WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 11 01;12 О возможности оценки коэффициента диффузии среды по рядам наблюдений в нескольких точках © Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов, И.В. Фельдштейн Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 125047 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 23 октября 1996 г.) Рассмотрен возможный подход к оценке коэффициента диффузии в среде по временным рядам наблюдений в нескольких точках. Подход основан на анализе зависимости наибольшего собственного значения матрицы ковариации от коэффициента диффузии. Показано, что такая зависимость для широкого круга систем имеет монотонный характер и может рассматриваться как характеристика среды. Рассмотрен вопрос о том, при каких условиях на границе монотонность имеет место.

Введение Мы продемонстрируем эффективность метода для случая пространственно распределенной системы с заОпределение параметров исследуемых систем по врекрепленными концами, т. е. с граничными условиями менным рядам или диагностика их состояния — одна первого рода. Тогда при очень большом коэффициенте из практически важных задач [1–3]. Подобные проблесвязи краевые условия будут удерживать всю систему в мы возникают в физике, технике, медицине, биологии ”нехаотическом” состоянии, при очень малом их влияние и т. п. Например, встает вопрос, какую информацию о будет сказываться только в небольшой области вблизи заболевании можно получить, обрабатывая временной границы. Однако в некотором интервале значений D долряд интервалов между последовательными сердечными жен наблюдаться переход от первой ситуации ко второй.

сокращениями. Современные методы нелинейной динаИменно в этом диапазоне должны наблюдаться перемики позволяют оценивать по временному ряду не толь стройки аттрактора, диагностируемые геометрическими ко спектры, но и фрактальные размерности, ляпуновские методами. Примером физической системы, для которой показатели, энтропию системы, но в каждом конкретном имеет смысл постановка задачи о диффузии в среде случае полезность таких измерений требует отдельных с нелинейным источником и краевыми условиями 1-го исследований.

рода, может служить химическая реакция в длинной Для систем, в которых возникает пространственнотрубке, концы которой помещены в большие резервуары временной хаос, также можно ставить задачу опреде с активным перемешиванием.

ления их параметров. Мы рассматривали возможность Следует сделать еще одно замечание. Мы рассматриваоценки коэффициента диффузии D или его аналога, ем задачу об определении параметров не по скалярному определяющего ”силу связи” отдельных элементов провременному ряду, а по векторному, как это зачастую странственно распределенной системы с непрерывным и делается в гидродинамике, геофизике, климатологии (см.

дискретным временем.

литературу в [3,5]). В этом случае не обязательно Вообще говоря, от параметра D зависят многие хаиспользовать процедуру реконструкции аттрактора мерактеристики исследуемой системы, например размертодом запаздываний (или методом Такенса). Это тем ность аттрактора, однако, во-первых, зависимость эта более важно, что применение метода запаздываний для может носить сложный немонотонный характер [2], а большого круга систем наталкивается на значительные во-вторых, для систем большой размерности оценивать сложности, связанные с выбором параметров реконпоследнюю довольно трудно, а ляпуновские показатеструкции, большой размерностью и некоторыми другими ли — еще труднее. Поэтому в данной работе использофакторами [6]. В качестве компонент реконструированвался более простой подход — оценивались ”размеры” ного вектора, описывающего состояние динамической аттрактора в фазовом пространстве, что можно сделать системы, можно использовать значения, измеренные в путем анализа собственных значений матрицы ковариаразных пространственных точках.

ций (подробнее об этом см. в [3,4]).

Достоинства подобной методики можно проиллюстрировать на следующем примере. В случае надкритической Метод и некоторые результаты бифуркации Хопфа, когда из неподвижной точки рождается предельный цикл, размерность скачком изменяется Рассмотрим среду, каждый элемент которой предс 1 до 2, в то время как размеры предельного цикла ставляет собой нелинейный осциллятор с поведением, плавно увеличиваются с изменением бифуркационного параметра. Тем не менее данная методика, разумеется, описываемым 1- или 2-мерным отображением или систедалеко не всегда способна диагностировать перестройки мой обыкновенных дифференциальных уравнений. Мевнутренней структуры аттрактора. жду элементами среды существует связь диффузионного 128 Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов, И.В. Фельдштейн типа +1 +xij+1 = f(xij) +D xij-1 -2xij+1 +xij+1, (1a) i = f(xi) +D(xi-1 -2xi +xi+1). (1b) Здесь нижний индекс i — номер элемента среды i = 1... n, верхний j — момент времени для отображений. Предполагается, что отображения связаны только по 1-й компоненте вектора x, т. е. в матрице D, отличен от нуля только элемент D11. В качестве граничных условий выбрано условие x = 0 на границе, т. е. для 1-го и n-го элементов соотношения (1) имеют вид j+1 j j j x1 = f(x1) +D -2x1+1 +x2+1, Рис. 1.

j j j j xn+1 =f(xn) +D xn+1 -2xn+1, (2a) -1 = f(x1) +D(-2x1 +x2), Выбор именно этой величины — максимального собn =f(xn) +D(xn-1 -2xn). (2b) ственного значения матрицы C можно проиллюстриНачальные условия полагаются несущественными, так ровать следующим геометрическим соображением. При как все переходные процессы считаются завершенными.

отсутствии связей (случай D = 0) в фазовом пространЗадача оценки параметра связи (в случае диффузионстве системы не существует выделенного направления — ной связи коэффициента диффузии) по временным рядам проекции на все направления равнозначны. С ростом переменной в нескольких точках среды (полученных, диффузии элементы среды начинают участвовать в обнапример, в эксперименте) может считаться решенной, щем движении. Это приводит к тому, что появляется если будет найдена величина, которая в широком диапанаправление, проекции фазовых векторов на которое зоне изменения параметра связи монотонно зависит от максимальны. Решение же задачи об определении макнего. Величина, обладающая такими свойствами, может симума суммы квадратов проекций множества векторов рассматриваться как самостоятельная характеристика сводится к задаче о наибольшем собственном значении среды. Например, ее значение для разных сред с одина(1) матрицы, построенной аналогично матрице C, приковым поведением элементов может использоваться для чем величина этого максимума равна 1.

сравнения сил связей в этих средах. Подобная постановка В работе подобный анализ проведен для следующих задачи имеет смысл для широкого круга задач диагностиотображений:

ки состояния систем в физике, практической медицине, xj+1 = c - xj, (6.1) климатологии и т. д.

Представляется разумным (по крайней мере в каче- xj+1 = 1 - c|xj|, (6.2) стве отправной точки) проанализировать зависимость |xj - c|1/корреляций между точками среды от параметра типа xj+1 = 1 -, (6.3) 1 +(xj -c)коэффициента диффузии. Для этого рассмотрим наибольшее собственное значение матрицы ковариации xj+1 =(2xj +yj) mod 2, yj+1 =(xj +yj) mod 2, (6.4) C = MT M, (3) xj+1 = 1 + yj - cxj, yj+1 = bxj. (6.5) N и системы Лоренца (6.6). Число элементов среды где M — матрица наблюдений (n) бралось равным 10, 20, 30. Результаты расчетов n u0 u0... u0 зависимости 1(D) (наибольшее собственное значение 1 2 n u1 u1... u 1 2 n, (4) для n элементов как функция D) приведены на рис. M = (n = 10, номера кривых соответствуют (6)).

............

Для того чтобы введенная величина действительно uN-1 uN-1... uN-1 2 n являлась характеристикой среды, она должна быть независимой от расчетных параметров, а именно, от числа n.

N — число наблюдений, uij — отклонение от среднего n Зависимость 1 не обладает таким свойством, однако i -элемента среды для j-го наблюдения [2] n = (1/n)1 является универсальной для данного отображения при фиксированных параметрах (рис. 2).

N-Именно это говорит о том, что она характеризует свойuij = xij - xk. (5) i N ства среды.

k=Журнал технической физики, 1997, том 67, № О возможности оценки коэффициента диффузии среды по рядам наблюдений в нескольких точках Таким образом, тестовые расчеты показали, что введенная величина является устойчивой по отношению к выбору множества точек среды, используемых при формировании матрицы M. Предложенный алгоритм можно использовать в тех ситуациях, когда вид уравнений или отображений, описывающих изучаемый объект неизвестны. В этом случае величину D можно рассматривать как самостоятельную характеристику объекта, отражающую взаимосвязь его элементов. В простейших рассмотренных случаях она определяет ”силу связи”, или коэффициента диффузии.

Рассмотрим вопрос о граничных условиях. Расчеты показывают, что зависимости 1(D), подобные рассмотренным ранее (имеющие монотонный участок в широкой области изменений D), встречаются только при фиксиРис. 2.

рованных значениях переменной на краях. Так, рис. представляет результаты расчетов для периодических граничных условий и условий нулевого потока на границе (в первом случае цепочка осцилляторов ”замыкалась” Рис. 3.

Процедура вычисления коэффициента диффузии в среРис. 4.

де состоит из следующих этапов: 1) по рядам наблюдеn ний в n точках среды вычисляется 1; 2) вычисляется n =(1/n)1; 3) по кривой, аналогичной кривым рис. 1, определяется D; 4) сама величина D не является коэффициентом диффузии (так как D входит в разностную аппроксимацию оператора диффузии), но его величина D связана с D простым соотношением D =(1/n2)D.

Рис. 3 (кривые 1, 2) демонстрируют зависимость 1(D) для случая n = 10, но при матрице M, сформированной по наблюдениям в трех точках, причем не равноотстоящих друг от друга, u0 u0 u2 5..........

M = uN-1 uN-1 uN-2 5 Видно, что зависимость качественно та же, что и в том случае, когда в каждый момент времени берется полный вектор наблюдений.

Рис. 5.

9 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 130 Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов, И.В. Фельдштейн в кольцо связями (для 1-мерного отображения) Список литературы j+1 j j j j [1] Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Саx1 = f (x1) +D xn+1 -2x1+1 +x2+1, марский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

j j j j j xn+1 = f (xn) +D x1+1 -2xn+1 +xn+1, [2] Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические -колебания. М.: Наука, 1987.

а во втором случае ставились следующие условия:

[3] Ababrbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., Tsimring L.S. // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65. P. 1331.

-3x1 + 4x2 - x3 = 0, -xn-2 + 4xn-1 - 3xn = 0.

[4] Broomhead D.S., King G.P. // Physica D. 1986. Vol. 20. P. 217– 236.

Для 2-мерных отображений и обыкновенных диффе[5] Malinetskii G.G., Potapov A.B., Rakhmanov A.I., Rodiренциальных уравнений делалось то же самое. Видно, chev E.B. // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 179. P. 15.

что зависимость 1(D) является в обоих случаях нере[6] Новое в синергетике. М.: Наука, 1996.

гулярной и для задачи оценки параметра D интереса, повидимому, не представляет. Необходимо отметить, что при не высоких коэффициентах диффузии и матрице M, сформированной по рядам наблюдений в точках вдали от границы, зависимость 1(D) для случая краевых условий 1-го и 2-го рода практически совпадают, однако с ростом D они начинают расходиться.

Интересным представляется вопрос об изменении характера поведения системы при изменении коэффициента диффузии. Хотя подобный анализ далеко не завершен, некоторое представление об изменении в системе дает рис. 5. На нем показаны результаты расчетов корреляционного интеграла в n-мерном фазовом пространстве для различных коэффициентов диффузии (динамика элемента среды определяется отображением xj+1 = 1 - c|xj|, c = 1.5, n = 20). Видно, что корреляционная размерность, определяемая наклоном кривой, с ростом D уменьшается и достигает некоторой предельной величины. Это, по-видимому, можно трактовать как ”упрощение” поведения системы, вызванного тем, что отдельные элементы системы начинают участвовать в общем движении из-за наличия внутренних связей, растущих с ростом коэффициента диффузии.

Итак, численно показано, что для различных нелинейных сред может быть введен параметр (1), монотонно меняющийся с изменением коэффициента диффузии. Таким образом, зная закон, которому подчиняется динамическое поведение элемента среды (в форме отображения или обыкновенного дифференциального уравнения), возможно определение коэффициента диффузии по записи наблюдений в нескольких точках.

Можно ожидать, что предложенный подход будет полезен при анализе энцефалограмм, снимаемых в нескольких точках, при исследовании гидродинамических течений и диффузионного хаоса, а также в других случаях, когда использование реконструкции аттрактора вызывает трудности.

Настоящая работа была частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 96-01-01161).




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.