WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 1 01;11 Магнитная проницаемость и остаточная намагниченность двухфазной случайно неоднородной среды © В.В. Бакаев,1 А.А. Снарский,2 М.В. Шамонин1 1 H. ROSEN Engineering GmbH, Am Seitenkanal 8, D-49811 Lingen (Ems), Germany 2 Национальный технический университет Украины ”КПИ”, 03056 Киев, Украина e-mail: asnar@phys.carrier.kiev.ua (Поступило в Редакцию 30 октября 2000 г.) Рассмотрен случайно неоднородный композит, одна из фаз которого является ферромагнетиком, а вторая немагнитна (пара- или диамагнетик). Найдена зависимость эффективной магнитной проницаемости композита от концентрации и внешнего магнитного поля в случае, когда петлей гистерезиса можно пренебречь.

В противоположном случае найдена зависимость остаточной намагниченности композита от концентрации ферромагнитной фазы.

Магнитные композитные материалы постоянно при- В настоящей работе будет рассмотрена трехмерная влекают внимание. Такие материалы широко использу- случайно неоднородная среда, одна из фаз которой ферются в различных технических приложениях, например ромагнитная, а вторая немагнитна (диа- и парамагнетик, для создания ферромагнетиков с большой или, наобо- восприимчивостью которых можно пренебречь). Несморот, практически нулевой петлей гистерезиса. Большое тря на формальную схожесть задач о вычислении эффекместо в создании новых материалов принадлежит разра- тивной удельной проводимости j = e E (j —ток, ботке макроскопически неоднородных сред, свойствами E —поле, div j = 0, rot E = 0), эффективной теплопрокоторых можно управлять в широких пределах (см., водности q = e -T (q — плотность потока тепла, например, [1,2]). Большой интерес в последнее время T — градиент температуры, div q = 0), задача об опретакже привлекает гигантский эффект Холла и гигантское делении эффективной магнитной проницаемости µe (1) магнитосопротивление [3,4 и ссылки к ней]. отличается от вышеприведенных по крайней мере двуОсновной характеристикой неоднородных сред явля- мя принципиальными моментами, которые значительно ются эффективные коэффициенты, в случае магнитных усложняют анализ. Во-первых, локальной эффективной композитов это эффективная проницаемость µe. По проницаемости µ(H) присущ особый вид нелинейности определению µe связывает между собой средние по (см. вставку на рис. 1), который не сводится ни к слабой объему напряженность H и индукцию B магнитного поля нелинейности, когда при малых полях зависимость становится линейной (например, зависимость типа закона B = µe( H ) H, (1) Ома), ни к сильной нелинейности, когда предполагается степенная вольт-амперная характеристика (в терминах -где... = V S... dV, V — объем усреднения.

электрических полей и токов) [10,11]. При достаточно Для композитов со случайной структурой вычисление больших магнитных полях относительная магнитная проэффективных коэффициентов является сложной заданицаемость близка к единице, т. е. среда, состоящая из чей, не имеющей общего решения [5]. Существует ферромагнитной и немагнитной фаз, слабо неоднородна.

считанное количество удачных приближений, позволяВ то же время в промежуточных полях относительная ющих получить аналитические зависимости эффективмагнитная проницаемость может достигать больших знаных коэффициентов от геометрии расположения фаз, чений (500 и более), и, таким образом, среда становится степени неоднородности и т. п. Для малой концентрации сильно неоднородной. Во-вторых, в том случае, когда включений, когда искажение полей одним включением в ферромагнитной фазе нельзя пренебречь остаточной практически не сказывается в области других включений, намагниченностью, понятие магнитной проницаемости это приближение Максвелла. В реальных композитах теряет свою однозначность.

такое приближение, как правило, не выполняется. НаиВ настоящей работе мы рассмотрим сначала случай, более удачным приближением, учитывающим влияние когда петлей гистерезиса можно пренебречь, т. е. когда в включений друг на друга, является приближение самоферромагнитной фазе µ1 = µ1(H) однозначна функция согласованного поля Бруггемана–Ландауера (БЛ) [6–8].

поля, а потом рассмотрим задачу об определении остаМетод БЛ дает хорошее приближение для всех значений точной намагниченности.

параметров, кроме непосредственной близости к порогу протекания при больших значениях неоднородности. Для определения зависимости µe от внешнего поля В последнем случае необходимо использовать теорию воспользуемся модификацией приближения БЛ, предлоперколяции [8,9]. женной в [12,13] для случая степенной нелинейности 9 130 В.В. Бакаев, А.А. Снарский, М.В. Шамонин Рис. 1. Зависимость эффективной магнитной проницаемости от концентрации ферромагнитной фазы p и напряженности среднего по объему магнитного поля. На вставке приведена зависимость удельной магнитной проницаемости ферромагнитной фазы.

в вольт-амперной характеристике типа j = E. Сле- которое легко получается (при размерах образца, дуя [12,13], с учетом того что локальное поле H(r) вну- больших размера самоусреднения) из равенства [15] три включений постоянно [14], будем характеризовать BH = B H (5) нелинейную фазу с µ1 = µ1(H) некоторой постоянной магнитной проницаемостью µ и определения эффективного коэффициента (1).

Необходимо также выразить µ1 через H2, для чего µ1 = µ1(H), (2) положим где усреднение берется по объему включений.

µ1 = µ(H) µ1 H2. (6) 1 Такая замена (2) означает, что композит состоит теперь из двух ”линейных” фаз µ1 и µ2 (µ2 практически Такое приближение хорошо оправдало себя при выравна µ0). Таким образом, для определения µe можно числении удельной проводимости для случая степенной воспользоваться стандартным приближением БЛ [6–8] вольт-амперной характеристики фаз [12,13]. Подстановка (6) в (3) и (3) в (4) дает нелинейное уравнение для e определения H2 µ = (3p - 1)µ1 +(2 - 3p)µ H H2 = 3p - + [(3p - 1)µ1 +(2 - 3p)µ2]2 + 8µ2µ1, (3) 4p [(3p - 1)µ1 +(2 - 3p)µ2](2 - 3p) +4µ где p — концентрация ферромагнитной фазы.

+. (7) Для того чтобы определить зависимость µe от H, [(3p - 1)µ1 +(2 - 3p)µ2]2 + 8µ1µ воспользуемся соотношением [12,13] Определяя из (7) поле H2 и подставляя его в (3), находим эффективную магнитную проницаемость фер H2 µe H2 =, (4) ромагнитного композита µe как функцию концентрации, p µ Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. Магнитная проницаемость и остаточная намагниченность двухфазной случайно неоднородной среды одна и та же. Так как сейчас нас интересует Br (т. е.

мы будем рассматривать область малых полей H 0), предельную кривую намагниченности можно аппроксимировать линейной зависимостью (рис. 2) B(H) =µdH + br, (8) где µd = dB(0)/dH — дифференциальная удельная проницаемость в нулевом поле для предельной кривой намагниченности.

Таким образом, для ферромагнитной фазы зависимость B = B(H) теперь имеет вид (8), а для немагнитной остается той же самой, что и ранее, B(H) =µ0H. Задача об определении эффективных коэффициентов для таких локальных законов сводится с точностью до обозначений к задаче определения эффективного коэффициента термоэдс. В самом деле, при наличии термоэлектрических Рис. 2. Верхняя часть петли гистерезиса, br —остаточная намагниченность; Hs — поле, при котором достигается техни- явлений ческое насыщение.

j = E + (-T ), (9) где j — плотность тока, E — напряженность электрического поля, — удельная проводимость, — коэффициент термоэдс, T — градиент температуры.

внешнего магнитного поля H и параметров функции Выберем следующий случай: 1) среда однородна по нелинейности.

теплопроводности (равны удельные теплопроводности В качестве примера возьмем конкретную зависимость фаз 1 = 2), 2) 2 = 0 (термоэдс во второй фазе локальной магнитной проницаемости µ1 = µ1(H), покаотсутствует). Условия 1 и 2 означают, что в среде занную на вставке к рис. 1. На рис. 1 показана рассчиT = const; обозначим его величину g. Положим танная по (7) и (8) зависимость µe от концентрации фертеперь, кроме того, коэффициент первой фазы равным ромагнитной фазы p и внешнего поля H. При p = 1, как и должно быть, зависимость µe от поля совпадает 1 = -br/1g, (10) с зависимостью магнитной проницаемости чистой ферромагнитной фазы. Для магнитных полей, при которых тогда µ1 = µ1(H) 1, на концентрационной зависимости µe наблюдается резкий рост при переходе через порог j = 1E + br (I фаза), B = µdH + br, протекания, который для трехмерного случая pc 0.2.

Рассмотрим теперь ферромагнитную фазу с ненулевой j = 2E (II фаза), B = µ0H, (11) петлей гистерезиса. В этом случае понятие как лочто, как видно, с точностью до обозначений ( j B, кальной, так и эффективной магнитных проницаемостей E H, i µi) совпадает с задачей об остаточной теряет однозначность. Однако, так как ферромагнетики намагниченности (см. (8) и ниже).

с большой петлей гистерезиса используются в основном Таким образом, для того чтобы найти остаточную как постоянные магниты, важно найти зависимость останамагниченность композита, необходимо в терминах терточной намагниченности композита Br от концентрации моэлектрической задачи найти эффективный коэффициферромагнитной фазы. Для этого мы рассмотрим преент термоэдс — e, тогда Br будет равна с точностью дельную верхнюю часть петли гистерезиса Bm = Bm(H) до обозначений e(1 = -br/1g)eg. Выражение e (рис. 2). При этом мы предполагаем, что при намагнив приближении SCFMA получено в [17,18]; в нашем чивании внешнее поле H сначала достигло значений, случае его можно записать так:

больших или равных Hs (магнитного поля, при котором достигается техническoе насыщение [16]), а потомбыло 2e + уменьшено до нуля.

e = p11, (12) 2p(1 - 2)e + В рассматриваемой нами схеме приближенного вычисления эффективных свойств композита все вклюгде эффективная проводимость (12) также определяется чения одной фазы в другой находятся в ”одинаковом в приближении SCFMA положении”. Влияние включений друг в друга учтено схемой самосогласования, но при этом локальные поля e = (3p - 1)1 +(2 - 3p)внутри всех включений данной фазы одни и те же.

В такой схеме локальная остаточная намагниченность + [(3p - 1)1 +(2 - 3p)2] +812. (13) (обозначим ее br) во всех ферромагнитных включениях 9 Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 132 В.В. Бакаев, А.А. Снарский, М.В. Шамонин Выражаем благодарность П. Розену, Т. Бойкеру, И. Розенмёллеру за плодотворное обсуждение и Пак-Минг Хью и Д. Кальону за присылку оттисков работ. В. Бакаев и А. Снарский благодарны H. ROSEN Engineering GmbH за гостеприимство во время работы над статьей.

Список литературы [1] Fiske T.J., Gokturk H.S., Kalyon D.M. // J. Mat. Sci. 1997.

Vol. 32. P. 5551–5560.

[2] Gokturk H.S., Fiske T.J., Kalyon D.M. // J. Appl. Phys. 1993.

Vol. 73. P. 5598–5600.

[3] Proc. Forth, Fifth Intern. Conf. Elect. Transp. and Optic.

Prop. of Inhomog. Media / Ed. A.M. Dykhne. Phys. A. 1997.

Vol. 241. N 1–2 / Ed. P.-M. Hui. Phys. 1999. Vol. B279. N 1–3.

[4] Wong S.K., Zhao B., Ng T.K. et al. // Eur. J. Phys. 1999.

Рис. 3. Зависимость остаточной намагниченности композиVol. B10. P. 481–485.

та Br от концентрации ферромагнитной фазы.

[5] Binns K.J., Lawrenson P.S., Trowbridge C.W. The Analytical and Numertical Solution of Electric and Magnetic Fields.

Chichester (England): John Wiley & Sons, 1992. 470 p.

[6] Landauer R. // J. Appl. Phys. 1952. Vol. 23. P. 779–784.

[7] Bruggeman D.A. // Ann. Phys. (Leipzig). 1935. Vol. 24.

С учетом всего вышесказанного (и заменой обознаP. 636–679.

чений 1 µd, 2 µ0, e µe) остаточная [8] Clerc J.P., Giraud G., Laugier J.M., Luck J.M. // Adv. Phys.

намагниченность композита Br может быть записана так:

1990. Vol. 39. P. 191–308.

[9] Stauffer D., Aharony A. // Introduction to Percolation Theory.

2µe + µe µ0 London; Washington: Taylor & Francis, 1992. P. 181.

Br = br p. (14) [10] Kenkel S.W., Straley J.P. // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49.

µ0 2 p µd - 1 + 1 µe + µd µ0 µ0 µP. 767–770.

[11] Straley J.P., Kenkel S.W. // Phys. Rev. 1984. Vol. B29.

P. 6299–6305.

На рис. 3 показана зависимость остаточной намагни[12] Hui P.M., Cheung P., Kwong Y.R. // Physica. 1997. Vol. A241.

ченности от концентрации ферромагнитной фазы.

P. 301–309.

Вработе [1] приведены экспериментальные зависимо[13] Hui P.M., Woo Y.F., Wan W.M.V. // J. Phys. 1995. Vol. C7.

сти (рис. 14–16 в [1]), из которых видно резкое возраP. L593–L597.

стание µe в некотором диапазоне концентраций. Такое [14] Landau L.D., Litshitz E.M. // Electrodynamics of Continuous Media. Oxford: Perg. Press, 1960. P. 620.

резкое возрастание свидетельствует о перколяционном [15] Dykhne A.M. // Sov. Phys. JETP. 1971. Vol. 32. P. 63–65.

переходе. Согласно [1], порог протекания близок к 0.25.

[16] Jiles D. Introduction to Magnetism and Magnetic Materials.

Как известно, приближение БЛ не позволяет получить London: Chapman and Hall, 1991. P. 440.

правильные критические индексы эффективных коэффи[17] Webman I., Jortner J., Cohen M.H. // Phys. Rev. 1977.

циентов, однако дает хорошее качественное описание Vol. B16. P. 2959–2964.

роста эффективных коэффициентов при прохождении [18] Balagurov B.Ja. // J. Tech. Phys. Semicond. 1982. Vol. 16.

концентрации через порог протекания. Нелинейный ваP. 259–264.

риант приближения БЛ, как видно из рис. 1, также дает резкое возрастание µe при тех же концентрациях. Однако количественные параметры, характер этого возрастания зависят (рис. 1) от величины внешнего магниттного поля, что в терминах теории перколяции означает зависимость критических индексов от внешнего магнитного поля. К сожалению, не удается сравнить полученные теоретически результаты с экспериментом, поскольку в [1] не приведены зависимости магнитной проницаемости ферромагнитной фазы от поля и не указано, при каких полях измерены зависимости µe от концентрации.

Заметим, что, согласно рис. 3, и остаточная намагниченность ведет себя перколяционноподобным образом.

Отметим, наконец, тот неочевидный факт, что значение поля, при котором достигается максимум µe, зависит от концентрации ферромагнитной фазы.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.