WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 1 01;05 Об особенностях внутренних деформационных изменений массивных тел под действием собственного гравитационного поля © С.О. Гладков Московский педагогический университет, 107005 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 17 апреля 2002 г.) Проанализировано поведение вектора деформации u в массивных структурах, связанное с их собственным гравитационным полем. На примере Земли найдены характерные изменения радиальной компоненты ur в зависимости от физических свойств планеты. Вывод системы дифференциальных уравнений основан на методах вариационного исчисления.

Интересно, что, несмотря на, казалось бы, очевидный В нашем случае гамильтониан системы может быть факт влияния гравитации на деформационные свойства представлен в следующем инвариантном виде:

массивных тел (скажем, планет), задача определения зависимости компонент вектора смещения среды от 2 H{u, } = 0.5()2 + 4G (/0) расстояния из-за связи с гравитационным полем осталась по каким-то причинам без внимания. Во всяком случае в известных нам публикациях (см., например, + 0.5K(div u)2 + µ(uik - 1/3ik div u)2 литературу в [1–16]) решение этой проблемы пока что не было отражено, хотя довольно очевидный и несо2 +(0/G)u d3x, (1) мненный интерес имеет не только чисто научный (для удовлетворения нашего природного любопытства), но где G — гравитационная постоянная; — плотность и практический характер.

планеты; K и µ — модули всестороннего сжатия и сдвига Важным является ткже и то, что выяснение связи соответственно, связанные с коэффициентом Пуассогравитационного потенциала с деформационными пана и модулем Юнга E соотношениями раметрами планеты позволит наметить еще одну концепцию и пролить дополнительный свет на альтернативное K = E/3(1 - 2 ), µ = E/2(1 + ); (2) объяснение таких природных катаклизмов, как, например, землетрясения и извержения вулканов.

константа 0, имеющая размерность частоты, характеХотя наш подход носит феноменологический харизует собой феноменологический параметр взаимодейрактер, тем не менее благодаря всего лишь одному ствия между ньютоновским (нерелятивистским) потенподгоночному параметру (см. ниже) удается описать циалом и вектором смещения среды u (последнее и предсказать весьма любопытные особенности поведеслагаемое в (1)); uik = (1/2)(ui/xk + uk/xi) — ния внутрипланетных деформационных смещений, „не симметричный тензор деформации; k — символ Крозаметных“ на поверхности, но, несомненно, чрезвынеккера.

чайно важных при рассмотрении некоторых тонких Теперь стоит сказать еще несколько слов о гамильгравитационных эффектов, таких как экспериментальное тониане (1). Первые два слагаемых приводят к обычобнаружение гравитационных волн [17,18].

ному уравнению Пуассона, описывающему распределеПри решении задачи о выяснении влияния гравитание нерелятивистского гравитационного потенциала.

ционного потенциала на деформационное смещение Вторая пара слагаемых представляет собой чисто упрусреды u мы воспользуемся хорошо проверенным, а погодеформационную часть гамильтониана, приводящая тому надежным вариационным методом [19,20], который к статическим уравнениям теории упругости [24]. Нав рамках нашей задачи сводится (в силу отсутствия конец, последнее слагаемое характеризует собой исковременной зависимости параметров u и ) просто мое взаимодействие между гравитационным потенциак нахождению экстремума гамильтониана системы.

лом и вектором смещения. Множитель /0 выбран Надо заметить, что подобный способ описания динаиз соображений размерности с таким расчетом, чтомического развития линейных и нелинейных гамильтоновых систем может быть успешно применен к разно- бы количество неопределенных констант было сведено образным физическим явлениям (например, для описа- к минимуму. Далее будет видно, что в действительности вполне достаточно лишь одной константы 0, имеющей ния развития фронта горения [21] или для выяснения размерность частоты.

динамики кристаллизации композитов [22] в некотором фазовом пространстве моментов импульсов и углов), Варьируя функционал H{, u} по параметрам u и, характерным для синергетических систем [23]. приходим к следующей системе линейных дифференци9 132 С.О. Гладков альных уравнений: Поскольку k < 1, то первое слагаемое в (9) исчезает, и окончательно мы находим правильное решение в виде = 4G - div u, (k + 2) exp{-x2/2}x u +[/(1 - 2 )] grad div u = [(1 + )/E], (3) uk u0 (-0.5)1-k.

2 (1 + 2k) где введены обозначения =(0/), = 0/G.

Из первого уравнения сразу же следует решение Итак, на расстоянии порядка и больше r0 дефор(r )d3r div u(r )d3r мационное смещение экспоненциально затухает к по(r) =-G +. (4) |r - r | 4 |r - r | верхности Земли, что, на наш взгляд, является вполне физичным и разумным ответом.

В приближении сферического тела легко отсюда поВидно, в частности, что это критическое радиальное лучить, что расстояние (отсчитываемое от центра планеты) можно (r) =(2G/3)(r2 + R2) оценить по следующей формуле:

R 1/ r0 =(1/)1/2 =(G/0) E(1 + )/(1 - 2 ). (10) + (1/r )(/r ) r 2ur(r ) dr. (5) r Для оценки r0 положим модуль Юнга E = 1011 J/ m3, Подставляя полученное решение во второе уравнение плотность Земли = 10 kg / m3, коэффициент системы (3), записанное в сферической системе коордиПуассона = 1/3, гравитационную постоянную нат, получаем G = 6.672·10-11 m3/kg·s2. Постоянную взаимодействия, измеряемую в единицах обратного времени, выберем (1/r)(rui ) + /(1 - 2 ) (1/r2)(r2ur) равной 0 = 10-3 (1/ s). Заметим попутно, что если = 4G(1 + )r/E - (1 + )/E 1/r(r2ur). выбрать 0 большей или меньшей 10-3, то будет получаться уже не совсем реальный ответ. В итоге После простых преобразований находим оказывается, что r0 = 134 km.

u r + u r(r + 2/r) +2ur - /(1 + )rПриведенная оценка свидетельствует о затухании деформаций, связанных с проявлением взаимодействия = 4G(1 - 2 )r/3E(1 + ), (6) между гравитационнным полем планеты и деформационными сдвигами, возникающими в любом массивном теле где параметр = (1 - 2 )/(1 + ).

под действием собственной силы тяжести. Характерные Обезразмеривая уравнение (6) с помощью расстояния при этом оцениваются в несколько сотен подстановки x = r/r0, u = uoy, где r0 =(2/)1/2, километров от центра. В принципе это и понятно, u0 = 4G(1 - 2 )r3/3E(1 + ), и совершая замену = x2, y = W ()k, где k удовлетворяет уравнению поскольку связь между смещением u и потенциалом, k2 - /2(1 + ) = 0 (причем физический смысл как мы только что убедились, весьма сильная и „неучет“ имеет только положительный корень, ибо при x = 0 этого взаимодействия привел бы просто к несуразнодеформация в нуле должна быть конечна), находим му ответу. Действительно, легко проверить, что, если следующее уравнение:

решать уравнение u +[/(1 - 2 )] grad div u = -g, с g = -gr/R, получающемуся в свою очередь из W +(2k + 1 + 0.5)W +(1 + 0.5k)W = 0. (7) решения уравнения Пуассона = 4G при r < R, Приведенное уравнение представляет собой не где R — радиус Земли, получится ответ, говорящий что иное, как уравнение вырожденной гипергеомет- нам о смещениях порядка 160 km на расстояниях прирической функции. А потому его решение есть мерно 2000 km от центра. Это еще бы ничего, одW = F(k + 2, 1 + 2k, -/2). Окончательно искомое нако самое неприятное ждет впереди, когда речь задеформационное смещение можно описать как ходит о вычислении смещений на поверхности Земли, и вот тут оказывается, что они составляют окоur = u0x2kF(k + 2, 1 + 2k, -x2/2). (8) ло 1600 km.

Из приведенного выражения мы видим, что при маПодобный ответ указывает лишь на необходимость лых x (x 0) решение будет вести себя как u u0x2k.

учета нелинейных слагаемых, связанных с проявлением При больших x (x 1), пользуясь асимптотикой взаимодействия между гравитационным и деформацигипергеометрической функции, найдем, что онным потенциалами. Это последнее и было описано в настоящем сообщении. Результат при этом, как можно 2k12 (k + 2) uk uубедиться выше, оказывается более чем реалистичным (k - 1)xи доказывает отсутствие смещений на поверхности Земли, несмотря на весьма сильные смещения вблизи (k + 2) exp{-x2/2}x+ (-0.5)1-k. (9) ядра.

(1 + 2k) Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. Об особенностях внутренних деформационных изменений массивных тел под действием... Список литературы [1] Molodenskii M.S. Comm. Obs. R. Belgique. 1961. Vol. 25.

P. 288–296.

[2] Собственные колебания Земли. Сб. научных трудов. М.:

Наука, 1964. 288 с.

[3] Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. М.:

Наука, 1965. 433 с.

[4] Мельхиор П. Земные приливы. М.: Наука, 1968. 396 с.

[5] Weber J. // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 20. P. 1031–1045.

[6] Маркарян Е.Г., Мясников В.П. Гидродинамическая модель эволюции Земли. М.: Институт космических исследований АН СССР, 1977.

[7] Won J., Kuo J. // Geophys. Res. 1973. Vol. 78. P. 905–918.

[8] Мясников В.П., Фадеев В.Е. // Итоги науки и техники.

Сер. физика Земли. М., 1980. Вып. 5.

[9] Садовский М.А., Писаренко В.Ф. и др. // Изв. АН СССР.

Сер. физика Земли. 1983. Вып. 12. С 3–10.

[10] Садовский М.А., Писаренко В.Ф. и др. // Изв. АН СССР.

Сер. физика Земли. 1984. Вып. 1. C. 12–19.

[11] Акимов О.А., Малугин В.А., Манукин А.Б. // Физика Земли. 1985. Вып. 10. С. 97–102.

[12] Agnew D. // Rev. Geophys. 1986. N 3. P. 579–596.

[13] Melchior P., Ducarme B. // Phys. Earth and Plan. Int. 1986.

Vol. 129. P. 42–48.

[14] Кобзев А.В., Мясников В.П. // ДАН СССР. !987. Т. 296.

№3. С. 381–385.

[15] Динамические процессы в земной коре. М.: Наука, 1994.

[16] Брагинский В.Б., Зельдович Я.Б., Руденко В.Н. Определение постоянной тяготения и измерение некоторых тонких гравитационных эффектов. М., 1973. С. 8–19.

[17] Бичак И., Руденко В.Н. Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения. М.: Наука, 1987. 312 с.

[18] Rudenko V.N. // Phys. Lett. A. 1996. Vol. 223. P. 421–426.

[19] Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

[20] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика М.: Наука, 1973.

207 с.

[21] Гладков С.О., Токарев А.М. // ФГВ. 1990. Т. 25. Вып. 1.

С. 30–38.

[22] Гладков С.О. // Перспективные материалы. 2000. Вып. 1.

С. 50–54.

[23] Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику.

М.: Наука, 1990. 272 с.

[24] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Т. 7. М.:

Наука, 1987. 246 с.

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.