WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 9 01;12 Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума © О.Я. Бутковский, Ю.А. Кравцов, Е.Д. Суровяткина Институт космических исследований РАН, 117810 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 8 ноября 1995 г. В окончательной редакции 12 апреля 1996 г.) Предложено использовать явление затягивания шумов при динамических бифуркациях для измерения уровня слабых внутренних шумов в нелинейных хаотических системах. Найдена зависимость размера гистерезисной петли от скорости изменения управляющего параметра и от уровня шумов в системе, описываемой логистическим отображением. Получена калибровочная кривая, определяющая уровень шума по измеренным размерам гистерезисной петли.

Введение ственные характеристики явления. В данной работе мы предлагаем использовать зависимость времени затягиваЯвление затягивания потери устойчивости в бифурка- ния от уровня внешнего шума для измерения слабых ционных системах известно уже достаточно давно [1].

внутренних шумов в системе.

Его подробный анализ проведен во многих опубликованных работах ( [2–8] и цитированная там литератуОсобенности явления гистерезиса ра). Как известно, при прохождении бифуркационной при динамических бифуркациях точки число устойчивых периодических точек отобрав присутствии шумов жения удваивается, в то время как устойчивая прежде точка становится неустойчивой. Явление затягивания Характеристики ”шумового” гистерезиса, т. е. гистепроявляется в том, что при динамических бифуркациях резиса в присутствии шумов, рассмотрим на примере после прохождения бифуркационного значения система модельной динамической системы, описываемой нестадостаточно долго находится на неустойчивой ветви и ционарным зашумленным логистическим отображением:

лишь через некоторое время сравнительно быстро переходит в одно из двух устойчивых положений (для xn+1 = rnxn(1 - xn) + fn, rn+1 =rn +s, (1) простоты мы рассматриваем случай первой бифуркации удвоения). Похожий процесс происходит и при обратном где rn — меняющийся во времени управляющий парапереходе, т. е. при уменьшении управляющего параметра.

метр, s — скорость измерения управляющего параметра, Чем медленнее управляющий параметр, тем отчетливее fn — случайное воздействие.

выражено явление затягивания.

Для простоты мы ограничимся равномерным распреПри циклическом изменении управляющего параметра делением случайной величины fn в интервале (-, +), система задерживается в окрестности прежних устойчитак что дисперсия 2 равна 2/3. Логистическая моf вых точек как при прямом, так и при обратнам ходе, дель, усложненная шумом и нестационарностью, уже при этом явление затягивания приводит к появлению применялась для анализа бифуркаций в работах [7,10].

гистерезисной петли.

В квазистационарном режиме первая бифуркация удвоЯсно, что при наличии шумов время пребывания сиения периода для логистического отображения имеет стемы возле неустойчивой ветви сокращается, поскольку место при критическом значении rc1 = 3. Исследуем шумовое воздействие ускоряет отклонение от неустой- окрестность этой точки, изменяя управляющий параметр чивого положения. Это явление напоминает ускорение в пределах от r0 = 2.8 до r1 =3.2 (прямой ход) и от фазовых переходов под действием шумовых факторов.

3.2 до 2.8 (обратный ход, при обратном ходе величина s Как известно, при малых уровнях шума вещество имеет в (1) меняет знак). Результаты численного расчета завитенденцию задерживаться вблизи неустойчивого (ме- симости динамической переменной xn от управляющего тастабильного) состояния, что подобно явлению затя- параметра rn представлены на рис. 1 для случая очень гивания в бифуркационных системах. Между тем до- малых шумов 2 = 10-14. При скорости изменения f полнительное шумовое воздействие сокращает время s, равной 0.0004, прямая бифуркация происходит при пребывания возле неустойчивой ветви подобно тому, r+ = 3.08, что превышает критическое значение rc1 = 3, как шум сокращает размеры гистерезисной петли в тогда как при обратном ходе возвращение к исходному бифуркационной системе.

устойчивому состоянию имеет место при r- = 2.95, что Попытки описать явление затягивания при воздей- меньше критического значения.

ствии шумов были предприняты в работах [9–13], где При прохождении критического значения r = rc1 = рассмотрены как качественные, так и некоторые количе- устойчивая ветвь A на рис. 1 расщепляется на две Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума Закономерности ”шумового” гистерезиса, выявленные при анализе зашумленного нестационарного логистического отображения, могут проявляться и в других бифуркационных системах, например в поляризационных бифуркациях в нелинейной оптике [15,16].

Распределение вероятностей динамической переменной при быстром бифуркационном переходе Для анализа эволюции распределения вероятностей динамической переменной мы рассчитали распределения этой величины при нескольких значениях управляющего Рис. 1. Гистерезисная петля при ”шумовом” гистерезисе параметра r = 2.9, 2.95, 3.00, 3.05, 3.10, 3.20. Каждая (s = 0.0004, 2 = 10-14) в динамической системе, описыf гистограмма рассчитывалась по 500 реализациям. На ваемой логистическим отображением.

рис. 3 показан набор гистограмм, отвечающих скорости изменения контрольного параметра s = 0.0004 и уровню шума 2 = 10-8. Бифуркация на гистограммах проf является сначала в виде расщепленного пика, который устойчивые ветви 1 и 2 и на неустойчивую ветвь затем быстро разделяется на два самостоятельных пи3. Вследствие явления затягивания потери устойчика, соответствующих двум устойчивым бифуркационным вости система может долго находиться в окрестности ветвям 1 и 2. Расщепление происходит при значении неустойчивой ветви, после чего довольно быстро пеконтрольного параметра rc1 3.04. Таким образом, реходит к одной из двух устойчивых ветвей 1 или (рис. 1). Время пребывания системы возле неустой- расщепление имеет место при значении контрольного параметра, превышающего стационарное бифуркациончивой ветви 3 ограничено действием шумов. С ростом уровня шума 2 система быстрее выбывает из окрест- ное значение rc1 = 3.00. При переходе через бифуркациf ности неустойчивости ветви 3 и переходит к одной из онное значение r = rc1 = 3.00 мы не обнаружили расшиустойчивых ветвей 1 или 2. Заметим, что явления, рение гистограмм, отвечающее ”предбифуркационному аналогичные описанным выше, происходят также при шуму” [17] (аналог ”предосцилляционных” флуктуаций).

второй, третьей и т. д. бифуркациях удвоения перио- Незначительное усиление флуктуаций наблюдалось разда [13,14]. ве только в окрестности фактических точек расщепления траекторий.

Результаты численного анализа влияния шума на бифуркационный процесс представлены на рис. 2. Согласно рис. 2, чем больше уровень шума, тем быстрее система переходит в устойчивое положение. С ростом уровня шума момент фактической бифуркации приближается к своему квазистационарному значению rc1 = 3.

Таким образом, шум ускоряет бифуркационный процесс и уменьшает размер гистерезисной петли.

Размер гистерезисной петли r можно характеризовать положением точки отрыва r+ траектории ветви 3 при прямом ходе и положением точки возвращения r- при обратном ходе (рис. 1). Фиксацию точек r+ и r- естественно осуществить исходя из условия, чтобы траектория удалилась от неустойчивой ветви (или приблизилась к устойчивой ветви A) на определенное расстояние, скажем, на величину порядка 1% от стационарного значения. С ростом интенсивности шума 2 верхняя граница петли r+ приближается к f критическому значению rc1, тогда как нижняя граниРис. 2. ”Шумовой” гистерезис в логистическом отображении ца петли r- практически не зависит от шумов. Это при скорости s = 0.0004 и при различных значениях интенобстоятельство в прежних публикациях отмечено не сивности шума. 2 = 10-6 (кривая a), 10-8 (кривая b), 10-f было.

(кривая c), 10-14 (кривая d).

9 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 130 О.Я. Бутковский, Ю.А. Кравцов, Е.Д. Суровяткина Возможность измерения слабых внутренних шумов в бифуркационных динамических системах Явление гистерезиса при бифуркационных переходах может оказаться полезным для измерения уровня слабого внутреннего шума в исследуемых системах, что обычно представляет собой сложную экспериментальную задачу.

Дело в том, что в случае слабых шумов флуктуации = x - x относительно положения равновесия x достаточно малы. Основываясь на линеаризованных уравнениях для [7,9], можно заметить, что дисперсия флуктуаций = 2 равна Рис. 4. Зависимость шумовой гистерезисной петли 2 r = r+ - r- от уровня шума, позволяющая оценить уровень f =, (2) шума путем измерения.

1 - Aгде A = F/x — ”крутизна” отображения в стационарной точке.

обеспечивает гораздо большую чувствительность, по Для логистического отображения A = 2 - r. Вдали от 2 скольку размер петли весьма чувствителен к слабому точки бифуркации дисперсия сравнима в силу (2) с шуму.

2, что и затрудняет проведение измерений.

f В качестве примера на рис. 4 показана зависимость По мере приближения к точке бифуркации величиразмера гистерезисной петли r = r+ - r- от уровня на |A| стремится к единице. При r = rc1 величина шума 2 для логистического отображения. Как видно f |A| = |2-r| равна единице, а дисперсия (2), вычисленная из этого рисунка, с ростом шума 2 размер петли r по линеаризованной теории, обращается в бесконеч- f уменьшается.

ность. В действительности при r rc1 линеаризованная Для того чтобы оценить уровень шума 2, предлагаеттеория теряет силу, а грубый учет нелинейных членов f ся измерять длину гистерезисной петли r = r+ - r- и показывает, что оценка при r rc1 насыщается на по калибровочному графику r = F(2) устанавливать f уровне = 2/G, характеризующем ”предбифуркаf дисперсию внутренних шумов в системе. Такой метод ционный рост флуктуаций” [17] (здесь G 3). При позволяет оценивать весьма низкие уровни шума f дисперсии шумов ниже уровня 10-8 величина предбивплоть до 10-12-10-14. В наших численных эксперименфуркационных флуктуаций все равно оказывается тах меньшие уровни шума реализовать не удалось из-за достаточно малой < 0.4 · 10-4.

влияния ошибок округления, но в реальных физических В этих условиях динамический метод определяющий системах этого ограничения не будет, что и позволит уровни шумов по характеристикам петли гистерезиса определять весьма малые уровни шума.

Можно ожидать, что в других динамических системах зависимость размера петли r от уровня шума будет иметь поведение, качественно подобное описанному. Разумеется калибровочные кривые r = F(2) будут f различными для разных систем.

Можно рекомендовать и другой метод определения 2, основанный на измерении времени пребывания f системы в узкой окрестности неустойчивой ветви 3. Это время существенно зависит от интенсивности шумов, так что, измерив, можно будет оценить дисперсию шумов 2 при помощи калибровочных кривых, подобных f кривым на рис. 4.

Бутковский О.Я. и Кравцов Ю.А. выражают признательность Международному научному фонду за частичную поддержку данной работы в рамках грантов Рис. 3. Гистограммы, характеризующие расщепление веро№ AG000 и AG300.

ятности динамической переменной x с ростом управляющего параметра, при скорости s = 0.0004 и значении интенсивности Авторы благодарны рецензенту за критические замешума 2 = 10-6.

чания, способствовавшие более четкому изложению.

f Журнал технической физики, 1997, том 67, № Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума Список литературы [1] Шишкова М.А. // ДАН СССР. 1973. Т. 209. № 3. С. 576– 579.

[2] Нейштадт А.И. // Успехи мат. наук. 1985. Т. 41. № 5.

С. 300-301.

[3] Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Препринт Института прикладной математики РАН. № 56. 1995. С. 28.

[4] Morris B., Moss. // Phys. Lett. A. 1986. Vol. 118. P. 117.

[5] Mandel P., Erneux T. // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. P. 1818.

[6] Lefebre M., Dangoisse D., Glorieux P. // Phys. Rev. 1984.

Vol. A29. P. 1486.

[7] Baesens C. // Physica. 1991. Vol. 53. N 2–4. P. 319–376.

[8] Dynamical Bifurcations. Lecture Notes in Mathematics / Ed.

E. Benoit. Berlin: Springer Verlag, 1993.

[9] Pieranski P., Malecki J. // Nuovo Cimento. 1987. Vol. D9.

P. 757–780.

[10] Van den Broeck C., Mandel P. // Phys. Lett. 1987. Vol. A122.

P. 36–38.

[11] Zeghlache H., Mandel P., Van den Broeck C. // Phys. Rev.

1989. Vol. A40. P. 286–294.

[12] Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., Surovyatkina E.D. // Proc. III Technical Conf. on Nonlinear Dynamics (CHAOS) and Full Spactrum Processing.

Connecticut (USA), 1995.

[13] Butkovskii O.Ya., Brush J.S., Kravtsov Yu.A. // Predictability of Complex Dynamical System. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 1995.

[14] Kapral R., Mandel P. // Phys. Rev. 1985. Vol. A32. P. 1076– 1081.

[15] Arimondo E., Dangoisse D., Grabbanini C., Menchi E., Papoff F. // J. Opt. Soc. Am. 1987. Vol. B4. P. 892–899.

[16] Желудев И.Н. // УФН. 1989. Vol. 157. № 4. C. 683.

[17] Хорсхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Теория и приложения к физике, химии и биологии.

М.: Мир, 1987.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.