WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 8 01;03 Генерация электрогидродинамических волн на границе раздела жидкость–вакуум © А.А. Шутов Филиал научно-исследовательского физико-химического института им. Л.Я. Карпова, 249030 Обнинск, Россия e-mail:fci@meteo.ru (Поступило в редакцию 26 октября 2001 г. В окончательной редакции 31 января 2002 г.) В линейном приближении исследована электрогидродинамическая задача устойчивости поверхности вязкой жидкости на границе с воздухом с учетом кинетики переноса поверхности заряда. Определены критические напряженности электрического поля, нарушающие устойчивость плоской поверхности раздела.

Найдены условия генерации незатухающих волн на межфазной границе.

Введение Теория Кинематическое уравнение поверхностного заряда Электростатическое приближение, изучающее повеплотности на поверхности q3 = f (q1, q2, t) описывадение идеальных проводников или изоляторов, допуется соотношением [7] стимо использовать в рамках аппарата невязкой жидкости [1,2]. Напротив, задача движения жидкости ко ( g1g2) + (V1 g2) + (V2 g1) нечной проводимости должна рассматриваться только t q1 q2 в вязкой постановке. Генерация зарядовых плотностей на межфазных поверхностях приводит к возникнове+ g1g2(2E2n - 1E1n) =0, (1) нию касательных электрических сил на границе, для компенсации которых необходимы вязкие натяжения.

где ортогональная криволинейная система координат Поверхностный заряд должен согласовывать между со- q1, q2, q3 на межфазной поверхности выбирается следубой конвективные и омические точки. Существенной ющим образом: единичный орт координаты q3 направлен здесь может оказаться не только величина токов, но по нормали к поверхности из среды 1 в среду 2, а q1, q2 и характер омической связи межфазной поверхности образуют ортогональную сеть.

с источниками зарядов. В частности, эксперимент дает Плотность заряда определяется обычным в электродиразличные критические напряженности дестабилизации намике способом через объемную плотность заряда e плоской поверхности в зависимости от способа подачи f + напряжения: внезапное включение поля или постепенное = eh3 dq3.

повышение напряженности [3,4]. Под неустойчивостью здесь понимается реакция жидкой системы на малое f возмущение границы раздела, приводящая к спонтанноЗдесь метрические коэффициенты поверхности связаны му росту возмущения и последующей эмиссии некотос коэффициентами Ламе hi перехода от прямоугольной рого количества жидкости со свободной поверхности.

к криволинейной системе координат следующим обраАнализ подобной задачи для границы раздела жидкозом: gi(q1, q2) =h2(q1, q2, q3 = f ), i = 1, 2. В уравнении i стей с равными кинематическими вязкостями выявил введены обозначения: V1, V2 есть q1- и q2-компоненты наличие неустойчивых и затухающих возмущений [5].

скорости жидкости на границе; 1, 2 — проводимости;

Оказывается, что вязкая система может при некотоE1n, E2n — нормальные компоненты напряженности по рых условиях возбуждать назатухающие поверхностные разные стороны от межфазной поверхности. Рассмотрим волны. Например, в касательном электрическом поле плоские движения границы жидкости, занимающей нижк плоской межфазной поверхности образуется стоячая нее полупространство в декартовых координатах x, z волна при немного меньшей напряженности, чем критив однородном электрическом поле. Свободная поверхческая [6].

ность описывается уравнением z = f (x, t). Сила тяНиже рассматривается задача устойчивости и генежести g направлена вертикально вниз, противоположно рации незатухающих волн в ортогональном к границе положительному направлению оси z, напряженность раздела поле. В отличие от работ [3,5] предполагается, электрического поля над жидкостью равна E20, Предпочто в исходном состоянии межфазная поверхность заря- лагаем, что перенос заряда осуществляется в отсутствие жена.

объемного заряда. Задача формулируется следующим Генерация электрогидродинамических волн на границе раздела жидкость–вакуум образом Рассмотрим задачу (2)–(8) для очень вязких жидкостей, когда инерционными членами в (2) можно пренеV/t + VV = -p/ + V + g, div V = 0, (2) бречь. Определим возмущения следующим образом:

1,2 = 0 (3) A = A0 +, с условием на границе z = f где A0 есть любая величина в (9), (11), — возмущение.

С точностью до линейных членов по амплитудам f /t - w + u f /x = 0, (4) имеем следующую задачу:

2 ( 1 + f )/t + ( u)/x - En1 1 + f = 0, (5) p = µ V, divV = 0, 1,2 = 1 = 2, n1 - n2 = /0, (6) с условиями на z = pn1 = nTf /(1 + f )3/2 + Fe, (7) w = f /t, /t + 0u/x - En1 = 0, Ee =(D2nE2 - D1nE1) - (D2E2 - D1E1)n/2, 2 - 1 =(E20 - E10) f, n1 - n2 = /0, z : E2z E20. (8) -p + 2µw/z + gf - Tf = 0E20E2z - 0E10E1z, Компоненты скорости V обозначены согласно соотµ(u/z + w/x) =0(E20E2x - E10E1x) ветствию (u, w) (x, z ). Плотность, кинематическая вязкость, поверхностное натяжение и диэлектрическая 2 + f 0(E20 - E10)/2.

проницаемость жидкости равны соответственно,, T и. Вязкость, плотность, давление и проводимость сре- Здесь µ — вязкость жидкости, знак черты у возмущений ды над жидкостью нулевые. Электрический потенциал опущен. Полагая, что зависимость от x и t в каждой обозначен, E = -, D = 0E, где 0 —диэлек- переменной описывается множителем exp(st + ikx), трическая константа. Уравнение (5) для поверхностного находим следующее дисперсионное соотношение:

заряда является следствием уравнения (1) и учитывает 2( + 1) +a + b = 0, (12) как конвективный поток заряда вдоль деформируемой поверхности, так и омический ток жидкости. Нижние a =( + 1) + C2 + H - ( - 1 + C)2/, (13) индексы 1 и 2 у потенциала обозначают величину внутри b =(C2+H) - 2(-1+C)H+(-1)(3C2-2C)+C4 /2, и вне жидкости соответственно. Вектор n есть внешняя нормаль по отношению к жидкости, штрихом обозна- 2 2 C = 0/0E20, = 2µs/0E20, H = 2µ/0E20, чено дифференцирование по x. Вектор pn1 в граничном =(2H2/4 + y2)/y, =(gT0/µ22)1/2, условии (7) есть вектор вязких натяжений. Соотношение (8) есть поверхностная плотность электрической y = Tk/0E20. (14) силы [8].

Здесь H — электрический аналог числа ГартмаСистема уравнений (2)–(8) допускает следующее рена. В качестве параметра неустойчивости выберем шение для плоской границы раздела z = 0:

= H = (4gT)1/2/E20. Условиями устойчивости квадратного уравнения (12) являются a 0, b 0.

V0 = 0, f = 0, 20 = -E20z, (9) Используя выражения (13) и (14), находим следующие 10 = zE20 exp(-t/ )/, условия устойчивости:

p0 = -gz - E20 1 - exp(-2t/ )/ /2, ( - 1)( - 1 + 2C - C2) 1 =, (15) 0 = 0E20 1 - exp(-t/ ), (10) ( + 1) +где = 0/.

A2 + 2 ( - 1)(3C2 - 2C) +C4 - A Положим, что время релаксации заряда велико по 2 =, сравнению с характерным временем развития гидроди(16) намической неустойчивости. Тогда на таких временных масштабах потенциал и поверхностная плотность заря- где A = C2 - + 1 - C.

да являются медленно меняющимися функциями. Да- В предельных случаях незаряженного идеального диэлектрика (C = 0, H 0, ) и идеального лее, при формулировке возмущенной задачи положим, проводника (C = 1, 0, H ) уравнение (12) что невозмущенные напряженности над жидкостью Eдает соответственно и в жидкости E10 постоянны. Потенциал в жидкости, поверхностная плотность заряда и давление равны соg + Tk2 ( - 1)ответственно = - +, (17) 0E20k ( + 1) 10 = -E10z, 0 = 0(E20 - E10), g + Tk = - + 1. (18) 2 p0 = -gz - (E20 - E10)/2. (11) 0E20k Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 128 А.А. Шутов Периодические решения уравнений (17) и (18) существуют лишь в виде стоячих волн при = 0.

В области < 0 решения являются апериодические затухающие функции.

Значения параметра 1(H 1) соответствуют хорошо проводящим, а 1(H 1) —плохо проводящим жидкостям. Момент возникновения неустойчивости определим как наименьшее значение напряженности поля, нарушающее любое из неравенств (15), (16). Как видно из (10), величина C меняется в диапазоне [0,1].

В зависимости от свойств жидкости и от способа повышения напряжения можно получить различные величины пороговых напряженностей, при которых нарушается устойчивость поверхности раздела.

Рассмотрим два случая возбуждения неустойчивости. Зависимость пороговой напряженности от проводимости жидкости. Пунктир — зависимости для режима постепенного при внезапном повышении напряженности до пороговой повышения напряженности. = 2 (1), 5 (2), 10 (3), 40 (4).

величины значение C может пробегать все значения из диапазона [0,1]. Наименьшее значение напряженности определяется наибольшим значением из (15), (16) (C = 1). Как видно из уравнения (12), условиями распространения таких волн являются условия a = 0, b > s = max(1, 2). (19) C g + Tk2 - 1 - H При постепенном повышении напряжения поверх- =, (21) 0E20k + ностная плотность заряда поддерживается на уровне максимального значения C = 1. В этом случае имеем g + Tk2 2H + >. (22) 0E20k 2(H + 1) g = max 1(C = 1), 2(C = 1). (20) Допустимые значения волновых чисел определяются Как видно из соотношений (9), (10), рассматриваемая уравнением (21), которое можно записать в виде электрогидродинамическая система имеет единственное равновесное состояние, соответствующее максимально - 1 - H 0E20 g k - + му заряду поверхности раздела. Режим постепенного + 1 2T T повышения напряжения поддерживает систему в состоянии, близком к равновесному. В случае внезапной - 1 - H 0Eподачи напряжения заряд может меняться от нуля - = 0. (23) + 1 2T до равновесного значения. Здесь предполагается, что процесс релаксации заряда протекает квазиравновесно.

Для того чтобы существовало решение этого уравнеЭто означает, что в неустойчивом положении имеет ния, необходимо место быстрый гидродинамический отклик на всякое ( - 1) медленное изменение поверхностного заряда в любой. (24) 1 +( + 1) момент времени. Используя характерные времена процесса, имеем условие квазиравновесности в виде s > 1.

Сравнивая (24) с условием устойчивости (20), нахоНа рисунке приведена зависимость критической надим, что единственной возможностью распространения пряженности поля от проводимости в соответствии волн является знак равенства в (24). Тогда волновое с выражениями (19), (20). Из результатов расчета видно, число такой волны определяется из (23) и равно что у реальных жидкостей пороговое значение напряженности всегда выше критического поля проводника, g k =. (25) определяемого (18). В то же время критическое поле T идеального диэлектрика, определяемое (17), оказываетЭто волновое число не зависит от поля и выражается ся недостижимым даже очень плохими проводниками.

Критерии (19), (20) определяют разные кривые возбу- только через капиллярную постоянную жидкости. Подждения неустойчивости. Пороговая напряженность спо- ставляя (25) в (22), находим условие распространения соба внезапной подачи напряжения всегда ниже напря- волн 3 + 2 - женности, соответствующей медленному повышению H <. (26) потенциала, причем в первом случае неустойчивость наступает при C < 1. Из последнего соотношения видно, что генерация Исследование возможности распространения волн незатухающих волн возможна только для жидкостей проведем для случая медленного повышения потенциала с >3.

Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. Генерация электрогидродинамических волн на границе раздела жидкость–вакуум Эксперимент и обсуждение Таблица 1.

Жидкость · 10-3, T · 103,,, µ · 103, Исследование дестабилизации поверхности жидкости g/ m3 N/ m -1 · m-1 Pa · s в различных режимах подачи напряжения проводилось в цилиндрической стеклянной ячейке. Высота уров1 0.88 28.9 2.28 10-16 0.ня жидкости регулировалась подвижным проводящим 2 1.59 27 2.24 4 · 10-16 0.заземленным дном. Потенциал подавался на плоский 3 0.88 29.8 2.25 10-12 17.электрод, расположенный в 0.5-2 cm от поверхности 4 0.88 24.8 4.87 5 · 10-7 0.жидкости с характерной напряженностью дестабилиза- 5 1.25 32.2 10.4 3 · 10-8 0.ции 20 kV / cm. Синусоидальные пульсации напряже- 6 0.95 36.8 36.7 1.8 · 10-6 1.ния источника составляют 5% от среднего значения.

Суммарная погрешность экспериментальных значений Таблица 2.

безразмерных величин не превышает 10%. В эксперименте измерялось напряжение, при котором с поверхЖидкость E20 · 10-6, H ности происходил выброс жидкости в виде струйки.

V/ m В режиме постепенного роста потенциал повышался 1 2.5 2.2 · 109 2.6 · 10-10 0.ступенчато со временем ожидания, соответствующим 2 2.9 4.7 · 108 1.2 · 10-9 0.времени релаксации заряда. При внезапной нагрузке 3 2.5 8.3 · 103 7.1 · 10-5 0.мгновенно подавался фиксированный потенциал и си4 1.9 0.36 2.6 0.стема выдерживалась в течение промежутка времени.

5 2.2 6.6 0.14 0.Если выброса не происходило, опыт повторялся при 6 2.0 9.2 · 10-2 12 1.большем потенциале после разрядки жидкости.

Наименьшее значение напряженности дестабилизации наблюдалось в режиме внезапной нагрузки. Напряженности режима постепенного повышения напряжения Из приведенного списка жидкостей способностью были выше на 5-20% для исследованных жидкостей, к генерации незатухающих волн обладает только дисвойства которых представлены в табл. 1.

хлорэтан. В эксперименте устойчивая двумерная сиВ качестве исследуемых жидкостей использованы:

стема стоячих волн на поверхности образуется при 1 — бензол, 2 — четыреххлористый углерод, 3 — транснапряженности поля, немного меньшей критической.

форматорное масло, 4 — бутилацетат, 5 — дихлорэтан, Этот эффект сильно зависит от чистоты жидкости.

6 — диметилформамид. В табл. 2 приведены результаты Небольшие примеси, повышающие проводимость, приизмерений для этих жидкостей. Параметры и H вычисводят к нарушению неравенства (26), и волны исчезают.

лены при критической экспериментальной величине E20 Хотя бутилацетат и диметилформамид имеют > 3, режима внезапной нагрузки. В пределах погрешности однако их параметры условию (26) не удовлетворяют значения () из табл. 2 согласуются с расчетными и незатухающие волны не генерируются.

данными рис. 1. Для позиций 4-6 из табл. 1 время реРабота выполнена при финансовой поддержке Российлаксации заряда сопоставимо со временем установления ского фонда фундаментальных исследований и Админинапряжения источника. Поэтому дестабилизация этих страции Калужской области (проект № 01-01-96002).

жидкостей происходит в промежуточном режиме между постепенным и внезапным включением напряжения. Тем не менее неустойчивость возникает в поле, близком Список литературы к порогу режима внезапного включения. Тот факт, что измеренная напряженность ниже порога, связан, веро[1] Френкель Я.И. // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. Вып. 4. С. 347.

ятно, с тем, что система реагирует на амплитудное [2] Копейкина Э.К. // Магнитная гидродинам. 1970. № 3.

значение поля, которое выше измеряемой эффективной С. 142–144.

[3] Melcher J.R., Smith C.V. // Phys. Fluids. 1969. Vol. 12. N 4.

величины.

P. 778–790.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.