WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

mn-1xn+1 + mn xn-1 = mn mn-1 + mn-1mn xn. (24) 12 12 11 12 22 Уравнение (24) может быть более удобно для исслеМатье целого порядка, приведены на рис. 3. Из-за дования, чем (22).

симметрии питающего напряжения при гармоническом Вычисление точной матрицы отображения Mn аналитическими методами невозожно, так как это эквивалент- питании на границе стабильности z = 1 получается u1() =u 2() =-1, u2() =D = 5.59366, u 1() =0, но решению исходного уравнения (9). Однако изменения в колебательном движении ионов из-за нелинейных иска- причем решение u1() является четной периодической жений, накапливающиеся за много периодов колебаний, функцией.

достаточно малы на каждом отдельном периоде. Это Вычисление матрицы преобразования приближенныпозволяет определить матрицу отображения на каждом ми методами выполнено в Приложении. Условие примепериоде приближенными аналитическими методами, а нимости этого метода — малая величина поправок по для адекватного описания движения ионов использовать сравнению с основным решением на временном интер точное отображение (22). В результате решения рекурвале длительностью в один период ВЧ поля. Их можно рентных уравнений (22) или (24) мы получаем значения сформулировать в виде вектора состояния иона в фиксированные моменты времени, следующие через период ВЧ поля. Соотношения q0 |q(n) - q0|, 3A, 4A2,.... (25) (10), а точнее (18) позволяют вычислить траекторию иона и в промежутках между этими точками. Таким Здесь q(n) — текущее положение рабочей точки; A — образом, мы имеем полную информацию о траектории характерная амплитуда колебаний иона на данном пеиона, несмотря на дискретный характер уравнений (22).

риоде, которая в пределах ловушки не должна превыКроме того, можно выбрать начальную фазу ВЧ так, шать 1. Будем рассматривать движения вблизи границы чтобы фиксированные моменты времени совпадали с стабильности при условии, что разница q - q0 не больше моментами, когда амплитуда отклонения иона достига0.01. Амплитуды нелинейных искажений 0 не превыет максимума. Тогда разностное уравнение (24) будет шают 2%. Таким образом, условия (25) выполнены с описывать траекторию огибающей колебаний иона, что очень удобно для теоретического анализа движения. хорошей точностью.

В следующем разделе мы применим этот метод для В процессе развертки спектра текущая рабочая точка описания движения ионов в режиме МСНОВ.

q(n) для ионов данной массы пересекает границу первой стабильной зоны. Скорость изменения огибающей колебаний тем меньше, чем ближе рабочая точка к Движение ионов в процессе развертки границе стабильной зоны. Таким образом, в изучаемом спектра случае уравнение (24) содержит малый параметр — скорость изменения функции |xn|. Это позволяет свести При выводе на границу стабильности осевого движеразностное уравнение (24) к дифференциальному.

ния в режиме ВЧ рабочая точка (a = 0, q) для ионов данной массы пересекает границу первой области ста- Для определенности будем считать, что производная d(ln |xn|)/dn является величиной порядка 1. Так бильности в точке (a0 = 0, q0 = 0.90804671), которую и возьмем в качестве опорной. Графики решений u1( ) как диагональные элементы матрицы Mn близки к -1, то и u2( ), которые в этом случае являются функциями величина xn является знакопеременной, следовательно, с Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Теоретическое исследование режима масс-селективного нестабильного осевого вывода ионов... точностью до xn =(-1)nX(n), dX 1 d2X xn±1 (-1)n±1 X ± +, (26) dn 2 dnгде X(n) — непрерывная функция времени, выраженного в периодах ВЧ: n = t/T.

Величины q0 - q(n), 3xn, 4x2 считаем малыми n величинами порядка 2. Тогда можно считать mn-1 mn 12 и mn-1 mn. Рекуррентное уравнение (24) сводится к 22 дифференциальному для функции X(n) d2X +[2 + Spur(Mn)]X = 0, (27) dnРис. 4. Зависимость q() вдоль линии режима ВЧ (a = 0), рассчитанная путем прямого интегрирования уравнения Матье где Spur(Mn) —след матрицы Mn.

с точностью 2000 точек на период. Штриховая кривая — Согласно вычислениям в Приложении, аппроксимация точной зависимости по формуле (34).

Spur(Mn) = - 2 + 2[q0 - q(n)]DQПолученное уравнение в линейном пределе (k = 0) - Dq(n) kkPk-2(xn, vn). (28) при q(n) =const описывает гармонические колебания с k>частотой Здесь Pk — полином степени k, = 2DQ20(q0 - q). (33) Так как функция X(n) является огибающей высокочаQ20 = cos(2)u2()d = 0.77396.

стотных колебаний ионов, то очевидно, что (33) определяет частоту биений ионов. С другой стороны, период биений Tб определяется параметром стабильности z [6] Для дальнейшего необходимо определить vn. Из как Tб = 1/(1 - z) = / (периодов ВЧ). Отсюда первого уравнения отображения (22) в приближении можно получить связь параметра стабильности z со (26) получим значениями q вблизи границы стабильной области (-1)n+1 dX vn =. (29) D dn q() =q0 - (1 - )2DQТак как производная функция X(n) является величиной порядка, то в (27) можно считать vn = = 0.908047 - 1.139869(1 - )2. (34) Spur(Mn) = - 2 + 2[q0 - q(n)]DQНа рис. 4 представлены результаты точного расчета зависимости q() для уравнения Матье вдоль линии - Dq(n) kkXk-2Qk0, (30) a = 0. Для сравнения показан график зависимости (34).

k>Как видно из рис. 4, формула (34) является разложением где точной зависимости q() в ряд по (1 - ) с точностью до квадратичных членов. В пределах |q - q0| < 0.Qk0 = cos(2)uk()d. (31) 1 точность формулы (34) не хуже 0.2%. Это обусловли0 вает высокую точность уравнения (32) при описании движения ионов вблизи границы стабильной зоны.

Из-за того что u1() cos(2) является нечетной отПерейдем к анализу уравнения (32) с учетом нелиносительно точки = /2 функцией, для нечетных k нейных искажений поля. При фиксированном значении получается Qk0 = 0. Следовательно, в этом приблиq(n) =const уравнение (32) описывает движение матежении нечетные искажения потенциала не дают вклада.

риальной точки с эффективной массой D-1 в поле сил с Уравнение (27) сводится к потенциалом 1 d2X + 2Q20[q0 - q(n)]X - q(n)44Q40X3 Ueff(X) =(q0 - q)Q20XD dn- qQ404X4 - qQ606X6 -.... (35) - q(n)66Q60X5 -... = 0. (32) 8 Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 114 М.Ю. Судаков бильности. Согласно (36), частота биений увеличивается с увеличением амплитуды. Следовательно, при наличии отрицательных четных искажений поля с ростом амплитуды колебаний рабочая точка иона отбрасывается назад внутрь стабильной области и поглощение энергии от поля прекращается. Нарастание амплитуды параметрических колебаний ионов вдоль оси Z ограничивается нелинейностью и происходят нелинейные биения вблизи границы стабильности. Этим объясняется эффект ”задержки вывода” в усеченной ловушке Пауля [2]. Количественное описание этого эффекта содержится в уравнении (32), из которого следует существование потенциальной ямы и внутри нестабильной зоны. Для рабочей точки, лежащей в нестабильной области, q0 - q < 0 и эффективный потенциал имеет вид потенциальной ямы с двумя минимумами (кривая 3 на рис. 5, a). Уравнение (32) описывает консервативную систему, поэтому в процессе колебаний сохраняется величина полной эффективной энергии биений 1 dX Eeff = + Ueff(X). (37) D dn При значениях Eeff < 0 колебания происходят вблизи одного из положений равновесия (q - q0)QXm = ±. (38) 2q4QПри Eeff > 0 имеют место симметричные колебания. В целом в случае 4 < 0 движение является стабильным, Рис. 5. Графики эффективного потенциала биений (формуесли только амплитуда колебаний иона не превышает ла (35)): 4 = -0.02 (a), 0.02 (b), q = q0 - 0.008 (в размеры ловушки.

стабильной области) (1), q0 (на границе стабильности) (2), Из-за наличия потенциальной ямы в нестабильной q0 + 0.008 (в нестабильной области) (3).

области часть ионов совершает стабильное движение и остается в объеме ловушки даже тогда, когда рабочая точка находится внутри нестабильной зоны. Это привоАнализ этого движения позволяет понять характер дит к эффекту ”задержки вывода” ионов в режиме массвлияния нелинейных искажений поля. На рис. 5, a поселективного нестабильного осевого вывода в ловушке казан вид потенциальной функции (35) при отрицательПауля с электродами конечных размеров из-за наличия ных значениях амплитуды октупольных искажений 4 и отрицательных четных искажений квадрупольного поразличных значениях величины q0 - q. Если последняя тенциала.

положительна (рабочая точка находится внутри стабильПротивоположная ситуация имеет место для промыной зоны), то эффективный потенциал имеет форму шленных нелинейных ловушек, для которых 4 > 0. В потенциальной ямы с бесконечно высокими краями (кристабильной области q0 - q > 0 график Ueff(X) имеет вид вая 1 на рис. 5, a). В этом случае уравнение (32) потенциальной ямы с конечной высотой стенок (кривая описывает нелинейные колебания с частотой зависящей на рис. 5, b). Полуширину ямы можно определить по от амплитуды. Для малых амплитуд колебания почти формуле (38), а глубина потенциальной ямы гармонические с частотой Xm Um =(q0 - q)Q20. (39) 3DQ404 A(q, A) = 2DQ20(q0 - q)-. (36) 2DQ20(q0 - q) При малой амплитуде частица совершает ангармониАмплитуду колебаний A можно считать малой, если ческие колебания вблизи центра ловушки. Согласно (36), второе слагаемое в (36) мало по сравнению с первым, частота малых колебаний в этом случае уменьшается т. е. 3Q404A2 4Q20(q0 - q). с увеличением амплитуды, приближая рабочую точку к В рамках модели линейного уравнения Матье частота границе стабильности. Если амплитуда колебаний стабиений убывает до нуля при приближении к границе ста- новится больше ширины ямы, то колебания являются Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Теоретическое исследование режима масс-селективного нестабильного осевого вывода ионов... абсолютно неустойчивыми, так как энергия колебаний dM/dt = 5555 u / s. Из (8) следует Eeff превышает глубину ямы Um.

dq q0 dM В процессе вывода на границу стабильной области = -. (40) dt M dt разница фаз уменьшается, что приводит к уменьшению глубины и ширины потенциальной ямы. Соответственно При частоте питания 0/2 = 1 MHz и массе уменьшается объем захвата ионов в ловушке. Для стаM = 500 u скорость изменения параметра q составляет бильной области q0 - q < 0 и график эффективного по10-5 за период ВЧ. Таким образом, положение рабочей тенциала не имеет минимумов (кривая 3 на рис. 5, b). В точки при выходе ионов действительно можно считать этом случае движение ионов является неустойчивым неквазистатическим, тем более если рассматривать, как зависимо от начальных координат. Имеет место эффект это делается в (32), такие значения q(n), что разница ”взрывного выброса” ионов [2]. Поток ионов данной q(n) - q0 является малой величиной порядка или менее массы нарастает и резко прекращается при пересечении нелинейных искажений. Необходимость учета изменения границы стабильной области. параметра q(n) может возникнуть при использовании ускоренной развертки спектра, что неблагоприятно сказывается на разрешении прибора. Напротив, понижение скорости развертки до величины 0.025 u / s позволяет Обсуждение результатов получить спектры с массовым разрешением 3.1 · 107 при единичном сканировании [1].

Результаты последнего раздела показывают высокую В-третьих, в уравнение (32) не вошли слагаемые, эффективность метода нелинейных отображений для связанные с нечетными нелинейными искажениями кваописания движения ионов вблизи границы стабильной друпольного потенциала. Это объясняется тем, что вблиобласти. Он позволяет объяснить эффект ”задержки зи границы стабильности колебания ионов имеют хавыхода” ионов при отрицательных нелинейных искажерактер биений, при которых координата пробегает ряд ниях четного порядка и эффект ”взрывного выброса” отрицательных и положительных значений в пределах ионов при положительной нелинейности. Анализ этих текущей амплитуды. Нелинейные искажения усредняютэффектов ранее производился численными методами [2], ся, и нечетные гармоники поля не оказывают влияния а в методе нелинейных отображений удается получить в первом приближении. На практике они дают вклад, их аналитическое описание с помощью понятия эффеккоторый в рамках предлагаемого метода может быть тивного потенциала.

учтен во втором порядке теории возмущений по велиОбсудим влияние обстоятельств, которые были опучине нелинейных искажений. Известно [2], что вклад щены в целях простоты, но которые могут быть сущенечетных гармоник аналогичен вкладу отрицательных ственными. Во-первых, в уравнении (7) не представлены четных искажений поля, т. е. имеет деструктивный хачлены, ответственные за столкновительное затухание, рактер в режиме МСНОВ. По-видимому, из-за этого соответственно они не вошли и в уравнение (32). При искажения геометрии ловушки Пауля в промышленных столкновениях ионов с молекулами легкого буфернонелинейных ловушках столь велики (до 10%). Это го газа скорость иона практически не изменяется по вызвано необходимостью создавать достаточно большие направлению, а кинетическая энергия уменьшается на положительные четные искажения поля, чтобы подавить величину, определяемую отношением масс молекул газа влияние нечетных искажений.

и иона. Это приводит к затуханию колебательного движения ионов. В результате консервативные колебания, Заключение описываемые уравнением (32), становятся диссипативными. За достаточно большое время колебания ионов Построено нелинейное отображение для уравнения, затухают вблизи положений равновесия — дна потенописывающего движение ионов вдоль оси ловушки при циальной ямы. Наличие затухания не изменяет выводов, значениях параметров питающего напряжения, близких к полученных в предыдущем разделе. В случае отрицательгранице стабильности осевого движения (z = 1). Далее ных октупольных искажений поля затухание колебаний это отображение сводится к разностному уравнению, ионов вблизи дна потенциальной ямы только усиливает описывающему изменение огибающей колебаний ионов.

эффект задержки вывода ионов, а при положительных С учетом характера изменения параметров a и q в искажениях потенциальная яма имеется только для стапроцессе сканирования разностное уравнение сводится бильной зоны и пропадает при пересечении границы вновь к дифференциальному уравнению колебаний с стабильности.

нелинейной правой частью. Полученное уравнение можВо-вторых, при анализе уравнения (32) предпола- но интерпретировать как движение материальной точки галось, что параметр q(n) имеет постоянное значе- в поле сил с эффективным потенциалом, содержащим ние, тогда как он увеличивается в процессе разверт- четные гармоники.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.