WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 7 01;04;10 Уравнения переноса и условие динамического равновесия релятивистского электронного пучка, распространяющегося в плотных и разреженных газоплазменных средах продольно внешнему магнитному полю © Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов Санкт-Петербургский государственный университет Научно-исследовательский институт математики и механики им. В.И. Смирнова, 198504 Санкт-Петербург, Россия e-mail: Kolesnikov evg@mail.ru (Поступило в Редакцию 29 октября 2004 г.) С помощью кинетического уравнения для параксиального релятивистского электронного пучка, распространяющегося в плотных и разреженных газоплазменных средах продольно внешнему магнитному полю, получены уравнения переноса массы, импульса и энергии частиц поперечного сегмента пучка. Найдено вириальное уравнение, а также сформулировано условие динамического равновесия, обобщающее для рассматриваемых случаев известное условие Беннета.

Введение в виде совокупности тонких поперечных сегментов S, каждый из которых инжектируется в момент времени В последние годы повышенное внимание исследовате- t = (при z = 0) и содержит фиксированное число лей привлекает изучение транспортировки релятивист- частиц.

ских электронных пучков (РЭП) в плотных и разре- Как показано нами в [12], в параксиальном приближенных газоплазменных средах [1–20]. Особое место жении продольное движение частиц пучка в любом в комплексе проблем, связанных с распространением сегменте S является детерминированным. В отличие РЭП в указанных средах, занимает вопрос о попереч- от продольного движения поперечная динамика частиц ной динамике рассматриваемых пучков. В работе [12] носит стохастический характер, и состояние пучка в нами сформулировано кинетическое уравнение, описыфазовом пространстве поперечных координат r и повающее эволюцию функции распределения частиц попе- перечных импульсов p может быть охарактиризовано с речного сегмента параксиального моноэнергетического помощью функции распределения f (r, p, t). В соотаксиально-симметричного релятивистского электронно- ветствии с [5,12] в условиях, когда столкновения частиц го пучка (РЭП), распространяющегося в плотных и раз- пучка с нейтральными частицами газоплазменной среды реженных газоплазменных средах продольно внешнему приводят к многократному рассеянию на малые углы, однородному стационарному магнитному полю. Целью а также в предположении об изотропности и упругом настоящей работы является получение на основе укахарактере рассеяния временная эволюция функции рас занного кинетического уравнения уравнений переноса пределения f (r, p, t) частиц сегмента S описываетмассы, импульса и энергии, а также уравнений вириала и ся уравнением условия динамического равновесия. Сформулированные f p нами уравнения обобщают аналогичные уравнения для + f + -e(0 - µAz ) t m РЭП, распространяющегося в плотной газоплазменной среде в отсутствие внешнего магнитного поля, полуmS ченные в работе [5] на случай транспортировки РЭП в + bp iz p f = f. (1) p продольном однородном магнитном поле как в плотной плазме, так и в разреженной плазме в режиме ионной В уравнении (1) коэффициент µ определен соотношефокусировки (ИФ).

нием 1 - c µ = 1 -, (2) 2(1 - m) Постановка задачи где = vz /c (vz — продольная компонента скорости Рассмотрим аксиально-симметричный квазистацио- частиц пучка, которая полагается одинаковой у всех нарный пучок релятивистских электронов с осью сим- частиц пучка в силу параксиальности и моноэнергеметрии z, инжектируемый в однородную газоплазмен- тичности РЭП; c — скорость света); c и m — ную среду при наличии направленного вдоль оси z од- соответственно коэффициенты зарядовой и мганитной нородного стационарного магнитного поля с индукцией (токовой) нейтрализации пучка; 0 — заданный потенB = B0iz, где iz — орт указанной оси. Представим пучок циал электрического поля ионного фона (в режиме ИФ).

120 Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов В соответствии с изложенным в работе [12] при транс- При получении уравнений переноса будем предполапортировке в плотной плазме коэффициентам c и m гать, что область ненулевых значений функции распре могут быть приписаны заданные постоянные значения, а деления f в пространстве поперечных импульсов сопотенциал 0 = 0. В то же время при транспортировке держится в ограниченной области с границей, т. е.

РЭП в режиме ИФ постоянные c и m имеют нулевые f 0. (7) значения, а потенциал 0 не равен нулю. Другие величиp ны в (1) имеют следующий смысл: =(1 - 2)-1/2 — Кроме того, воспользуемся теоремой Грина лоренц-фактор частиц пучка; m и e — соответственно масса покоя и заряд электрона; b = |e|B0/(mc) — u v гирочастица пучка во внешнем магнитном поле; S — (v u - u v)dx = v - u dS (8) n n средняя скорость изменения кинетической энергии по перечного движения частиц пучка в результате мно(где — граница области Rn; dS — элементарная гократного кулоновского рассеяния частиц РЭП на площадка поверхности, которой приписано направлеатомах и молекулах фонового газа, рассматриваемая ние положительной нормали n), а также интегральными как заданная характеристика рассеивающей среды и соотношениями пучка [5,12,21–23]. Наконец, Az — z -компонента векторного потенциала коллективного электромагнитного поля (vu + uv)dx = uvn dS, (9) пучково-плазменной системы, которая в рассматриваемом случае параксиального квазистационарного пучка удовлетворяет уравнению (vw + w v)dx = vw n dS, (10) Az = - (1 - m)Jbz, (3) c являющимися соответственно следствиями теоремы о где Jbz — z -компонента плотности тока пучка.

градиенте и теоремы Гаусса-Остроградского.

Введем в рассмотрение радиус экранировки самосогласованного электромагнитного поля фоновой плазУравнение непрерывности мой Rc, т. е. предположим, что Проинтегрируем кинетическое уравнение (1) по про0 rR = Az rRRc 0. (4) c странству поперечных импульсов. В результате получим Решение уравнения (3), удовлетворяет граничному p условию (4), имеет вид f dp + f dp t m Az = - Ib(1 - m) - e(0 - µAz ) p f dp c |r - r | dr ln dp f (r, p, t). (5) f f mS Rc + b py - px dp= f dp, p px py (11) С учетом соотношения (5) уравнение (1) может быть где p = px ix + py iy (ix iy = iz ).

рассмотрено как интегродифференциальное уравнение Прежде всего отметим, что для функции распределения частиц сегмента пучка f (r, p, t), которое должно решаться при начальном p p условии f dp = (r, t), f dp =. (12) m m f (r, p, t) t= = f (r, p, ), (6) Сучетом (7) и (9) имеем где f (r, p, ) — заданная функция распределения частиц пучка по поперечным координатам и импульсам p f dp = n f dSp 0, (13) на выходе из инжектора.

а в силу (7) и (10) получим Уравнения переноса f f py - px dp px py Из уравнения (1) могут быть получены уравнения для первых моментов функции распределения f (r, p, t), = - f p w1(p)dp 0, (14) которыми определяются основные макроскопические ха рактеристики пучка: масса, импульс, энергия (так называемые уравнения переноса). где w1 = pyix - px iy, причем p w1 0.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Уравнения переноса и условие динамического равновесия релятивистского электронного пучка... Наконец, с учетом (7) и (8) имеет место соотношение Наконец, с учетом (7) и (8) получим f f px f dp = dS 0. (15) px f dp = px - f dSp 0.

p p n n n (22) Подставляя (12)-(15) в (11), получим уравнение Подстановка (19)-(22) в уравнение (18) дает непрерывности p px px p + = 0, (16) + t m t m где (r, t) — плотность частиц пучка в сегменте S, + e (0 - µAz ) - b py = 0. (23) определяемая интегралом в первой формуле (12);

x Далее, умножая уравнение (1) на py и интегрируя по p(r, t) = p f dp (17) поперечным импульсам p, после аналогичным преобразованием получим — средний поперечный импульс частиц пучка в сегменте S.

py py p + Заметим, что, поскольку в (16) p/(m) = ( — t m средняя поперечная скорость частиц РЭП), уравне ние (16) представляет собой обычное уравнение непре+ e (0 - µAz ) - b px = 0. (24) y рывности, выражающее закон сохранения числа частиц рассматриваемого сегмента пучка.

Уравнения (23) и (24) могут быть записаны в виде векторного уравнения Уравнение переноса импульса p pp + t m Умножим кинетическое уравнение (1) на px и проинтегрируем полученное выражение по поперечным им + e(0 - µAz ) + b(iz p) =0. (25) пульсам p. Тогда получим Преобразуем теперь уравнение (25) к виду, допускаю px p щему простую физическую интерпретацию. Представим px f dp + f dp t m поперечный импульс p в виде p = p + p. (26) - e(0 - µAz ) pxp f dp Тогда имеем f f ( pp) = ( pp) + b px py - px dp px py + ( pp) +2 ( pp). (27) mS = px f dp. (18) p Как следует из (26), верно равенство p = 0. Кроме Рассмотрим интегралы в левой и правой частях урав- того, можно записать нения (18) pp = m pv f dp = mP, (28) pxp px p px f dp = px; f dp =. (19) где m m P = (p - p)(v - v) f dp (29) Сучетом (7) и (9) имеем — тензор напряжений.

px p f dp = - f p pxdp Наконец, первый член в правой части (27) запишем в виде = - f ixdp = -ix, (20) ( pp) = p (p) +(p )p. (30) Тогда с учетом (27)-(30), а также уравнения непреа в силу (7) и (10) находим рывности (16) и соотношения p = mv из (25) получим уравнение f f px py - px dp px py + v p t = w2(p) p f dp = - f p w2dp P = - + e Eef + (v B0), (31) c = - py f dp = - py, (21) где Eef = -(0 - µAz ) — поперечная компонента где w2(p) =px py ix - p2ty, причем p w2 = py. напряженности эффективного электрического поля.

x Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 122 Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов Отдельные члены (31) могут быть интерпре- Наконец, с учетом (7) и (8) и соотношения p2 = p тированы следующим образом. Левая часть (31): получим (/t + v )p = dp/dt — полная производная импульса p вдоль траектории частицы пучка, движу- p2 f dp = 4 f dp = 4. (37) p щейся со скоростью. Первое слагаемое в правой части (31) — гидродинамическая сила, обусловленная Подставляя (33)-(37) в (32), получим уравнение наличием разброса частиц пучка по поперечным импереноса энергии пульсам, а второе слагаемое — электромагнитная сила, действующая со стороны эффективного электрического pполя Eef и внешнего магнитного пучка.

p p= - t 2m 2mУравнение энергии ep 1 d p - (0 - µAz ) - + S. (38) Умножим кинетическое уравнение (1) на p2 /(2m) и m dt 2m проинтегрируем полученное выражение по пространству поперечных импульсов. Тогда, учитывая явную завиПервый член в правой части уравнения (38) хараксимость лоренц-фактора частиц пучка от времени, теризует скорость изменения средней энергии поперечполучим ного движения частиц единичного объема сегмента S, связанного с наличием потока энергии с плотностью p2 1 d p f dp + f p t 2m dt 2m p p2 v p q = =. (39) p p2 2m22 2m + f dp 2mВторой член в правой части (38) может быть записан в виде p - e(0 - µAz ) p f dp 2m ep - (0 - µAz ) =j Eef, (40) b f f m + p2 py - px dp 2m px py где j = ep/(m) =ev.

S Как видно из (40), этот член характеризует скорость = p2 f dp. (32) p изменения энергии поперечного движения, обусловленного работой сил, действующих на частицы пучка со Рассмотрим интегралы, входящие в уравнение (32).

стороны самосогласованного электромагнитного поля.

Отметим, что интегралы Наконец, последние члены в правой части (38) характеризуют скорости изменения энергии поперечного p2 p f dp =, (33) движения, вызываемого соответственно неупругими и 2m 2m упругими столкновениями частиц пучка с частицами среды.

p p2 p p2 v p В заключение отметим, что описанная процедура f dp = =. (34) 2m22 2m22 2m легко может быть обобщена на случай, когда область С учетом (7) и (9) и соотношения p = 2p полу- ненулевых значений функции распределения f в про чим странстве поперечных импульсов является неограни ченной, но f достаточно быстро стремится к 0 при p2 1 p p f dp = - p f dp = -, p 0. При этом интегрирование в (11), (18) и (34) 2m m m производится сначала по ограниченной области с (35) использованием интегральных соотношений (8)-(10), а в силу (7) и (10) имеем а затем осуществляется переход к интегрированию по f f пространству поперечных импульсов как предельный p2 py - px dp px py переход при удаляющейся на бесконечность границе в области. Нетрудно убедиться, что эта процедура приводит к уравнениям переноса (16), (25) и (38) тогда = w3(p) p f dp и только тогда, когда функция распределения f с ростом p убывает быстрее, чем 1/p4. В этом случае = - f p w3(p)dp = 0, (36) все интегралы по при обращаются в 0, а все интегралы по пространству поперечных импульсов где w3(p)=p2 pyix - p2 px iy, причем p w3(p) 0. оказываются сходящимися.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Уравнения переноса и условие динамического равновесия релятивистского электронного пучка... Уравнение вириала. Интеграл среднего Подставляя (48) и (44) с учетом (45) и (48) в (41), получим уравнение обобщения углового момента. Условие d m dRдинамического равновесия E - = V, (49) dt 8 dt Умножим уравнение переноса импульса (уравнегде E p2 /(2m)dr — средняя кинетическая ние (25)) скалярно на (-r/2) и проинтегрируем энергия поперечного движения частицы сегмента пучполученное выражение по поперечным координатам.

ка S, а средний вириал V определен в (42).

В результате получим Рассмотрим теперь интегралы, которыми определяется средний вириал (42). Прежде всего заметим, что в 1 d - p rdr силу предполагаемой аксиальной симметричности зада2 dt чи имеем 1 pp 1 dAz - rdr = V, (41) - eµ r Az dr = -eµ r2 dr, (50) 2 m 2 dr где средний вириал 1 d1 e r 0 = e r2. (51) V - r [-e(0 - µAz ) + b(p iz )] dr. 2 dr (42) Для определения производных dAz/dr и d0/dr в (50) При определении интегралов в (41) и (42) будем исхои (51) рассмотрим уравнения Пуассона для потенциалов дить из предположения, что в пространстве поперечных Az и 0, которые запишем в виде координат r частицы рассматриваемого сегмента пучка 1 d dAz в любые моменты времени не выходят за пределы r = -4e(1 - m)Nb(r), (52) r dr dr ограниченной области с границей и, следовательно, функция удовлетворяет условию 1 d d r = 4eN (r), (53) (r, t) r 0. (43) r dr dr где Nb и N — соответственно полные линейные плотРассмотрим сначала интеграл ности частиц пучка и ионного канала; = n (r)/N — заданная функция, характеризующая радиальный проp rdr = (pr2)dr филь распределения ионов и удовлетворяющая условию нормировки (r)dr = 1.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.