173–1178.

[9] Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах / Пер. с англ. М.: Мир. 1987. 616 с.

[10] Elachi Ch., Yeh C. // JOSA. 1973. V. 63. P. 840–842.

[11] Беляков В.А., Сонин А.С. Оптика холестерических жидких кристаллов. М.: Наука. 1982. 360 с.

[12] Ерицян О.С. Оптика гиротропных сред и холестерических жидких кристаллов. Ереван: Айастан. 1988. 322 с.

[13] Sailing H., Yidong H., Staffan S. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1994. V. AP-42. N 6. P. 856–858.

[14] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. // РиЭ. 1983. Т. 28. Вып. 2.

С. 237–241.

[15] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. // РиЭ. 1986. Т. 31. Вып. 9.

С. 1733–1738.

[16] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. // РиЭ. 1994. Т. 39. Вып. 7.

С. 1170–1178.

[17] Gevorkyan E.A. // Proc. of Int. Symp. on Electromagnetic Theory. Thessaloniki, Greece. 1998. V. 1. P. 69–70.

[18] Gevorkyan E.A. // Proc. of Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kiev. Ukraine. 2002.

V. 2. P. 373–375.

[19] Gevorkyan E.A. // Proc. of Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Dniepropetrovsk. Ukraine.

2004. P. 370–371.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.