WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 10 01 Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде 2 © А.О. Савченко,1 О.Я. Савченко 1 Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090 Новосибирск, Россия 2 Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия e-mail: savch@ommfaol.sscc.ru (Поступило в Редакцию 22 июля 2004 г.) В анизотропной среде, имеющей ось анизотропии, впервые найдено электромагнитноe поле точечного магнитного и электрического диполя, величина которого изменяется по гармоническому закону.

В предлагаемой работе впервые приводится полное времени по гармоническому закону exp(-it). Выберем и, главное, точное решение уравнения Максвелла для прямоугольную систему координат с центром в точке, излучения точечного магнитного и электрического ди- где расположен диполь. Пусть проводимость t и элекполя в однородной анизотропной среде, проводимость трическая проницаемость t среды по двум направлениям x и z одинакова, а по направлению y проводимость и диэлектрическая проницаемость которой вдоль оси анизотропии отличается от проводимости и диэлек- равна n и электрическая проницаемость n. Сразу же отметим, что выбор направления, по которому проводитрической проницаемости среды в перпендикулярном направлении. Решение приводится для любой ориен- мость отлична от других, не является принципиальным, так как решение новой задачи простым преобразоватации диполя по отношению к оси анизотропии. При нием координат сводится к решению рассматриваемой.

определении электромагнитного поля диполя, величина Если электромагнитное поле диполя изменяется во которого меняется по гармоническому закону, испольвремени также по гармоническому закону exp(-t), то зуются два подхода. Первый из них предложен в [1].

амплитуды напряженности электромагнитного поля E В нем исходная система уравнений Максвелла, когда и H, создаваемого диполем, будут, как это следует из токами смещения пренебрегается, сводится к таким уравнения Максвелла, удовлетворять уравнениям [5] уравнениям для вектор-потенциала, которые позволяют их определить. Второй подход, реализованный в [2–4], rot H = E + jE - iE, (1) состоит в сведении исходной системы уравнений Максrot E = iµH - jH, (2) велла, приведенной во всех точках области, к уравнению для напряженноcти электрического поля и применению где, и µ — cоответственно тензор проводимости, к последнему преобразования Фурье. В этом случае тензор электрической проницаемости и магнитная пронахождение образов компонент электрического поля ницаемость среды, а матрицы и имеют диагональный сводится к решению системы линейных алгебраических вид уравнений, а искомые компоненты поля могут быть ( )11 =( )33 = t, ( )22 = n, ( )kl = 0 (k = l), найдены путем применения обратного преобразования Фурье к найденным образам. Однако авторы этого ()11 =()33 = t, ()22 = n, ()kl = 0 (k = l).

подхода, тоже пренебрегая токами смещения, ограниВзяв ротор от обеих частей уравнения (2), получим чились выводом образов только двух компонент поля, а также [3] указанием одной из компонент магнитного rot rotE - iµ E - 2µE = iµjE - rot jH. (3) поля, не затруднив себя пояснением, как она была Определим прямое и обратное преобразование Фурье получена. В предлагаемой работе впервые получено от функции f (x, y, z ) по координатам x, y, z следующим точное решение уравнений Максвелла для точечного образом:

магнитного и электрического диполя в анизотропной + среде, так как при решении не исключались, как в [1–4], f (,, m) токи смещения. Для решения задачи мы выбрали второй подход. Это связано с тем, что он, во-первых, обладает = f (x, y, z ) exp(-ix - iy - imz )dxdydz, большей общностью и в нем не заложено непременное условие о наличии оси анизотропии. Во-вторых, в нем не требуется, как в первом подходе, исследовать элекf (x, y, z ) = тромагнитное поле вблизи диполя. (2) Итак, пусть в однородной анизотропной среде нахо+ дится точечный диполь, в котором плотность сторонних f (,, m) exp(ix + iy + imz )dddm.

электрических jE и магнитных jH токов изменяется во Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде M kt kt Представив уравнение (3) в покомпонентном виде, Hy = exp(-ktR) - - применим преобразование Фурье к обеим частям полу- 4 R R2 Rченной системы уравнений. Тогда получим следующую kt 3kt систему линейных алгебраических уравнений относи+ y2 + +, R3 R4 Rтельно образов компонент электрического поля:

2 + Myz kt 3kt 2 + m2 + kt - -m Ex Hz = exp(-ktR) + +.

+ Ey 4 R3 R4 R- 2 + m2 + k2 -m n 2 + -m -m 2 + 2 + kt Ez б) Ориентация вдоль оси x. Сторонний маг нитный ток имеет только одну ненулевую компоненту Fx Fy =, (4) jH = -iµM(x)(y)(z ).

x Fz где Компоненты электромагнитного поля:

iµMxyz kt 1 Ex = exp(-k1R) + + Fl = i jE - rotl jH exp(-ix - iy - imz )dxdydz, l 4 r2R2 r2R3 r4R kn 1 - exp(-knR) + +, kt = -iµt, k2 = -iµn, r2R2 r2R3 r4R n Re kt > 0, Re kn > 0, iµMz kn Ey = exp(-knR) +, t = t - it, n = n - in.

4 R2 RНайдя значения образов электрического поля реiµMy kt 1 Ez = - exp(-ktR) + + шением системы (4), искомые значения компонент 4 R2 r2R Rэлектрического поля находятся применением обратного преобразования Фурье к образам компонент. Значения kt 1 2 iµMy - z + + компонент магнитного поля получим из (2).

r2R2 r2R3 r4R Запишем полученные значения компонент электро1 kn 1 магнитного поля при различной ориентации магнитного exp(-knR) - + z + +, и электрического диполя вдоль одной из осей координат.

r2R r2R2 r2R3 r4R Для этого введем следующие дополнительные обознаM kt 1 kt чения:

Hx = exp(-ktR) + 4 R2 R3 r2 = t /n, r2 = x2 + z, 2 R2 = r2 + y2, R2 = r2 + 2y2. 2kt kt kt 3kt + x2 + - - r4 r2R R3 R4 R1. Магнитный диполь Mkt kn 1 kn + exp(-knR) + - x2 +, 4 R r2 r2R rа) Ориентация вдоль оси y. В этом случае сторонний магнитный ток имеет только одну ненулевую Mxy 3kt Hy = - exp(-ktR) kt + +, компоненту 4R3 R R2 jH = -iµM(x)(y)(z ), y Mxz 2kt kt kt 3kt Hz = exp(-ktR) + - - 4 r4 r2R R3 R4 Rгде M — момент магнитного диполя.

Компоненты электромагнитного поля:

2 kn - kt exp(-knR) +.

r4 r2R iµMz kt Ex = exp(-ktR) +, 4 R2 R3 в) Ориентация вдоль оси z. Сторонний магнитный ток имеет только одну ненулевую компоненту Ey = 0, jH = -iµM(x)(y)(z ).

z iµMx kt Ez = - exp(-ktR) +, 4 R2 RВсе компоненты электромагнитного поля получаются из предыдущего рассмотренного случая путем замены Mxy kt 3kt Hx = exp(-ktR) + +, переменных x z, z x, µ -µ.

4 R3 R4 RЖурнал технической физики, 2005, том 75, вып. 120 А.О. Савченко, О.Я. Савченко Iy 2. Электрический диполь Hz = - exp(-ktR) 4 r2R а) Ориентация вдоль оси y. В этом случае стоkt 2 1 Iy ронний электрический ток имеет только одну ненулевую - z + + + exp(-knR) r2R2 r4R r2R3 компоненту jE = I(x)(y)(z ), y kn 1 1 kn 2 + + - z + +.

где I — момент электрического диполя. R2 r2R R3 r2R2 r4R r2RКомпоненты электромагнитного поля:

в) Ориентация вдоль оси z. Сторонний электрический ток имеет только одну ненулевую компоненту iµIxy 3kn Ex = - exp(-knR) k2 + +, n jE = I(x)(y)(z ).

4k2R3 R Rz n Все компоненты электромагнитного поля получаются iµI Ey = из предыдущего рассмотренного случая путем замены 4k2Rn переменных x z, z x, µ -µ, I -I.

Итак, были рассмотрены все случаи ориентации элек2 k2 3kn exp(-knR) 2kn + - r2 n + +, трического и магнитного диполя вдоль одной из осей R R R2 Rкоординат. Поле произвольно ориентированного диполя iµIyz 3kn находится как суперпозиция полей его проекций по осям Ez = - exp(-knR) k2 + +, n 4k2R3 R Rкоординат.

n Iz Hx = exp(-knR) kn +, Приложение 4R2 R H0 = 0, Отметим, что не все компоненты поля могут быть найIx 1 дены прямым интегрированием из образов, поэтому для Hz = - exp(-knR) kn +.

нахождения указаных компонент пришлось исключить 4R2 R из рассмотрения ось r = 0. Значения компонент поля б) Ориентация вдоль оси x. Сторонний элекна этой оси находятся путем предельного перехода при трический ток имеет только одну ненулевую компоненту r 0. Приведем только те значения поля на оси r = 0, которые не являются очевидными.

jE = I(x)(y)(z ).

x 1. Магнитный диполь ориентирован Компоненты электромагнитного поля:

вдоль оси x, r = iµI kt 1 kt Ex = exp(-ktR) + - x2 + 4kt R r2 r2R rEx = 0, iµI kn 1 kn iµMy kt 1 + exp(-knR) + Ez = - exp(-kt|y|) 1 + +, 4kt R2 R3 r4 2y2 2 |y|M kt 1 kt k2 k2 2kn 3kn n Hx = exp(-kt|y|) 1 + + +, + x2 n - + - -, 4 2|y| 2 y2 |y| r2R R3 r4 R4 RHz = 0.

iµIxy 3kn Значения компонент поля магнитного диполя, ориенти Ey = - exp(-knR) k2 + +, n 4k2R3 R Rрованного вдоль оси z, можно получить соответствуюn щей заменой переменных (см. раздел 1 в).

iµIxz kt 2kt Ez = - exp(-ktR) + 4kt r2R r2. Электрический диполь ориентирован вдоль оси x, r = k2 k2 2kn 3kn n n + exp(-knR) - + - + +, r2R R3 r4 R4 R2 Ixyz kt 2 iµI kt kt 1 kt Hx = exp(-ktR) + + Ex = exp(-kt|y|) + + +, 4r2 R2 r2R R4kt 2|y| 2y2 2|y|3 22|y| Ez = 0, kn 2 - exp(-knR) + +, Hx = 0, R2 r2R RIy kt kt Iz Hz = exp(-kt|y|) + +.

Hy = - exp(-ktR) kt +, 4 2y2 22y2 2|y|4R2 R Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде Список литературы [1] Кауфман А.А., Каганский А.М. Индукционный метод изучения поперечного сопротивления в скважинах. Новосибирск: Наука, 1972. 135 с.

[2] Табаровский Л.А., Каганский А.М., Эпов М.И. // Геология и геофизика. 1976. № 3. C. 94–99.

[3] Табаровский Л.А., Эпов М.И. // Электромагнитные методы исследования скважин. Новосибирск: Наука, 1979.

[4] Эпов М.И. // Электромагнитные методы исследования скважин. Новосибирск: Наука, 1979.

[5] Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983. 295 с.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.