WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 10 01;04;10 Особенности развития двухпотоковой неустойчивости электронных пучков при пространственно-локализованных возмущениях © А.Е. Дубинов Российский федеральный ядерный центр Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, 607188 Саров, Нижегородская область, Россия e-mail: dubinov@ntc.vniief.ru (Поcтупило в Редакцию 13 декабря 2000 г.) Рассмотрена эволюция пространственно-локализованного возмущения типа гауссовский пакет для двухпотоковой неустойчивости в плазме. Показано, что движущееся возмущение в целом тормозится с искажением своей формы, причем величина торможения тем больше, чем больше групповая скорость пакета.

Многопотоковая и, в частности, двухпотоковая не- ющего интеграла, а его гармонические составляющие, устойчивость параллельных электронных пучков в ва- каждая в отдельности, имеют бесконечную энергию. Покууме и плазме является популярным примером, иллю- этому наиболее простым и наглядным нам представляетстрирующим неустойчивость неравновесного распреде- ся изучение развития неустойчивости при локализованления электронов. В простейших случаях для линейной ных возмущениях, не прибегая к их фурье-разложениям.

стадии этой неустойчивости ее дисперсионное уравнение В рамках такого подхода, как будет продемонстрировано можно решить и проанализировать точно. Этот анализ ниже, удается достаточно просто аналитически рассмоприводится во многих учебниках и монографиях по треть двухпотоковую неустойчивость. Будем исходить из физике плазмы: например, в [1,2] для двухпотоковой традиционных уравнений [3] неустойчивости и в [3] для многопотоковой. Достаточно n полный обзор работ по двухпотоковой неустойчивости + div nv = 0, (1) t приведен также в [4].

Однако много- и двухпотоковая неустойчивости интеv e ресны не только в качестве методического примера. Так, + vv = E, (2) t m в работе [5] экспериментально исследовалось возбуждение высокочастотных колебаний системой параллельных E = 4e mn - Ni, (3) пучков за счет развития многопотоковой неустойчиво сти. Кроме того, в таких СВЧ приборах с отраженигде n и v — концентрация и скорость электронов -го ем электронного потока, как виркаторы, отражательные пучка, e и m — их заряд и масса, E —электрическое клистроны, генераторы с тормозящим полем Баркгаузеполе.

на–Курца и др., во встречных пучках возможно развитие Уравнение (1) представляет собой уравнение непредвухпотоковой неустойчивости (для виркаторов на это рывности электронного пучка, уравнение (2) — уравобращено внимание в [6]).

нение движения, а (3) выражает закон Гаусса. Будем Проводя анализ линейной стадии двухпотоковой несчитать, что электронные пучки распространяются паустойчивости обычно линеаризуют исходные уравнераллельно друг другу в пространстве, в котором для ния, считая, что начальные возмущения системы имеют упрощения задачи присутствуют неподвижные ионы с вид exp i(kz - t). А это в свою очередь означаконцентрацией Ni, роль которых сводится лишь к обеспеет, что возмущение равномерно распределено от чению зарядовой компенсации невозмущенных пучков.

до +, что соответствует бесконечно длинной системе Направим ось z параллельно направлению движения пучков и, вообще говоря, бесконечно большой энергии, пучков и будем считать, что в поперечном сечении систесодержащейся в возмущении.

ма однородна. В этом случае система уравнений (1)–(3) Поэтому представляет интерес рассмотреть, как разстановится одномерной для концентрации и проекций вивается эта неустойчивость при пространственно-локаскорости и электрического поля вдоль оси z. Представим лизованном возмущении. Идея рассмотрения особеннонеизвестные, входящие в уравнения, в следующем виде:

стей развития различных неустойчивостей при локализованных возмущениях, вообще говоря, не нова, и здесь в n = N + exp i(kz - t) exp -2(z - Vgt)2, (4) качестве примера можно привести работы [7,8]. Однако рассмотрение таких возмущений в виде разложений v = V + exp i(kz - t) exp -2(z - Vgt)2, (5) по гармоническим волнам [7] имеет некоторые методические трудности: локализованное возмущение имеет E = exp i(kz - t) exp -2(z - Vgt)2. (6) конечную энергию вследствие сходимости соответствуОсобенности развития двухпотоковой неустойчивости электронных пучков... Прежде чем перейти к анализу дисперсионного уравнения, обратим внимание, что при его выводе нам не удалось полностью избавиться от координаты и времени.

Это обстоятельство, однако, является типичным при представлении функций в виде разложений по базису локализованных функций — вейвлетов [8,9] и позволяет анализировать процессы в {z - t}- и {k - }-пространствах одновременно.

Заметим, что при исчезновении локализации ( 0) дисперсионное уравнение (12) переходит в известное при гармоническом возмущении.

Анализ уравнения (12) в случае двух параллельных Рис. 1. Мгновенный вид возмущения типа гауссовский пакет.

пучков с произвольными невозмущенными значениями плотности и скорости вследствие его многопараметричности представляется весьма громоздким, хотя и элеКак видно, возмущения представляют собой простран- ментарным. Проведем этот анализ лишь для частотного ственно-локализованные функции, которые являются случая двух одинаковых встроенных пучков, имеющих гармонически модулированной функцией Гаусса с пара- равные значения p = p и V = V, когда при траметрами:, имеющим размерность обратной длины и диционном гармоническом возмущении неустойчивость определяющим пространственную ширину возмущения, носит абсолютный характер. Будем исследовать, как рази Vg, представляющим собой групповую скорость возму- вивается неустойчивость на различных характеристиках щения. Функция, описывающая возмущения, с точностью C = z - Vgt = const огибающей. Тогда дисперсионное до несущественного для нас нормировочного множителя уравнение запишется в виде известна в теории вейвлетов как функция Габора [8], а p в [7] такая функция называется гауссовским пакетом. Ее 1 = внешний вид показан на рис. 1.

22(z - Vgt)(Vg - V) +i(kV - ) Амплитуды возмущений в (4)–(6) будем считать малыми, а знак ”тильда” будем в дальнейшем опускать. p -. (13) Подставляя (4)–(6) в исходные уравнения и оставляя 22(z - Vgt)(Vg + V) - i(kV + ) члены только первого порядка малости относительно возмущений, получим Легко видеть, что на вершине огибающей (C = 0) неустойчивость развивается так же, как и в случае n 22(z - Vgt)Vg - i +(Nv + nV) гармонического возмущения. Однако на других участках огибающей инкременты неустойчивости существенно из -22(z - Vgt) +ik = 0, (7) менятся. Так как уравнение (13) имеет четвертый поряv 22(z - Vgt)Vg - i док относительно, то оно будет иметь четыре корня e 1,2,3,4 = 2iCVg + vV -22(z - Vgt) +ik = E, (8) m ± k2V2 + 2 - 42C2V2 + 4iC2kV ± D, p E -22(z - Vgt) +ik = 4en. (9) (14) где Решая уравнения (7) и (8) относительно v и n, находим 2 D = 4 + 42k2V2 - 16C242V + 16iC22kV, p p p p e E v =, (10) m 22(z - Vgt)(Vg - V) +i(kV - ) а нумерация корней в (14) и ниже следующая: 1 —оба знака перед радикалами в (14) — плюсы, 2 — первый NE -22(z - Vgt) +ik e знак — минус, а второй — плюс, 3 — первый знак — n = -. (11) m 22(z - Vgt)(Vg - V) +i(kV - ) плюс, а второй — минус, 4 — оба знака — минусы. При естественном предположении k2 2 вычислим зависиПолученные значения v и n подставляем далее в (9) мость мнимой части корней Im (1,2,3,4) от положения на и получаем искомое дисперсионное уравнение возмущении C.

p Для случая неподвижного возмущения (Vg = 0) при 1 = -, (12) некотором k указанная зависимость представлена на 22(z - Vgt)(Vg - V) +i(kV - ) рис. 2, a. Видно, что на вершине возмущения 2,3 = 0, где p = (4e2N/m)1/2 — плазменная частота -го в то время как 1,4 в нуле претерпевают скачки, равные пучка. двум инкрементам неустойчивости при гармоническом 9 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 130 А.Е. Дубинов предыдущем случае; она показана на рис 2, a. Видно, что фронт возмущения растет медленее, чем его хвост.

Это приводит, во-первых, к смещению центра тяжести возмущения в сторону противоположную его движению, т. е. к замедлению пакета, и во-вторых, к тому, что фронт пакета становится более пологим по отношению к хвосту.

При большой групповой скорости (Vg > V) фронт возмущения может вообще затухать, а хвост расти с очень большим инкрементом (рис. 2, c). Если же рассматриваемая система двух пучков помещена в некую электродинамическую структуру типа карсинотрон, т. е. Vg < -|V| < 0 < V, и положительные значения характеристик C при этом соответствуют хвосту пакета, то и в этом случае наблюдаются замедление и искажение формы возмущения.

Рассмотренные особенности эволюции пространственно-локализованного возмущения хотя и получены в рамках линейного приближения, тем не менее они не могут быть получены в рамках гармонического возмущения.

Если же пойти путем разложения локализованного возмущения на гармонические составляющие, тогда эти особенности получить можно. На этот путь будет гораздо труднее, так как придется рассчитывать интегралы типа свертки Дюамеля.

В заключение выражаю свою благодарность А.А. Рухадзе, давшего мне консультации по ряду вопросов многопотоковых неустойчивостей.

Список литературы [1] Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975. 528 с.

[2] Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы. М.: Мир, 1996. 528 с.

[3] Стикс Т. Теория плазменных волн. М.: Атомиздат, 1965.

344 с.

[4] Бриггс З. // Достижения физики плазмы. Пер. с англ. / Под ред. М.С. Рабиновича. М.: Мир, 1974. С. 132.

[5] Федорченко В.Д., Мазалов Ю.П., Бакай А.С., Руткевич Б.Н. // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. Вып. 6 (12). С. 2225.

[6] Дубнов А.Е. // РиЭ. 2000. Т. 45. № 7. С. 875.

[7] Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей.

Т. 1. М.: Атомиздат, 1970. 296 с.

[8] Жданов С.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые Рис. 2. Зависимость для различных случаев: a — Vg = 0, среды. М.: Наука, 1991. 176 с.

b —0 < Vg < V, c — Vg > V, d — Vg < -|V | < 0 < V.

[9] Астафьева Н.М. // УФН. 1996. Т. 166. № 11. С. 1145.

возмущении. При удалении же от вершины инкременты увеличены. Это соответствует тому, что возмущение стремится в своей эволюции к равномерному гармоническому, так что эффективная ширина огибающей возмущения в процессе эволюции будет расти (расплывание гауссовского пакета).

При малой групповой скорости пакета (0 < Vg < V) зависимость Im (1,2,3,4) от C несколько иная, чем в Журнал технической физики, 2001, том 71, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.