WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 7 Краткие сообщения 01 Некоторые неравенства для электростатической энергии © В.А. Антонов Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория, 196140 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 20 ноября 2002 г.) Рассматривается потенциальная энергия системы конечного числа точечных зарядов. Представим себе, что они расположены вдоль одной прямой. Получаемая при этом оценка энергии снизу формально основывается на подсчете взаимодействий только между соседними зарядами, но каждое взаимодействие засчитывается как притяжение. В другом, квантово-механическом, варианте мы имеем дело уже с пространственной задачей N тел. Доказывается, что назший уровень энергии растет по абсолютной величине не быстрее N. Этот результат обобщен на случай, когда массы всех частиц различны.

Введение Свяжем с этими точками „заряды“ j = ±1 в любой комбинации. Докажем, что N-1 Подсчет энергии, приходящейся на нерелятивистское i j j+1-x j электростатическое взаимодействие в системе элемен- ij e-|x -x | - e-(x ) (j = ±1). (2) i< j j=1 тарных зарядов, представляет интерес в ряде проблем физики твердого тела и физики плазмы. Обычно расПрименяем индукцию по N. При N = 2 утверждение считывают конкретные случаи относительно правильочевидно. Будем доказывать его при N > 2. Разность леного расположения зарядов в узлах кристаллической вой и правой части (2) обозначим через L. Как функция решетки и т. д. Однако может встретиться необходи- N-1 переменных ui = exp(xi-xi+1) она в силу (1) имеет мость рассмотрения более общих конфигураций. В дан- область определения 0 ui 1 (i = 1, 2,..., N - 1) ной работе мы, правда, ограничиваемся в классиче- и линейна по каждому из аргументов ui. Как всякая полилинейная форма, L достигает минимума на этом ском варианте линейным расположением зарядов, но кубе в одной из его вершин. Но при обращении хотя не требуем от него жестких условий равномерности бы одной из величин ui в нуль все можно считать распределения и получаем оценку потенциальной энердоказанным, так как совокупность N частиц фактичегии снизу. Кинетическая энергия может дать только ски разрывается на подсистемы меньшей численности.

положительную добавку, и ее нет смысла включать в Остается проверить вершину u1 = u2 =... = un-1 = 1, расчет.

которой соответствует x1 = x2 =... = xN = x и Напротив, в квантовом варианте, согласно соотношеN N нию Гейзенберга, невозможно отвлечься от движения ча- L = ij + N - 1 = i · j - N + N - 1 > 0, стиц. С математической точки зрения оценка снизу полi< j i=1 j=ной энергии N электростатически взаимодействующих что и требовалось доказать.

частиц сводится при этом к минимизации определенного Очевидно, во все показатели можно вставить произфункционала от волновой функции в 3N-мерном конвольный положительный множитель фигурационном пространстве (мы рассматриваем сразу N-трехмерный случай).

i-x j j+1-x j ij e-k|x | e-k(x ) (j = ±1, k > 0).

В обоих случаях используется одно и то же вспомоi< j j=гательное неравенство для чисто условного экспоненци(3) ального закона взаимодействия.

Классические заряженные частицы Основное неравенство Интегрируя (3) по k от 0 до, получаем ij N-1 Разместим вдоль оси x произвольное число точек - (i = ±1) (4) |xi - x | xi+1 - xi j с абсциссами x (1 j N), занумерованными по j i< j i=правилу при прежнем условии (1). Таким образом, для энергии, x1 < x2 <...

j=При переходе к гамильтониану 2 координата QКвантовые заряженные частицы перестала играть роль и интегрирование по ней можно в пространстве отбросить. Остальные N-1 координат подчинены только условию положительности, независимо друг от друга.

Отправляемся от гамильтониана одномерного движеПеременные разделились и, следовательно, ния N частиц с одинаковыми массами m и экспоненциHm -(N - 1), альным законом взаимодействия N P2 - ke-kQ d pi m i-x j = + ij ke-k|x | (k > 0, j = ±1). (6) = min 2m d j=1 i< j уже с одномерными волновыми функциями. Но нахоНаименьшее собственное значение Hm оператора (6) ждение в силу (9) эквивалентно задаче определения можно оценить, опираясь на обычное вариационное собственного значения для уравнения Шредингера определение d+( + ke-kx) = 0, (10) d m dxHm = min, (7) d отвечающее функции (x) без узлов и со „свободным“ граничным условием (0) = 0. Фактически нам понагде d = dx1dx2,..., dxn, в классе непрерывно дифдобится только асимптотика при k. Ее нетрудно ференцируемых нормируемых комплексных функций получить, выписав нужное решение (10) через функции (x1, x2,..., xN). Все N-мерное конфигурационное проБесселя, но более наглядна обычная для такого рода странство разбивается на N! зон, отличающихся взаимфизических задач аппроксимация при x k-ным порядком чисел x. Ослабим условия непрерывноj сти волновой функции в том смысле, что откажемся -m от обязательного совпадения значений при подходе (x) =ce-µx, µ =. (11) к границе между зонами с обеих сторон. От этого значение минимума в (7) может только уменьшиться. Интегрируем левую часть (10) по узкой потенциальТогда числитель и знаменатель дроби (7) распадаются ной яме вблизи начала координат, учитывая, что сама в суммы N! слагаемых, причем пары, соответствующие функция (x) не успевает существенно измениться и разным зонам, совершенно однотипны и между собой не член относительно мал. Тогда связаны. Легко понятно, что достаточно брать интегралы только по одной типичной зоне, определяемой (1).

(x) +(x) =0 (k-1 x µ-1).

m Воспользовавшись сразу неравенством (2), получаем Сравнение с (11) дает приближенно d Hm min, m m d µ =, = -.

2 где Резюмируя, находим при больших k N p2 N- j j j+1-x i = - k e-k(x ), m 2m Hm -(N - 1) + o(1). (12) j=1 j=1 Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. Некоторые неравенства для электростатической энергии Но ничего из предыдущего не изменится, если истин- несколько менее (за счет логарифмического множителя).

ное движение частиц считать трехмерным, а x и p Но в силу соотношения неопределенностей в области j в (6) заменить проекциями радиус-вектора и векторного значений T < 5/8 энергия T не является достаточно оператора импульса на фиксированную ось, т. е. интер- определенной величиной и вряд ли может служить претировать x и p ( j = 1, 2,..., N) на самом деле аргументом квантово-механического пропагатора. Межj соответственно как x + y + z и pjx + pjy + pjz. ду тем величина (14) попадает при больших в эту j j j Осредним гамильтониан (6) с указанной подстановкой „неудачную“ область. Иными словами, в данной модели по разным направлениям единичного вектора (,, ). флуктуации развиваются столь быстро, что теряется От осреднения гамильтонианов с одинаковым спектром надежда добраться от инерциального к истинному двиего нижняя граница может только подняться. Выполняя жению частицы суммированием возмущений. Подобных несложные выкладки в предположении равноправия всех противоречий не возникает для газа фермионов и в ориентировок, приходим этим путем от (12) к теории горячей плазмы [4], где, как правило, характерная удельная кинетическая энергия существенно превышаN i j ет (14).

1 1 - e-kr (p2 + p2 + p2 ) + ij jx jy jz 6m ri j j=1 i< j Разные массы m -(N - 1) + o(1), Когда частицы обладают разными массами m1, m2,..., mN, для получения оценки типа (13) проще где ri j = (xi - x )2 +(yi - y )2 +(z - z )2 в смысле j j i j всего заменить их с самого начала наибольшей. Но неравенства для границы спектра.

возможен более тонкий прием. Обобщая (9), используем Наконец, устремив k к, получаем уже не асимптоположительную определенность квадратичной формы тическое, а вполне точное неравенство p2 p2 (pj - pj-1)j j-N + -.

1 ij (N - 1)m 2mj 2mj-1 2(mj + mj-1) p2 + - (13) j 2m ri j j=1 i< j Ниже в выражении H2 на место m в каждом из слагаемых встают (1/2)(mj + mj-1). Правда, нумерация (попутно мы переобозначили 3m через m). Таким обмасс по смыслу применения будет в каждой из N! зон разом, энергия основного состояния системы большого своя. Однако если проследить, во что переходит правая числа N разноименно заряженных элементарных частиц часть (12) при замене одинаковых m на попарные заданной массы m растет по абсолютной величине не средние арифметические, то возможна общая оценка быстрее N. Этот результат, легко предвидимый интуиснизу тивно, был известен при различных упрощающих предположениях (разбиение на N/2 взаимно изолированных m1 + m2 m2 + m3 mN-1 + mN пар и т. д.), однако общее доказательство, по-видимому, - - -... 2 2 отсутствует в литературе.

Заметим, что никакие предположения о тождествен-(m1 + m2 +... + mN).

ности частиц нами не использовались.

Часто упоминаемый в литературе результат для плот- Следовательно, и в итоге (13) обобщается как ного газа частиц, подчиняющихся полной статистике, мы N считаем неправильным и дезориентирующим. В [3] полу- 1 ij p2 + - mj.

чена (отрицательная) асимптотическая оценка нижнего 2mj j i< j ri j 3 j=энергетического уровня, пропорциональная N1/4 ( — пространственная плотность плазмы), что, конечно, не Список литературы согласуется с неравенством (13), при выводе которого не было речи ни об ограничениях на плотность системы, [1] Dyson F.J., Lenard A. // J. Math. Phys. 1963. Vol. 8. P. 423–434.

ни о тождественности электронов.

[2] Onsager L. // J. Phys. Chem. 1939. Vol. 43. P. 189–196.

Противоречивость выкладок [3] можно обнаружить [3] Stephen M.J. // Proc. Phys. Soc. 1962. Vol. 79. P. 994–1000.

следующим образом. Если поверить соответствующему [4] Лисица В.С. // УФН. 1977. Т. 122. С. 449–495.

результату, то кинетическая энергия отдельной частицы в основном состоянии должна в среднем составлять по теореме вириала приблизительно T0 = 1/4 (14) в системе единиц, где m = = = 1. Соответственно время релаксации должно быть порядка -5/8 или Журнал технической физики, 2003, том 73, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.