WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 1998, том 68, № 11 01;05 Соотношения взаимности нелинейной проводимости фрактальных резисторов © А.А. Снарский, С.И. Буда Национальный технический университет Украины, 25205 Киев, Украина (Поступило в Редакцию 15 июля 1997 г.) Рассмотрены соотношения взаимности для проводимости неоднородных слабо нелинейных двухмерных сред конечных размеров.

Введение фазе с проводимостью 2. Аналогичное универсальное поведение проводимости имеет место и ниже порога проНелинейные свойства сильно неоднородных компози- текания, т. е. при <0. Для e также были установлены тов привлекают постоянное внимание (см., например, [1] универсальные соотношения типа (3), но, конечно, с и цитируемую там литературу). В частности, это связано другими критическими индексами [3]. Вопрос о том, с тем, что в таких средах распределение полей и токов какой размер таких сред, пользуясь терминологией сильно неоднородно, что вынуждает учитывать отклоне- И.М. Лифшица [4], считать репрезентативным, требует ния от закона Ома.

специального рассмотрения в каждом отдельном случае.

Для макроскопически неоднородных сред линейный Для двухфазных перколяционных сред закон Ома, в первом приближении по нелинейности a0| |-, (4) заменяется на где a0 — минимальный размер в системе (размер ”зерна” j(r) =(r)E(r) +(r)|E(r)|2E(r), (1) неоднородности), — критический индекс корреляционной длины [5].

где j(r) и E(r) — плотности электрического тока и Для образцов с размерами L < система является напряженность, (r) и (r) — удельная линейная и мезоскопической и измеряемые характеристики флукнелинейная электропроводности.

туируют от реализации к реализации. В этом случае В двухфазных средах, о которых речь пойдет ниже, электропроводности принимают значения 1, 1 и 2, 2 хорошо определенными физическими величинами являются средние по реализациям. Так как в перколяционных в первой и второй фазах соответственно. Будем рассмасистемах средние по реализации эффективные провотривать случай сильной неоднородности h = 2/1 димости {e} и {e} являются степенными функциями и слабой нелинейности (r)|E(r)|2 (r).

размера системы [5], то о таких системах говорят как Важнейшими характеристиками случайно-неоднородо фрактальных. В случае, когда вкладом одной из фаз в ной среды являются ее эффективные кинетические копроводимость всей системы можно пренебречь, наприэффициенты, в данном случае e и e, связывающие по мер, при > 0, 2 = 0, существует ”рецепт” [5] получеопределению средние по объему поля и токи ния зависимости средних по реализациям от размера L системы. Используя (4) вместо в e (3) подставляется j(r) = e E(r) + e E(r) E(r),...

=(L/a0)-1/, откуда =V-1... dV. (2) {e} 1(L/a0)-1/, > 0, (5) аналогично и для средних по реализациям других эффекПри характерном размере усреднения L V1/3, много тивных коэффициентов.

большем корреляционной длины, происходит самоВ случае h = 2/1 = 0 такой простой ”рецепт” усреднение параметров системы. Эффективная проводиуже не проходит [5]. А в случае неоднородных сред, но мость зависит от концентрации и, например, в случайноне вблизи порога протекания, когда нет универсальных неоднородные среды вблизи порога протекания [2] зависимостей типа (3), и для сред специальной структуt ры, когда понятие близости к порогу протекания вообще e 1, =(p -pc)/pc, > 0, (3) не определено, универсальных зависимостей типа (5) где p — концентрация фазы с проводимостью 1, pc — вообще не установлено. Тем не менее, как показано порог протекания, t — критический индекс проводимо- ниже, для определенного класса двумерных сред (в том сти. числе перколяционных) удается установить точные соотВыражение (3) справедливо асимптотически, когда ношения взаимности (СВ) для средних по реализациям.

0 и можно пренебречь протеканием тока по Эти СВ связывают между собой некоторые комбинации 122 А.А. Снарский, С.И. Буда средних по реализациям коэффициентов проводимости и аналогично для (r). Т. е. если обозначить первую и являются обобщением СВ для линейного случая в фазу черным цветом, а вторую белым, то дуальный средах с геометрически эквивалентным в среднем рас- образец будет представлять собой негатив первого, соотположением фаз, установленных впервые для L ветствующим образом изменятся и граничные условия, в [7,8]. определяющие набор контактов (рис. 1, b). При этом в дуальной среде будут выполняться те же уравнения (div j = 0, rot = 0), что и в начальной.

Вывод соотношений зависимости Усредняя преобразования (7), для полных токов и падений напряжения получим Рассмотрим неоднородный двумерный образец размером L L с единичной толщиной. Токи и падения I, =U,, U, =-1I,. (10) напряжений вдоль I, U и поперек I, U длинной стороны связаны между собой, согласно (2), линейными Применяя эти преобразования к (5), с точностью до и нелинейными кондактансами кубических членов приходим к I = G U + X U 3, I = GU + XU, (6) I, = G,, + X, 3, (11), при этом предполагается, что в первом случае на вертипричем кальные грани образца нанесены идеальные (с нулевым сопротивлением) контакты, а во втором контакты нане G, =2/G,, X, =-X, 4/G4. (12) сены на горизонтальные грани. Согласно [8], каждому, образцу неоднородной среды найдем соответствующий Из этих двух соотношений и будут следовать все дуальный образец результаты работы.

j =P/2, E =-1P/2 j, (7) где = 12, P/2 — оператор поворота в плоскости Соотношения взаимности среды на угол /2.

для случайно-неоднородных сред Далее мы будем полагать, что для локальных коэффиво фрактальной области циентов выполняется условие Если образец представляет собой часть случайно2/1 = -(2/1)2. (8) неоднородной среды и L = L, то G =G =e, G = G = e (напомним, что образец единичной В этом случае легко показать, что подстановка (6) в толщины). Из (12) тогда следует соотношение взаим(1) приведет с точностью до кубических по полю членов ности Дыхне [8] ee = 12. Так как для случайно к среде с тем же локальным законом неоднородных сред e(p) = e(1 - p), то последнее можно записать как e(p)e(1 - p) =12.

j(r) = e (r) + e (r) (r), (9) При L < необходимо усреднение по реализации.

но с взаимной заменой фаз: если (r 01) = 1, Перейти от (12) к средним по реализациям можно (r 02) = 2, то (r 01) = 2, (r 02) = 1, несколькими способами. В частности из первого соотношения в (12) следует, что [9] {G, }/{R,} = 12, (13) где R, = 1/G, — сопротивление образца.

При L = L и p = pc образцы вырезаны из среды на пороге протекания и каждый из них, естественно фрактален, средние по реализациям основной и дуальной среды совпадают. Тогда из (13) получаем [7] {G}/{R} = 12, L = L, p = pc. (14) Еще одно СВ для линейной части кондактанса можно получить, если перед усреднением по реализациям прологарифмировать (12). Учитывая, что при L = L и p = pc {ln G} = {ln G }, получаем Рис. 1. Неоднородный образец конечных размеров (a) и дуальный образец, полученный из первого при взаимной замене {ln G} = ln 12, L = L, p = pc. (15) фаз 1 2, X1 X2 (b).

Журнал технической физики, 1998, том 68, № Соотношения взаимности нелинейной проводимости фрактальных резисторов Аналогичные, но более сложные СВ можно записать и для нелинейной части кондактанса. В частности, из (12) следует X X X X (16) = -, = -, G2 G2 G2 G что после усреднения по реализациям дает X X X X = - G2, G2 = - G2. (17) G Заметим, что (17) для L = L и p = pc дает X X X =- и, следовательно, = 0. (18) G2 G2 GРассмотрим теперь случай, когда один из размеров образца по-прежнему меньше корреляционной длины, а другой много больше — L, L — случай длинной полоски. Несмотря на то что один из размеров меньше корреляционной длины, усреднения по реализациям случайно-неоднородной среды не требуется. {G } = G, где G — кондактанс данной реализации, и аналогично для других кондактансов. Для полоски, вырезанной из среды на пороге протекания, кроме того, выполняется G = G, X = X,... и из (12) можно получить G G =2, X /X =-(G /G)2, L, L. (19) Таким образом, несмотря на то что и линейные и нелинейные кондактансы являются степенными функциями L, некоторые их комбинации, в частности (19), не зависят от размера L.

Соотношения взаимности для детерминированных структур При размерах, меньших корреляционной длины, кондактансы отдельных реализаций случайно-неоднородной среды не представляют, вообще говоря, интереса. Однако для некоторых сред с детерминированной неоднородностью, обладающей определенной симметрией, СВ данной реализации могут быть содержательны. На рис. 2 приведены неоднородные образцы, обладающие симметрией относительно поворота на /2 и взаимной замены фаз. В Рис. 2. Двухфазные дуальные структуры. При взаимной случае такой симметрии G = G, X = X и дуальная замене фаз и повороте на /2 сопротивление образца остается среда имеет те же кондактансы, что и основная. Из (12) неизменным.

при этом следует, что G = 12, X = 0. (20) одной фазы точно компенсируется сублинейностью друНапомним, что рассматривается случай, когда локальгой. Нелинейный локально образец в целом обладает ные кондактансы удовлетворяют условию (8). Если, линейной ВАХ.

например, в первой фазе 1 > 0 (суперлинейная ВАХ), то во второй 2 < 0 (сублинейная ВАХ). Таким обра- Интересно также рассмотреть случай длинной полосзом, в рассматриваемых структурах суперлинейность ки с детерминированной неоднородностью. На рис. 3, a Журнал технической физики, 1998, том 68, № 124 А.А. Снарский, С.И. Буда Список литературы [1] Yu K.W., Hui P.M. // Phys. Rev. 1994. Vol. B50. P. 13 327;

Zhang X., Stroud D. // Phys. Rev. 1994. Vol. B49. P. 944.

[2] Efros A.L., Shklovskii B.I. // Phys. St. Sol. 1976. Vol. B76.

P. 475.

[3] Stroud D., Hui P.M. // Phys. Rev. 1988. Vol. B37. P. 8919;

Rammal R., Tannous C., Tremblay A.-M.S. // Phys. Rev.

1985. Vol. A31. P. 2662; Морозовский А.Е., Снарский А.А. // ЖЭТФ. 1985. Vol. 95. P. 1844; Bergman Levy and D.J. // Phys.

Rev. 1994. Vol. B50. P. 3652.

[4] Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982.

[5] Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation Theory.

2nd ed. London: Taylor & Francis, 1992.

[6] Морозовский А.Е., Снарский А.А. // ЖЭТФ. 1996. Т. 109.

Рис. 3. Плоскослоистая (a) дуальная структура с синусоидальС. 674.

ным разделом фаз (b).

[7] Keller J.B. // J. Appl. Phys. 1963. Vol. 34. P. 991. J. Math. Phys.

1964. Vol. 5. P. 548.

[8] Дыхне А.А. // ЖЭТФ. 1970. Vol. 59. P. 110.

[9] Витлина Р.З., Дыхне А.М. // ЖЭТФ. 1991. Vol. 99. P. 1758.

показано слоисто-неоднородная среда, для которой не составляет труда подсчитать кондактансы вдоль и поперек неоднородности. С точностью до малых более высокого порядка по нелинейности G = G(y) ; X = X(y) ; G = 1/ 1/G(y) ;

X = X(y)/(G(y))4 / 1/G(y). (21) С другой стороны, взаимная замена фаз в рассматриваемом плоско-слоистом образце не меняет кондактансов G = G,... и, согласно (12), G G = 12, X /X = -(G /G)2. (22) Легко показать, что учет в (21) условия (8) и подстановка последних в (22) приводит к тождеству.

Еще один пример неоднородной полоски приведен на рис. 3, b — двухфазная пленка с ”шероховатой” границей раздела фаз. Если граница обладает такой симметрией, что взаимная замена фаз не приводит к изменению кондактансов, то для такого образца выполняются СВ (22). Для произвольных размеров L граница раздела фаз может иметь, например, форму синуса, с периодом, целое число раз укладывающимся на этой длине. Форма границы может быть и случайной. Впервые границы такого типа были введены при исследовании отражения электромагнитных волн от поверхности с мелким рельефом. В [9] для эффективной диэлектрической проницаемости было получено соотношение, аналогичное первому в (22).

Работа частично поддержана РФФИ № 97-02-16923a.

Журнал технической физики, 1998, том 68, №




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.