WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 8 03 О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли в несжимаемой внешней среде © А.Н. Жаров, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поcтупило в Редакцию 4 ноября 2003 г.) В третьем порядке малости по величине амплитуды начальной деформации равновесной сферической формы заряженной идеально проводящей капли в несжимаемой дэлектрической среде найдено аналитическое выражение для образующей ее формы и для нелинейных поправок к частотам осцилляций. Показано, что наличие окружающей каплю жидкости приводит к снижению абсолютной величины поправок к частотам и собственного заряда, критического для реализации неустойчивости капли.

0 2 1 2 h2 + 2n( - 2 ) 1 h2 0 1. Задача исследования нелинейных осцилляций заn n n n k n bn = + ряженной капли во внешней диэлектрической среде 2n 4(2n + 1) 2(2k + 1) k представляет интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими прилоh2 1(-)(+) 2(+)(+) 2(-)(-) k - Hnkkn + Hknkn + Hknkn +(1 - kn) жениями [1,2]. Поэтому она уже становилась предметом 4 k теоретического анализа во втором порядке малости как в случае несжимаемой [3], так и в случае сжимаемой 1(-)(+) 2(+)(+) 2(-)(-) Hkknn + Hkknn + Hnkkn ;

внешней среды [4], но за рамками проведенных исследований остался вопрос о нелинейных поправках к частотам осцилляций, проявляющихся лишь в третьем hlhm (+) M(2)(t) = lmn cos (l + m)t - cos(nt) n порядке малости [5–7]. В связи со сказанным и проведе2 l,m но настоящее исследование.

2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R, име(-) + lmn cos (l - m)t - cos(nt) ;

ющая заряд, равный Q, идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости плотностью (i), находящейся 2hk в идеальной несжимаемой жидкости плотности (e) с M(3)(t) =- M(2)(t) cos(kt) 0 k 2k + 1 диэлектрической проницаемостью d и коэффициентом k межфазного поверхностного натяжения. ПолнуюматеKkmlhkhmhl матическую формулировку задачи о расчете нелинейных - cos(kt) cos(mt) cos(lt);

3(2l + 1) капиллярных осцилляций капли в среде можно найти k,m,l в [3,8], поэтому здесь ее приводить не будем ввиду 0 1 2 ограниченности объема статьи. hnh2( - 2 nk - 4 k ) k n n n M(3)(t) =n Решая задачу об отыскании формы нелинейно ос8(2k + 1)k(n + k) k циллирующей капли методом многих масштабов (как это делалось в [3,5–7]), можно найти аналитическое sin (n + k)t sin(kt) выражение для образующей осесимметричной капли 0 1 2 в любой момент времени с точностью до слагаемых hnh2(1 - nk)( + 2 nk - 4 k ) k n n n третьего порядка малости. В безразмерных переменных, 8(2k + 1)k(n - k) k в которых (i) = R = = 1, оно имеет вид sin (n - k)t sin(kt) r(, t) =1 + M(1)(t)Pn(cos ) n (+) (-) hkhmhl lmg + lmg n g=1 k,m,l + 2 M(2)(t) +M(3)(t) Pn(cos ), n n 0(+) n=Hkgn cos((k + g)t) - cos(nt) n - (k + g)M(1)(t) =hn cos(nt + 2bnt);

n 0(-) hHkgn cos((k - g)t) - cos(nt) m M(2)(t) =- cos2(mt);

0 + 2m + 1 n - (k - g)m О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли... 1(+)(-) (+)(+) Hkmln cos(klm t) - cos(nt) hkhmhl + 4 n - (k + l + m)k,m,l 1(-)(+) (+)(-) Hkmln DknDln cos(klm t) - cos(nt) lm km + n - (k + l - m) 2(+)(+) (-)(-) Hkmln DmnDln cos(klm t) - cos(nt) kl km + n - (k - l - m) 2(-)(-) (+)(-) Hkmln DmnDkn cos(klm t) - cos(nt) kl ml + ; (1) n - (k - l + m)где — малый параметр, определяющий амплитуду начальной деформации; Pn(cos ) — полином Лежандра порядка n; — полярный угол сферической системы координат; t — время; — множество индексов изначально возбужденных мод; hm — константы, учитывающие вклад m моды в формирование начальной формы капли ( hm = 1); n = m 1/= n(n - 1)n(n + 1)(n + 2 - W ) — частота капиллярных колебаний капли; W = Q2/(4)d — параметр (+) (-) Рэлея; kn — символ Кронекера; n, lmn, lmn, Klmn, 0(±) 1(±)(±) 2(±)(±) (±)(±) 0 1,,, Hkgn, Hkmln, Hkmln, kml, Dkn — n n n lm коэффициенты, вынесенные в Приложение.

3. Из (1) видно, что поправки к частотам, пропорциональные bn, имеют второй порядок малости по и содержат в знаменателях множители, обращающиеся при определенных соотношениях между частотами различных мод в нуль (в таких случаях принято говорить о резонансном характере соответствующих поправок [9]).

Так, когда в начальный момент времени возбуждена четвертая мода, поправка к частоте имеет резонанс при 2 6 - 44 = 0, а когда возбуждена пятая мода, резонанс 2 реализуется при 8 - 45 = 0. Вдали от положений резонансов величины поправок к частотам bn · 2 с ростом плотности окружающей жидкости (e) уменьшаются по абсолютной величине (рис. 1).

Учет нелинейных поправок к частотам капиллярных Рис. 1. Зависимость коэффициента bn, характеризующего колебаний капли приводит к изменению критического сдвиг частоты n-й моды, от параметра Рэлея W при начальном возбуждении n-й моды для различных значений плотности значения параметра Рэлея Wcr, при котором реализуется окружающей жидкости: (e) = 0 (1), (e) = 1 (2), (e) = 10 (3), неустойчивость n-й моды по отношению к собственному (e) = 100 (4). n = 4 (a), 5 (b).

заряду [6]. Условие проявления неустойчивости n моды с учетом нелинейной поправки к частоте может быть записано в виде 2 реализации неустойчивости капли величина собственно(n + 2bn)2 = n + 22nbn + O(4) =0.

го заряда при наличии внешней среды снижается.

Влияние наличия внешней среды на критические Амплитуды мод второго M(2) итретьегоM(3) порядков n n условия неустойчивости сводится к незначительному также зависят от плотности окружающей жидкости, что увеличению критического значения параметра Рэлея с приводит к некоторому изменению формы поверхности ростом плотности окружающей жидкости (e) (в связи капли (к локальному уменьшению кривизны ее поверхс уменьшением по абсолютной величине коэффициен- ности), находящейся во внешней среде, по сравнению та bb) [7] и к весьма заметному снижению величины с каплей в вакууме (рис. 2). Наличие внешней среды коэффициента межфазного поверхностного натяжения наиболее заметно сказывается на форме поверхности по сравнению с коэффициентом поверхностного натя- капли в окрестности точек, обладающих наиболее выжения капли в вакууме [10]. В итоге критическая для сокой скоростью движения.

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 118 А.Н. Жаров, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев Приложение.

Выражения для коэффициентов mln =(n + 1)nKmln m n - m + - (e)n(n - m - 1)/(n + 1) + 2n l(l + 1) - + l(m + 1) - m(2m - 2n + 7) +3 nW /2 +(n + 1) nmln 1/m - n(e)/ (n + 1)(m + 1) m + nW /2 ;

mln ± mlmln (±) mln = ;

n - (m ± l) mln =(n + 1)nKmln n/2 - m + + (e)n(2m + 3 - n)/ 2(n + 1) +(n + 1)nmln (1 + n/(2l) /m - n(e)(n + 2l + 3)/ 2(m + 1)(l + 1)(n + 1) ;

1(±)() 1(±) (±) 1() 0() Hkmln = kmglnlmg + µkmgln + µkmgln;

g=1 g= -n = 1 + n(1 + (e)) ; Kmln = Cn0 ;

m0l 2(±)(±) 2(±) (±) 1(±) 0(±) Hkmln = kmglnlmg + µkmgln + µkmgln;

Рис. 2. Контур образующей капли при начальном возбуg=1 g=ждении седьмой и восьмой мод, когда h7 = h8 = 0.5, W = 3, = 0.3. a — (e) = 0, t = 0.01 (1), t = 0.075 (2), t = 0.22 (3);

mln = -Cn0 Cn0 m(m + 1)l(l + 1);

m0l0 m(-1)lb — (e) = 5, t = 0.02 (1), t = 0.14 (2), t = 0.525 (3).

0(±) 0 1 2 2 (+) (-) Hmgn = mg - g mmg + mmg ;

mgn mgn mgn (±)(±) kml = k ± m ± l;

Заключение 0 = n + n(n + 1)n(n - 1)(4 + 2n - 5W );

n Величины налинейных поправок к частотам осцилля- (+)(-) kml = k + m - l;

ций заряженной капли идеальной несжимаемой элек1(±) тропроводной жидкости в диэлектрической несжимае- 0 1 kmgln = - k(l ± m) - (l ± m)2;

kgn kgn kgn мой внешней среде существенно зависят от отношения плотностей сред и снижаются с ростом плотности = (n + 1)(n - 1) - 3n(e) n;

n среды. Влияние наличия внешней среды, моделируемой 2(±) 0 1 несжимаемой жидкостью, на устойчивость капли по kmgln = + k(l ± m) - (l ± m)2;

kgn kgn kgn отношению к собственному заряду складывается из двух факторов: с одной стороны, нелинейный сдвиг частоты = (e)n(n - 1)n;

n осцилляций приводит к слабому росту критического 1(±) 1 заряда, с другой стороны, существенное снижение веµkmgln = ± mk;

kmgln kmgln личины коэффициента межфазного поверхностного на0(±) 0 тяжения (по сравнению с каплей в вакууме) приводит µkmgln = ± mk; Dkn = 1 - lmkn;

kmgln kmgln lm к весьма заметному снижению величины критического заряда.

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли... 0 =(n + 1)nk Kgln kmgln =(n + 1)n nKkmn 2 (k - 1)(k + 2) +m(m + 1) kmn kmg(k - 2)/k +(k - 1)(n - k + 2)Kkmg/2 + W (k -1)(n -5 - k) + kmn/k +(n + 1- k)Kkmn k + (e)nnk (g + 1 - n)Kgln - gln/(g + 1) - (e)nnk (n - 1 - k)Kkmn + kmn/(k + 1) (k + 2)Kkmg - kmg/(k + 1) + (k + 3)kmg/(k + 1) + n(n + 1)nW (m + 1)(k + n - m - 2)Kkmn + kmn ;

+(k + 2)(n - 2 - k)Kkmg/2 Kgln =(n + 1)n (k + m - n - 2)Kkmn kmn + n(n + 1)n WKgln (k3 - 2(m + 1)(m + 2) - k2(n - 9) - (n + k + m)kmn/(mk) + n(e)n (n - k - m - 3)Kkmn - k 2m(m + 3) +3n - 22 Kkmg - 2(k + 2)kmg +(k + m + n + 3)kmn/ (m + 1)(k + 1) ;

- 3k(k + 1) - 2 Kkmg - l(l + 1)kmg/2 Kgln [l/2] =(n + 1)n (m - n - 1)Kkmn - kmn/m kmn + kmg l2Klgn - (2l - 4 + 1)Kl-2,g,n ;

=+ n(e)n (n - m - 1)Kkmn + kmn/(m + 1), = n(n + 1)nWkKkmg kmgln Cn0, Cn0 — коэффициенты Клебша-Гордана.

m0l0 m(-1)l (g +1)(l-2 - g + n)Klgn + lgn +(n + 1)n Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 03 01-00760).

lgn/g +(n + 1 - g)Klgn kmg/m +(1 - m)Kkmg m; Список литературы [1] Григорьев А.И. // ЖТФ. 2000. Т. 70. Вып. 5. С. 22–27.

=(n+1)n (k - 2) Kgln (k -1)Kkmg/2 - kmg/k kmgln [2] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994.

№3. С. 3–22.

+ Kmgn (k - 1)Kklg/2 - klg/k) [3] Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ.

2003. Т. 73. Вып. 9. С. 44–51.

- n(k - 1)Kgln kmg/(mk) +Kkmg [4] Гаибов А.Р., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 7.

С. 13–20.

- (e)nn (g + 2)Kmgn - mgn/(g + 1) [5] Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 9. С. 75–82.

(k + 2)Kklg - klg/(k + 1) +(k + 3)Kmgn [6] Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. / ЖТФ. 2003.

Т. 73. Вып. 6. С. 36.

klg/(k + 1) - (k + 2)Kklg/2 [7] Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003.

Т. 73. Вып. 12. С. 9–19.

+ (g + 2)Kgln - gln/(g + 1) (k + 2)Kkmg [8] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 9. С. 60–63.

- kmg/(k + 1) +(k + 3)Kgln kmg/(k + 1) [9] Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

[10] Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, - (k + 2)Kkmg/2 - (n + 1) 1971. 702 с.

(mgn/ (m + 1)(g + 1) + Kmgn (k + 2)Kklg - klg/(k +1) +Kgln (k +2)Kkmg - kmg/(k +1) - kmg/ (k + 1)(m + 1) + Kkmg (k +2)Kgln ;

=(n + 1)n (lgn/g +(n + 1 - g)Klgn kmgln (m - 1)Kkmg - kmg/m + (k + n)kgn/(gk) +(n + 1 - g)Kkgn (m - 1)Kmlg - mlg/m) ;

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.