WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 10 01 Преобразование плоской волны периодически нестационарной диэлектрической средой © Н.И. Слипченко, Л.Н. Шульга, О.Н. Рыбин Харьковский технический университет радиоэлектроники, 61726 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 30 октября 2000 г.) Рассмотрено точное решение задачи преобразования плоской монохроматической волны конечной во времени последовательностью прямоугольных периодических импульсов диэлектрической и магнитной проницаемостей. Решение рассматриваемой задачи осуществляется методом интегральных уравнений. Получены выражения для преобразованной компоненты электрического поля для любой точки пространственновременной области. Проведен анализ полученных выражений.

Введение чины периода, амплитуд импульсов и их длительности.

Предполагается, что длительность импульсов проницаемостей равны.

Большое практическое значение в теории волновых процессов занимает изучение параметрической модуля- В работе получены точные выражения для преобразоции сред. В частности, особый интерес представляет изу- ванной компоненты электрического поля, которые позвочение преобразования электромагнитных волн периоди- ляют вычислить ее величину в любой момент времени, в ческой модуляцией во времени параметров сред. Данно- любой точке пространства. Проведен анализ полученных выражений.

му вопросу в специальной научной литературе посвящен целый ряд работ [1–3]. Изменение, например, электрических и магнитных свойств среды, обусловленное изЭлектрическое поле менением ее диэлектрической и магнитной проницаемов ступенчато-периодической стями, в определенной спектральной области [4] можно нестационарной среде считать скачкообразным. Это обусловливает определенный теоретический интерес к вопросам исследования Пусть, начиная с момента времени t0 = 0, параметпреобразования электромагнитных волн модуляцией во ры безграничной среды начинают меняться во времени времени среды периодическими последовательностями по произвольному закону. Тогда, согласно [6], эволюция прямоугольных импульсов диэлектрической и магнитной электромагнитного поля в этой среде будет описываться проницаемостями.

интегральным уравнением Вольтерра второго рода Необходимо отметить, что анализ этих [1–3] и друt гих работ показывает, что аналитическое исследование преобразований волн периодически нестационарными E(t, x) =F(t, x) + dt dx K(t, t, x, x )E(t, x ), t > 0, средами, как правило, проводятся приближенно при не0 которых предположениях. Например, в работе [5] про(1) ведено приближенное аналитическое исследование прегде E(x, t) — электрическая компонента поля;

образования плоской волны гармоническим изменением K(t, t, x, x ) — ядро интегрального уравнения; F(t, x) — во времени проводимости полуограниченной области.

свободный член интегрального уравнения.

Анализ в данной работе проведен в приближении теории Интегральное уравнение (1) может быть решено мевозмущений, что ограничивает исследуемый диапазон тодом резольвенты [7] глубины модуляции малыми величинами. Кроме того, в t данной задаче модуляция параметров среды осуществлялась на бесконечном временном интервале, что, без- E(t, x) =F(t, x) + dt dx R(t, t, x, x )F(t, x ), t > 0, условно, является идеализацией. Поэтому представля0 ет интерес рассмотрение преобразования волн такими (2) средами, материальные параметры которых изменяются где R(t, t, x, x ) — резольвента уравнения (1).

периодически на конечном временном интервале. Если проницаемости в момент времени t0 = 0 изме няются скачком, то ядро и резольвента уравнения (1) В представленной работе получено точное решение задачи преобразования монохроматической электромаг- имеют разностный вид нитной волны в безграничной среде модуляцией во K(t, t, x, x ) =[1 - m2](t - t )(x - x ) времени диэлектрической и магнитной проницаемостей ограниченным набором прямоугольных периодических 1 - a2m- v0(t - t ) -|x - x |, импульсов. Набор импульсов имеет произвольные вели2a2m2 t 124 Н.И. Слипченко, Л.Н. Шульга, О.Н. Рыбин Преобразование плоской волны R(t, t, x, x ) = 1 - (t - t )(x - x ) mимпульсно-периодической нестационарностью безграничной среды 1 - a2m- v1(t - t ) -|x - x |, (3) 2 t Пусть E0(t, x) — плоская монохроматическая волна где m = µ0/µ1; a = 0/1; v1 = c/ 1µ1; 0 и единичной амплитуды E0(t, x) = ei(t-kx), k = /v0.

µ0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости неПодставляя E0(t, x) в формулы (5), получим выражения возмущенной среды (t < 0); 1 и µ1 — диэлектрическая для преобразованного электрического поля на первом и магнитная проницаемости возмущенной среды (t > 0);

периоде изменения параметров среды c — скорость света в вакууме; (t) — дельта-функция + E(t, x) =C1 ei(amt-kx) + C1 e-i(amt+kx), Дирака.

Пусть диэлектрическая, магнитная проницаемости 0 < t <1, (7) среды изменяются во времени по закону где N 1 - am ± C1 = am;

(t) =0 +(1 - 0) (t - (k - 1)T ) k=E(t, x) =A1ei(t-kx) + B1e-i(t+kx), 1 < t < T, (8) - (t - 1 - (k - 1)T ), где N 1 - a2m2 1 + am 1 - am A1 = e-i1 eiam1 - e-iam1, µ(t) =µ0 +(µ1 - µ0) (t - (k - 1)T ) 4am 1 - am 1 + am k=1 - a2m B1 = - ei1 sin(am1).

- (t - 1 - (k - 1)T ), (4) 2iam Подставляя выражения (4), (6)–(8) в формулы (5) и где 1 — длительность импульсов, 2 — их скважность, используя метод математической индукции, получим реT = 1 + 2 — период возмущения параметров среды.

куррентные соотношения, описывающие эволюцию элекМожно показать, что электрическое поле на любом трического поля на произвольном периоде изменения интервале 0 постоянства параметров среды определяется параметров среды, начиная со второго (n = 2,..., N) формулами + t E(t, x) = Cn + D+ ei(amt-kx) + Cn + D- e-i(amt+kx), n n En(t, x) =Fn(t, x) + dt dx Rn(t, t, x, x )Fn(t, x ), (n - 1)T < t <1 +(n - 1)T, (9) tn-1 где 1 am ± ti Cn = amBn-1e±i(n-1)(1am)T, n-Fn(t, x) =E0(t, x) + dt dx Ki(t, t, x, x )Ei(t, x ), 1 am i=1 D± = amBn-1e±(n-1)i(1±am)T ;

ti-1 - n (5) E(t, x) =Anei(t-kx) + Bne-i(t+kx), где E0(t, x) — функция первичного поля; Rn(t, t, x, x ) и Kn(t, t, x, x ) — резольвента и ядро интегрального урав- 1 +(n - 1)T < t < nT, (10) нения (1), структура которых не меняется с изменением где номера скача n параметров среды.

1 - a2mИз последнего утверждения и из структуры форAn = ei1 An-4am мул (3) нетрудно получить выражения для ядра и резольвенты произвольного интервала постоянства параметров 1 + am 1 - am среды. Так, на интервалах времени, где диэлектрическая eiam1 - e-iam1 - am 1 + am и магнитная проницаемости принимают новые значения ((n - 1)T < t <1 + nT, n = 1,..., N ), выражения для + 2iBn-1e-2i(n-1)T sin(am1), ядра и резольвенты будут определяться формулами (4), а на интервалах времени, где значения параметров среды 1 - a2mравны иx первоначальным значениям (здесь и далее Bn = - ei1 Bn-эти интервалы постоянства параметров среды будут 4am называться интервалами покоя), выражения для ядра и 1 - am 1 + am резольвенты будут иметь вид eiam1 - e-iam1 + am 1 - am 1 +(n - 1)T < t < nT, n = 1,..., N;

+ 2iAn-1e-2i(n-1)T sin(am1).

Kn(t, t, x, x ) =0 = Rn(t, t, x, x ). (6) Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Преобразование плоской волны периодически нестационарной диэлектрической средой Как видно из формул (7)–(10), модуляция параметров безграничной области приводит к расщеплению первичной монохроматрической волны на прямую и обратную монохроматические волны. Абсолютные значения волновых чисел новых волн совпадают с абсолютным значением волнового числа первичной волны, а амплитуды и частоты этих волн являются кусочно-постоянными функциями времени.

Рассмотрим теперь состояние поля в конце модулирующего пакeта из N импульсов как функцию количества импульсов n. Для этого необходимо провести анализ коэффициентов An и Bn. Перепишем выражения для этих коэффициентов в виде системы двух рекуррентных соотношений An+1 = e-int2 fAn - e-2int2hBn, Bn+1 = eint2 -he2int2An + f Bn, n = 1,..., N, (11) Рис. 1. Зависимость модуля амплитуды прямой волны An от относительного изменения диэлектрической проницаемости a где введены параметры, не зависящие от номера периода, для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды при m = 1.1, t1 = 1, t2 = 5; n = 3 (1), 4 (2), 5 (3).

e-i(t1-t2) f = 2q cos(amt1) +i(1 + a2m2) sin(amt1), 2am 1 - a2mh = ei(t1-t2) sin(am1).

2iam Вводя новые обозначения для амплитуд an = Aneint2, bn = Bne-int2, выражения (7)–(10) перепишем в матричном виде an+1 an = R, a1 = f, b1 = -h, (12) bn+1 bn где f -h R =.

-h f Используя метод математической индукции, перепишем рекуррентное матричное соотношение (12) в виде Рис. 2. Зависимость модуля амплитуды обратной волны Bn an+1 aот относительного изменения диэлектрической проницаемости = Rn.

bn+1 ba для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды при m = 1.1, t1 = 1, t2 = 5. 1–3 — то же, что и на Возведение матрицы в степень n дает [8], что рис. 1.

Rn = Un-1(Re ( f ))R - Un-2(Re ( f ))I, где Un(x) — многочлен Чебышева второго рода порядВ данной работе была проведена численная оценка ка n; I — единичная матрица.

амплитуд прямой и обратной волн для значений величин Раскрывая матричное соотношение (13), получим выa и m: 1, m 1. Эти расчеты показали, что ражения для амплитуд прямой и обратной волн на импульсно-периодическая модуляция диэлектрической и (n + 1)-м периоде изменения параметров среды магнитной проницаемостей среды может приводить к то му, что амплитуды прямой и обратной волн по абсолютAn+1 = e-(n+1)/it2 f + |h|2 Un-1(Re ( f )) ной величине становятся больше амплитуды первичной волны. Это превосходство может достигаться как за счет - Un-2(Re ( f )) f, времени изменения диэлектрической (рис. 1, 2), так и магнитной проницаемостей (рис. 3, 4).

Bn+1 = - he-(n+1)/it2 ( f + f )Un-1(Re ( f )) Важная особенность поведения амплитуд прямой и - Un-2(Re ( f )). (14) обратной волн при переходе от периода к периоду может Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 126 Н.И. Слипченко, Л.Н. Шульга, О.Н. Рыбин ной волны (т. е. исключая режим запирания обратной волны) приходим к рекуррентному соотношению для Fn -h + fFn Fn+1 =. (16) f - hFn Проведем анализ выражения (16). Для отношения на первом периоде имеем a1 f 2q ctg(am1) +i(1 + a2m2) F1 = = - = e-2i(1-T).

b1 h i(1 - a2m2) Выражение для квaдрата модуля этого отношения имеет вид 4a2m2 ctg2(am1) +(1 + a2m2)|F1|2 =. (17) (1 - a2m2)Рис. 3. Зависимость модуля амплитуды прямой волны An от относительного изменения магнитной проницаемости m для Поскольку 4a2m2 ctg2(am1) > -4a2m2, то |Fn| > 1.

разных количеств возмущающих импульсов параметров среды Как известно из теории конформных отображений [9], при a = 0.85, t1 = 1, t2 = 5. n = 3 (1), 4 (2), 5 (3).

дробно-линейная функция (16) переводит внешность круга единичного радиуса во внешность круга единичного радиуса. Отсюда следует, что если |F1| > 1, то |Fn| > 1 и подавно. Это означает, что амплитуда прямой волны всегда по модулю превосходит амплитуду обратной волны.

Заключение В настоящей работе рассмотрено преобразование плоской монохроматической электромагнитной волны конечным во времени импульсно-периодическим изменением диэлектрической и магнитной проницаемостей безграничной области. Показано, что преобразованное поле в любой точке положительной полуоси времени представляет собой сумму прямой и обратной монохроматических волн, абсолютное значение волновых чисел которых совпадают с абсолютным значением волнового числа первичной волны, а амплитуды и частоты являются кусочно-постоянными функциями времени. В интервале Рис. 4. Зависимость модуля амплитуды обратной волны Bn покоя параметров среды амплитуда прямой волны при от относительного изменения магнитной проницаемости m для некоторых значениях параметров среды и частоты перразных количеств возмущающих импульсов параметров среды вичной волны по модулю превосходит амплитуду обратпри a = 0.85, t1 = 1, t2 = 5. 1–3 — то же, что и на рис. 3.

ной волны. Численные исследования также показали, что в интервалах покоя параметров среды амплитуды образовавшихся волн по абсолютному значению могут превосходить амплитуду первичной волны.

быть определена исследованием отношений an+1/an и bn+1/bn при изменении числа n. Преобразуя матричные выражения (13), для этих отношений имеем равенства Список литературы an+1 h = f -, [1] Фелсен Л., Маркувин Н. Изучение и рассеяние радиоволн:

an Fn Пер. с англ. М.: Мир, 1978. Т. 1. 43 с.

[2] Аверков С.И., Болдин В.П. // Изв. вузов. Радиофизика. 1980.

bn+= f - hFn, (15) Т. 23. № 9. С. 1060–1066.

bn [3] Борисов В.В. Неустановившиеся электромагнитные волны.

где Fn = an/bn.

Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. 240 с.

Выполняя в (15) деление верхнего равенства на ниж- [4] Болотовский Б.М., Давыдов В.А., Рок В.Е. // УФН. 1978.

нее, в предположении неравенства нулю амлитуды обрат- Т. 126. С. 311–321.

Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Преобразование плоской волны периодически нестационарной диэлектрической средой [5] Harfoush F.A., Taflove A. // IEEE Trans. on Antennas and Propag. 1991. Vol. 39. N 7. P. 898–906.

[6] Нерух А.Г., Хижняк Н.А. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. Харьков:

НПО Тест-Радио, 1991. 280 с.

[7] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.:

Наука, 1976. 527 с.

[8] Born M., Wolf E. Principle of Optics. Oxford; London;

Edinburgh; New York; Paris; Frankfurt: Peargamon Press, 1964. 856 p.

[9] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.