WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 6 Краткие сообщения 01 Моделирование фликкер-шума с помощью дробного интегро-дифференцирования © С.Ш. Рехвиашвили Кабардино-Балкарский государственный университет, Нальчик, Россия e-mail: rsergo@mail.ru (Поступило в Редакцию 7 июня 2005 г.) В работе найдена связь между спектральной плотностью мощности фликкер-шума и дробной производной Римана-Лиувилля. Показано, что системы со спектром фликкер-типа могут „вычислять“ дробную производную от случайного стационарного процесса. Полученные результаты предложено использовать для моделирования фликкер-шума в электронных схемах. Метод реализован с помощью программы схемотехнического моделирования PSpice.

PACS: 05.40.Ca Из теории и многочисленных экспериментов извест- и дробной производной Римана–Лиувилля, которая явно, что на высоких частотах шум большинства элек- ляется ключевым понятием дробного исчисления [3,4].

тронных приборов имеет равномерный спектр, соот- Еще одним основанием для детального исследования данного вопроса являются результаты, полученные в ветствующий тепловому или дробному шуму. Однако работе [5]. В данной работе с помощью численного мопри понижении частоты ниже некоторого значения f 0 делирования обнаружена корреляция между решением (граничной частоты области белого шума) уровень шума системы уравнений Ланжевена, описывающих флуктуазначительно увеличивается. При этом частотная зависиции вблизи фазового перехода, и дробным интегралом мость спектральной плотности мощности шума имеет порядка 1/2.

вид 1/ f, где — некоторая постоянная, близкая к В настоящей работе показано, что дробная производединице. Граничная частота f для различных приборов 0 ная тесно связана со спектром фликкер-шума. На пракможет изменяться в довольно широких пределах (от 1 тике этот факт предлагается использовать для моделиродо 100 MHz). В настоящее время принято считать, вания низкочастотных шумов с помощью специальной что причиной низкочастотного фликкер-шума являются схемы замещения, которая вычисляет дробную произразличные „внутренние“ физические факторы, которые водную. Данный подход, кроме того, может позволить определяют работу данного прибора и носят необратипо-новому формулировать различные задачи, связанные мый характер. Так, например, в биполярных полупрос исследованием и моделированием низкочастотных шуводниковых структурах низкочастотный шум обусловмов в электронных схемах.

лен процессами генерации и рекомбинации носителей Рассмотрим электрическую схему на рис. 1. К входу заряда. В МОП-структурах фликкер-шум существенно схемы подключен источник белого шума (1), состоящий зависит от поведения носителей заряда вблизи границы из идеального источника тока I0 и резистора Rin. Спекраздела полупроводник-диэлектрик.

тральная плотность мощности шума (в данном случае Имеются различные численные и аналитические матеплового) определяется формулой Найквиста тематические модели для описания фликкер-шума. При этом есть все основания считать, что сам фликкер-шум Sin = 4kBTRin, (1) является результатом различных диссипативных кинетигде kB — постоянная Больцмана, T — шумовая темпераческих процессов, происходящих в системе [1]. Фенотура. В схеме имеется электронный блок с импульсной менологически наиболее адекватно эти процессы могут характеристикой вида быть представлены в виде так называемого динамического (временного) фрактала [1,2]. В различных задачах для A g(t, ) =, 0 < <1, (2) описания процессов, имеющих фрактальную структуру, 1t0 t используется специальный математический аппарат — формализм дробного интегро-дифференцирования [3].

где A, t0 и — параметры настройки блока Это связано с тем, что фрактальные функции не диффе- (эти параметры связаны между собой соотношением ренцируемы в обычном смысле. Таким образом, возни- g(t0, ) =A/t0), t — время. Отметим, что блок с имкает вопрос о возможной связи между фликкер-шумом пульсной характеристикой (2) обладает тем свойством, 124 С.Ш. Рехвиашвили где = t0 — безразмерная частота. Из выражения (6) можно видеть, что фаза не зависит от частоты. Однако она может уменьшаться от до /2 при увеличении показателя от 0 до 1. Дифференциатор представляет собой фильтр верхних частот. Выражение для его КЧХ kd() хорошо известно [6]. С учетом данного выражения и выражения (6) записывается КЧХ для всей схемы Рис. 1. Схема дробного интегро-дифференциального преобразователя.

k(, ) =kg(, )kd( ) =-|k(, )| exp(i( )).

2A |k(, )| = t 2, что при действии на его входе короткого -образного () 2 + импульса на выходе появляется сигнал, уменьшающийся со временем по степенному закону ( t-). Иными сло t(, ) = 1 - + arctg. (7) вами, блок обладает последствием и представляет собой систему с памятью. Напряжение в узле (2) определяется На рис. 2 сплошными линиями показана рассчитанная с помощью интеграла Дюамеля амлитудно-частотная характеристика (АЧХ) интегроt t дифференциального преобразователя при различных A Uin(t )dt значениях. Для простоты в расчетах предполагалось, Ug(t) = Uin(t )g(t - t, )dt =. (3) 1t0 (t - t ) что A = 1 и t0 =. Из графика видно, что АЧХ преоб0 разователя в области низких частот имеет характерный максимум, зависящий от. Его положение, найденное из Сигнал Ug(t) подается на дифференциатор (3), который условия экстремума АЧХ, дается следующей формулой:

состоит из конденсатора Cout и резистора Rout. Учитывая закон Кирхгофа для выходного тока и выражение (3), tдля выходного напряжения можно записать 0 =. (8) 1 - t dUg(t) A d Uin(t ) При увеличении частоты входного сигнала происходит Uout(t) = = dt 1dt t0 dt (t - t ) уменьшение реактивного сопротивления дифференциатора. Поэтому по отношению к высокочастотным составляющим коэффициент передачи всей схемы будет опреA (1 - ) = D Uin(t), = RoutCout, (4) 0t 1деляться коэффициентом передачи блока с импульсной tхарактеристикой (2). На рис. 2 этот факт иллюстрируют штриховые линии, которые определяют асимптотику на где (1 - ) — гамма-функция Эйлера, D — опе0t высоких частотах ( 0).

ратор дробного интегродифференцирования Римана– Лиувилля [3,4]. Из формулы(4) видно, что выходное напряжение определяется дробной производной порядка от входного сигнала. В связи с этим, схему на рис. 1, можно назвать дробным интегро-дифференциальным преобразователем.

Проанализируем спектральные свойства схемы. Комплексная частотная характеристика (КЧХ) блока с учетом импульсной характеристики (2) находится с помощью интеграла Фурье A exp(-it) kg(, )= g(t, ) exp(-it)dt = dt, 1t t- (5) где — частота. Производя интегрирование в (5), получаем Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики дробного kg(, ) =-|kg(, )| exp(ig()), интегро-дифференциального преобразователя (сплошные кривые) и блока с импульсной характеристикой g(t, ) (штрихо2A вые кривые). Для кривых с номерами 1, 2 и 3 параметр |kg(, )| =, g() = 1 -, (6) равен 0.7, 0.5 и 0.3 соответственно.

() 1- Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Моделирование фликкер-шума с помощью дробного интегро-дифференцирования Спектральная плотность на выходе схемы получается умножением входной спектральной плотности, определяемой формулой (1), на квадрат модуля функции передачи [7]. При 0 имеем 8A kBTRin Sout = |k(, )2|Sin =, (9) - где = 2(1 - ) — постоянная, лежащая в интервале от 0 до 2. Из формулы (9) следует, что дробный интегро- Рис. 3. Аналоговая схема решения дифференциального уравнения дробного порядка. Блок с символом „D“ означает дифференциальный преобразователь с подключенным дробный интегро-дифференциальный преобразователь.

к нему источником белого шума на высоких частотах имеет спектральную характеристику фликкер-типа.

Другими словами, рассматриваемая схема на частотах 0 преобразует истинный стационарный шум в помощью преобразования Лапласа в s-области. Для шум 1/ f -типа. Примечательным является также то, что получения требуемого вида АЧХ можно изменять ее наиболее характерная для фликкер-шума зависимость наклон и положение максимума на оси частот путем вида Sout -1 имеет место, если порядок дробной варьирования параметров t0, и, что позволяет производной равен 1/2. Эти свойства преобразователя использовать преобразователь при моделировании разуказывают на возможность его применения для моделиличных электронных устройств в качестве независимого рования низкочастотных шумов в различных электронисточника шума [7].

ных системах.

В заключение отметим, что анализ схем, содержаДля практической реализации схемы дробного щих дробный интегродифференциальный преобразоваинтегро-дифференциального преобразователя в работе тель, может сводиться к решению дифференциальных проводилось схемотехническое моделирование с испольуравнений дробного порядка. Подобные уравнения, как зованием интерпретатора SPICE [7]. Как и должно быть, известно, возникают в теории кинетических процессов аналитическое выражение (7) в точности воспроизводит во фрактальных средах [3]. Рассмотрим это на конкретрезультаты численного моделирования. Программа моном примере. Пусть имеется стохастическое дифференделирования приведена в приложении.

циальное уравнение дробного порядка (дробный аналог уравнения Ланжевена) SPICE-программа моделирования дробного интегро-дифференциального преобразователя D U(t) +bU(t) =F(t), (10) 0t Fractional Derivative Transform где U(t) — неизвестная функция, F(t) — случайная сила.param a = 1e-3 alfa = 0.(шумовое напряжение), b — некоторая постоянная. Это i0 1 0 ac 10u уравнение можно переписать в виде egta 2 0 laplace {v(1)} = {a/pwr(s,1-alfa)} rin 1 0 50k U(t) =D- (F(t) - bU(t)). (11) 0t rout 3 0 50k cout 2 3 2500u Уравнение (11) представляет собой интегральное урав.step param alfa list 0.3 0.5 0.нение Вольтерра 2-го рода, которое может быть решено.ac dec 100 0.1 1meg итерационным методом. Если b > 0, то схематически.noise v(3,0)iвычислительные итерации будут соответствовать нали.print noise inoise чию отрицательной обратной связи. Таким образом,.print ac v(3,0) vp(3,0) электрическая схема решения уравнения (10) приобре.probe тает вид, показанный на рис. 3.

.end Данное описание является универсальным в том смысле, Список литературы что его можно транслировать во внутренний формат различных интерактивных программ схемотехнического [1] Тимашев С.Ф. // Шумовые и деградационные процессы моделирования (например, Electronics Workbench или в полупроводниковых приборах (метрология, диагностиMicroCap). Кроме того, его можно оформить в виде отка, технология): Матер. докл. науч.-тех. семинара. М.:

дельного библиотечного компонента или макромодели.

МНТОРЭС им. А.С. Попова, МЭИ, 1999. С. 239–260.

В программе блок с импульсной характеристикой (2) [2] Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

задается в виде источника напряжения, управляемого [3] Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.:

напряжением. Его передаточная функция задается с Физматлит, 2003.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 126 С.Ш. Рехвиашвили [4] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.

Минск: Наука и техника, 1987.

[5] Коверда В.П., Скоков В.Н. // ЖТФ. 2000. Т. 70. Вып. 10.

С. 1–7.

[6] Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. М.:

Мир, 1982.

[7] Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.:

Наука, 1966.

[8] Разевиг В.Д. Применение программ P-CAD и PSpice для схемотехнического моделирования на ПЭВМ: Вып. 2, 3. М.:

Радио и связь, 1992.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.