WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 7 01 О задаче вычислительной векторной гравиметрии © А.С. Девятисильный Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, 690041 Владивосток, Россия e-mail: devyatis@iacp.dvo.ru (Поступило в Редакцию 18 ноября 2005 г.) Для технического обеспечения векторной задачи наземной гравиметрии, формируемой в рамках инерциального метода, предлагается использовать неуправляемую приборную платформу, что позволяет процесс решения задачи сосредоточить в вычислительной среде. Представлены оценки разрешимости и точности решения задачи, полученные в ходе вычислительного эксперимента.

PACS: 04.80.Cc Сильнейшим землетрясениям, как показывает опыт лительной среде которой формируется и виртуальный их изучения [1], сопутствуют заметные (до 0.001 m/s2) образ приборного трехгранника.

возмущения напряженности гравитационного поля Именно в рамках указанной концепции ИНМ интер(GR-поля), которые проявляются в течение несколь- претируется рассматриваемая здесь задача гравиметрии, ких месяцев как до, так и после землетрясений на что и определяет ее как задачу вычислительной векторной гравиметрии (ВВГ).

расстоянии до 100 km от эпицентров. При анализе Определившись с генезисом задачи ВВГ перейдем к ее таких возмущений как предвестников землетрясений формальному описанию, используя в качестве исходных немаловажное значение приобретает информация об их горизонтальных компонентах [1], что актуализирует про- модельные представления из [2,7]. Тогда эволюционная часть модели ВВГ (в малом) принимает следующий вид:

блему пространственной, или векторной, гравиметрии.

Соответствующая задача обсуждалась в [2] в рамках Dikqk = pi + Qikk, qi(0) =qi,0, метода инерциальной навигации (ИНМ) при погружении ее в задачу наземной выставки инерциальной навигаDik pk = Gi(q) + f + Pikk, pi(0) = pi,0, i ционной системы (ИНС); по сути — это проблемноDikk = i, i(0) =i,0, (1) ориентированная интерпретация одной из двух фундаментальных задач динамики, а именно первой (по [3]), а условия (в малом) на траектории (точнее, в точке на или обратной (по [4,5]) — определение сил по заданной поверхности Земли) как результат использования дополтраектории.

нительной по отношению к инерциальной информации В настоящей работе в контексте обозначенной онто(полагаем, что ее источником является спутниковая логии приводятся новые положения и результаты вычиснавигационная система, СНС) вид лительного эксперимента, развивающие представления о q векторной гравиметрии как об инструменте и предмете Jq = qi + Qikk + i, i исследования.

p Ji = pi + Wikk + ip. (2) Начнем с методологического аспекта задачи, так как именно им и определяется название этой статьи в части В уравнениях (1) и (2) q =(qi), p =( pi), G(q) = применения прилагательного „вычислительная“. Как из=(Gi (q)) — соответственно вариации векторов повестно, современная концепция ИНМ ориентирована на ложения (q), импульса (p) и напряженности GR-поля, развитие так называемых бесплатформенных ИНС [6], G(q); =(i) — вектор малого угла поворота виртуальгде приборному координатному трехграннику (обознаного (расчетного) координатного трехгранника относичим его oy = oy1y2y3), в осях которого выполняются тельно физически реализуемого приборного трехгранниинерциальные измерения (с помощью гироскопов и нью- ка oy; f =( f ) и =(i) — векторы инструментальных i тонометров), не предписывается какая-либо выделенная погрешностей инерциальных измерителей (ньютонометориентация (для сравнения, например, в [2] говорилось ров и гироскопов); Dik = ikd/dt - ik — оператор о географической ориентации oy). Это означает, что из абсолютного дифференцирования; ik = -ei jkj; ik и процесса решения навигационной задачи исключаются ei jk — символы соответственно Кронекера и Леви– обладающие известной грубостью электромеханические Чивита; =(i) — вектор угловой скорости врапреобразования, осуществляемые системой управления щения Земли в проекциях на оси трехгранника oy;

q платформой как твердым телом. Таким образом, весь Qik = ei jkq ; Pik = -ei jk pj; Wik = eimkQms s ; q =(i ) j процесс обработки инерциальной информации, с кото- и p =(ip) — векторы инструментальных погрешноq рым отождествляется процесс решения задачи, оказыва- стей СНС-измерений, причем ip = - ikk. Все нижние ется сосредоточенным исключительно в ЭВМ, в вычис- индексы принимают (если нет специальных оговорок) 122 А.С. Девятисильный значения n = 1, 2, 3, и для них действует правило Эйн- облегчает исследование разрешимости задачи в вычисштейна (суммирование по повторяющимся индексам). лительных средах с различной точностью (1) представОбратимся теперь к интерпретации G(q) —важней- ления чисел.

шей части модели (1), определяющей суть и цели всей При решении задачи (3) возможна реализация двух задачи ВВГ. Если G и G — истинная напряженность типов оценки — точечной, связанной с псевдообра GR-поля и ее модель, то g = G - G — аномалия, щением оператора H (например, при использовании подлежащая определению. Тогда, полагая, что на вре- МНК), и реккурентной, по сути требующей пошагоменном интервале наблюдения G не изменяется, есть вого псевдообращения оператора h(k). Последняя мовсе основания принять G(q) =g = const.

жет быть выполнена на базе дискретной калмановской Заметим, что в [2] исходным было представление вида процедуры [8], если модель (3) формально дополнить G(q) =(G/q)q + g, g = const, где первое слагаемое уравнением „эволюции“ x(k + 1) =x(k).

(G q) сохраняло традиционный для метода (навигациВ соответствии с вышеизложенным для оценки эффеконный) характер задачи в том числе и возможные анативности предлагаемого инерциального метода гравилогии с баллистически невозмущаемыми системами [7].

метрии значительная роль была отведена вычислительВновь введенное представление G(q) =g = const исному эксперименту, целью которого были исследование ключает возможность указанных аналогий, определяет корректности математической модели рассматриваемой собственное „лицо“ рассматриваемой (наземной) задачи физической задачи и оценка точности ее решения с ВВГ, но вместе с тем не выводит ее за рамки ИНМ.

учетом существующих возможностей технологий инерПринимая во внимание только что изложенное, уравциальных и спутниковых измерений.

нения (1) должны быть дополнены условиями i = 0, Ниже приводятся результаты численного экспериgi(0) =gi,0, i = 1, 2, 3.

мента, имитирующего процесс ВВГ на географической Дальнейшее расширение модели ВВГ связано с опишироте места = 45. Они достаточно полно характесанием погрешностей f и, относительно которых ризуют метод.

примем, что они являются случайными марковскими Прежде всего отметим невысокую степень разрестационарными процессами первого порядка с коэффишимости задачи, характеризуемую числом обусловленциентами сноса и диффузии, характеризуемыми парами:

ности µ оператора H, которое достигает значения (if, if ), i = 1, 2, 3 — для ньютонометров и (i, i), µ 1013. Таким образом, при погружении задачи в станi = 1, 2, 3 — для гироскопов.

дартную вычислительную среду с небольшой относиТаким образом, задача оценки вектора g (dim g = 3) тельной точностью 1 10-16-10-19 либо происходит погружена в расширенную задачу оценки совокупнопотеря устойчивости решения (что особенно заметно сти векторов {q, p,, g, f, } общей размерности при МНК-решении), либо наблюдается весьма заметное dim = 18.

сдерживание улучшения его качества (точности) при Переходя к алгоритмическому аспекту решения расповышении точности измерений (что проявляется при ширенной задачи, приведем ее модель „состояние– калмановском решении).

измерение“ к виду, характерному для задачи метода На рис. 1 представлены графики эволюции значений наименьших квадратов (МНК), а именно:

погрешностей ( gi, i = 1, 2, 3) оценок компонент вектора g, а на рис. 2 — соответствующих им (i g, i = 1, 2, 3) J(k) =h(k)x + (k), k = 0, N, (3) значений среднеквадратических погрешностей (СКП).

где k — индекс момента времени измерений, так что tk+1 = tk + h, h = const; x — вектор состояния (dim x = 18) процесса, описываемого расширенным уравнением (1), в выделенный, вообще говоря, произвольный, момент времени t (далее примем t = t0); J(k) =J(tk) — вектор измерений (2) в k-й момент времени (dim J(k) =6); h(k) — оператор (dim h(k) =6 18), вычисляемый с любой заданной точностью, благодаря тому что фундаментальная матрица решений для расширенного эволюционного уравнения (1) представима матричной экспонентой; (k) — вектор случайных возмущений (dim (k) =6), порождаемый погрешностями инерциальных измерерителей и СНС.

Модель (3) удобна тем, что ее полный оператор H =(h(k)), k = 0, N (dim H = 6(N + 1) 18) непорсредственно доступен для сингулярного анализа, что Рис. 1. Погрешности оценивания: 1 — g1, 2 — g2, 3 — g3.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. О задаче вычислительной векторной гравиметрии [4] Суслов Г.К. О силовой функции, допускающей данные интервалы. Киев, 1890.

[5] Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М., 1981.

[6] Inertial Navigation: Analysis and Design / Ed. by C.F. O’Donnell. New York: Mc-Graw-Hill, 1964.

[7] Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Корректируемые системы. М.: Наука, 1967. 648 с.

[8] Meditch J.S. Stochastic Optimal Linear Estimation and Control.

New York: Mc-Graw-Hill, 1969.

Рис. 2. Среднеквадратические значения погрешностей:

1 — 1 g, 2 — 2 g, 3 — 3 g.

Численное моделирование задачи выполнено при 1 = = 10-16 для отражающих реальные возможности современных технологий значений параметров точности инерциальных и СНС-измерителей, а именно: i = 0.001/h, i = 10-3 s-1, if = 0.001 m/s2, if = 10-2 s-1, i = 1m, i = 1, 2, 3. В качестве алгоритма решения выбран фильтр Калмана, реализованный на базе модели, описанной ранее. Достигнутая точность оценки аномалии в этих условиях равна 10-6 m/s2; кроме того, что также показал эксперимент, достигнутая при этом точность оценки взаимной ориентации виртуального и приборного трехгранников характеризуется значением 10-5 rad.

Как видно из представленных результатов численного эксперимента даже при сравнительно невысоких (по крайней мере, выполняемых в настоящее время) требованиях к измерителям в рассматриваемой задаче достаточно высокой размерности можно получать вполне приемлемые по точности оценки локальной напряженности гравитационного поля.

Таким образом, в работе предложен новый метод устойчивого решения задачи пространственной гравиметрии на неуправляемой измерительной платформе, свободный, следовательно, от электромеханических преобразований и ориентированный на полное погружение задачи в высокопроизводительную вычислительную среду. Предложенные результаты численного эксперимента свидетельствуют о прикладной перспективе метода.

Список литературы [1] Иванов В.В. // Измерение гравитационных аномалий при сильнейших землетрясениях / Под ред. В.Н. Храмушина.

Владивосток: ДВО РАН, 2005. Вып. 1. С. 60–68.

[2] Девятисильный А.С. // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 7.

С. 140–142.

[3] Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции.

М.: Наука, 1987. 320 с.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.