WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 7 04;10 Определение конечного равновесного радиуса и прироста эмиттанса неподстроенного к равновесным условиям релятивистского электронного пучка при транспортировке вдоль внешнего магнитного поля в газоплазменной рассеивающей среде © Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов Санкт-Петербургский государственный университет Научно-исследовательский институт математики и механики им. акад. В.И. Смирнова, 198904 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 26 декабря 1995 г. ) С помощью уравнения для эволюции поперечной энергии сегмента параксиального осесимметричного релятивистского электронного пучка (РЭП), распространяющегося в рассеивающей газоплазменной среде вдоль внешнего магнитного поля, найдено уравнение, связывающее значение конечного равновесного радиуса пучка с его начальным неравновесным значением. Для рассматриваемого случая найдено аналитическое выражение для прироста среднеквадратичного эмиттанса РЭП в процессе транспортировки пучка до момента достижения равновесного состояния. Исследована зависимость конечного равновесного радиуса и соответствующего прироста среднеквадратичного эмиттанса от плотности рассеивающей среды и индукции внешнего магнитного поля.

В последнее время внимание исследователей все боль- постоянного внешнего магнитного поля с индукцией B0 ше привлекают вопросы динамики транспортировки ре- в рассеивающей газоплазменной среде. Цилиндрическую лятивистских электронных пучков (РЭП) в газоплазмен- систему координат (r,, z) выберем так, что вектор ных средах в режиме самофокусировки [1–10]. При B0 параллелен оси z. Предполагается, что имеют место экспериментальных и численных исследованиях распро- частичная зарядовая компенсация с коэффициентом fc странения РЭП в указанных средах зачастую наблю- и частичная магнитная (токовая) нейтрализация с содается начальное отклонение параметров пучка от их ответствующим коэффициентом fm. Кроме того, для равновесных значений. В частности, малое несоответ- простоты будем считать, что потери энергии частиц ствие радиуса РЭП равновесному условию при инжекции пучка на рассматриваемых дистанциях транспортировки может привести к развитию резистивной перетяжечной РЭП отсутствуют, а также коэффициенты нейтрализации неустойчивости пучка, которая характеризуется быстро- fc и fm, полный ток пучка Ib и индукция внешнего растущими радиальными пульсациями [2,4,6,10]. Однако, магнитного поля являются константами по времени, а как показывают численное моделирование и аналитичеименно ская теория, перетяжечная мода в широком диапазоне d d(TB) dc параметров пучка и фоновой газоплазменной среды по= 0, = 0, = 0, (1) dt dt dt давляется и пучок приходит к некоторому равновесному состоянию [1,6,10]. В связи с этим представляют опреде- где = (1 - fm) - (1 - fc)/2, = vz/c (vz —проленный интерес теоретическое предсказание конечного дольная скорость электронов пучка, c — скорость света);

равновесного радиуса РЭП, а также прироста среднеква- TB = eIb/(2c) — эффективная температура Беннета, дратичного эмиттанса пучка за время его эволюции к характеризующая эффект самофокусировки пучка собконечному равновесному состоянию. Указанная пробле- ственным электромагнитным полем; c = eB0/(mc) — ма ранее рассматривалась в работах [4,5]. Однако в [4,5] циклотронная частота частиц пучка во внешнем магнитне изучалось влияние внешнего продольного магнитного ном поле B0; m, e — масса и заряд электрона.

поля, а также процесса многократного кулоновского расДалее будем предполагать, что удвоенный среднеквасеяния частиц пучка на атомах фонового газа (которые дратичный радиус пучка Ri при инжекции не соответствучасто приходится учитывать на практике), на значение ет равновесному значению R0 на малую величину R0, конечного равновесного радиуса пучка и прирост его Ri = R0 + R0, (2) эмиттанса.

Настоящая работа посвящена выводу обобщенных где |R0|/R0 1.

уравнений для определения конечного равновесного раЗаметим, что при выполнении условий (1) интегралом диуса и соответствующего прироста среднеквадратичнодвижения поперечного сегмента пучка, характеризуемого эмиттанса с учетом влияния внешнего магнитного го временем инжекции, для рассматриваемых пучков поля и процесса рассеяния в фоновой газоплазменной является поперечная энергия сегмента пучка, опредесреде.

ляемая следующим образом [1]:

Рассмотрим моноскоростной азимутально-симметричный параксиальный РЭП, распространяющийся вдоль = +A, (3) Определение конечного равновесного радиуса и прироста эмиттанса... r где где Ib(r) = dr 2r Jb(r ) — ток пучка в трубке радиуp = dr, (4) са r.

2m Величина является константой для различных видов радиальных профилей плотности тока пучка Jb(r). В A = - dre Az (5) 2 (1 - fm) частности, для однородного профиля = 0.193, для — соответственно средняя поперечная кинетическая гауссова — = 0.116, для обрезанного при r = 3Rb энергия частиц в сегменте и средняя потенциальная беннетовского = 0.195. Таким образом, величина энергия частиц сегмента в коллективном электромагнит- весьма незначительно меняется при эволюции вида ном поле системы плазма–пучок. Здесь = Jb(r)/Ib, радиального профиля плотности тока РЭП. Кроме того, Jb(r) — радиальный профиль плотности тока пучка, Ib — можно показать, что величина d/dt характеризует влиполный ток РЭП, p2 — усредненный среднеквадратичяние фазового перемешивания траекторий частиц пучка ный импульс частиц пучка в сегменте, Az — z-компонента на изменение среднеквадратичного эмиттанса пучка [11].

векторного потенциала коллективного электромагнитноОбратимся к выводу уравнения, связывающего конечго поля.

ный равновесный удвоенный среднеквадратичный радиус Обобщая кинетическую теорию Э. Ли [1] для параксипучка Rf с начальным значением удвоенного среднекваальных РЭП на случай влияния внешнего продольного дратичного радиуса Ri, который считается известным.

магнитного поля, можно получить уравнение для эволюДля этого будем использовать уравнение огибающей ции поперечной энергии сегмента пучка в виде пучка для удвоенного среднеквадратичного радиуса R. В рассматриваемом случае имеем [2] d d d ln(TB) = - + A dt dt dt 4 E2+P/md2R dR 1 d 4TB c + + + R =, (10) dt2 dt dt mR 4 2R1 d(c) - mL + drS, (6) 2 dt где cRгде S — величина, характеризующая темп закачки энерP = m L + (11) гии в поперечное движение частиц пучка в результате многократного кулоновского рассеяния электронов РЭП — средний канонический угловой момент частиц сегменна атомах фоновой газоплазменной среды; L — средний та пучка, угловой момент частиц рассматриваемого сегмента.

При наличии упрощающих предположений (1) урав- 2 2R2 4 dR 2L нение (6) сводится к простому виду E2 = - - (12) 4 m dt R f - i = m(c)3sngtf, (7) — среднеквадратичный эмиттанс РЭП.

где f и i — соответственно значения поперечной Кроме того, из (3), (7) и (8) получим следующее энергии сегмента пучка в конечном равновесном состоуравнение:

янии и при инжекции РЭП, s — транспортное сечение многократного кулоновского рассеяния на малые углы Rf частиц пучка на атомах фонового газа, ng — концен- f + TB f + ln - i 2Rc трация атомов фоновой среды, tf — время выхода на равновесное состояние.

Ri Нетрудно видеть, что при отсутствии рассеяния - TB i + ln = tf m(c)3sng, (s = 0) является интегралом движения для рассма- 2Rc триваемого сегмента пучка. Эта ситуация при B0 = (13) была рассмотрена в работах [4,5]. Далее введем в где индекс f относится к конечным значениям парамерассмотрение величину тров, i — начальным значениям.

Поскольку конечное состояние является равновесным, A 2Rc то выполнены условия = +ln, (8) TB R dR d2R = = 0. (14) dt dt2 f где Rc — радиус, такой что Az r=Rc = 0. Нетрудно f показать, что величина может быть представлена в следующем виде: С помощью (10)–(12) и (14) нетрудно получить условие динамического равновесия на финальной стадии Rc dr Ib(r) 2Rc =-2 + ln, (9) ()f Lf c TB r Ib R = - +. (15) m 2 m Журнал технической физики, 1997, том 67, № 110 Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов холодного пучка (i = 0) из (18) следует уравнение, полученное в [4], Ri ln = 1 +(f -0). (19) Rf Поскольку параметр слабо меняется при изменении вида радиального профиля плотности тока пучка (f - 0 1), то имеем Ri 1.649Rf, (20) E2 UR2 = 0.368UR2. (21) f f Рис. 1.

Далее выразим в уравнении (18) значение i через Ri и R0, где R0 — равновесный радиус, соответствующий начальному эмиттансу пучка. Из (11)–(13) при (dR/dt)i = 0 и Li =L0 получим 2 R2 2L0kc R0 = -. (22) m(c)2U R2 cU Ri i Тогда, подставляя это выражение в уравнение (18), окончательно получим Rf 2 kc Rf (1 +f -i) +ln + R2 - i Ri 4U Ri R2 L0kc R0 2 2Lrsng = + 1 - 2 +. (23) R2 cU Ri U i Рис. 2.

Определим далее изменение среднеквадратичного эмиттанса пучка в процессе транспортировки его до конечного равновесного состояния, а именно Можно показать, что при условии d/dt = 0 P является интегралом движения сегмента пучка. Тогда E2 = E2 - Ei2, (24) f имеем c где Ei2, E2 — соответственно начальное и конечное знаf Lf = Li + R2 - R2. (16) i f чения среднеквадратичного эмиттанса сегмента пучка.

В соответствии с (11), (12) и (14) имеем Подставляя (16) в (15), получим E2 U kc = R2 - R2 + R4 - RR2 TB f 0 f ()f Lic f 2 (c)2 2 =- - R2 1 + +. (17) i m 2 8 R2 m i Li kcR2 2 L0 kcR2 i - + + +, (25) Используя (13) и (17), имеем следующее уравнение: c 4 c Rf 2 Likc kc Rf 2 где R0 — равновесный среднеквадратичный радиус пучка, соответствующий начальному эмиттансу Ei.

(1 - f - i) +ln - - R2 1i Ri (c)U 4U Ri Используя полученные уравнения (23) и (25), рассмотрим несколько упрощенных ситуаций. Сначала рас2i 2Lrsng смотрим случай kc = 0, s = 0 (B0 = 0 и рассеяние = +, (18) m(c)2U U отсутствует). Тогда, используя (2), из (23) имеем где U = Ib/IA — обобщенный первеянс пучRf 2 1 R2 R2 i 1 + - 1, (26) ка, IA = mc3/e — предельный ток Альфвена, R0 2 R2 R0 i kc =c/c — волновое число циклотронных колебаний частиц пучка в продольном внешнем магнитном поле с что при условии |R0|/R0 1 сводится к выражению индукцией B0.

В ситуации отсутствия процесса рассеяния (s = 0) и Rf 2 2(R0) 1 +. (27) внешнего магнитного поля (kc = 0) для первоначально R0 RЖурнал технической физики, 1997, том 67, № Определение конечного равновесного радиуса и прироста эмиттанса... Для случая отсутствия процесса рассеяния (s = 0), но при наличии внешнего продольного магнитного поля B0 из (23) и (25) для первоначального невращающегося пучка (Li = L0 = 0) имеем Rf 2 kc Rf 2 R0 ln + R2 - 1 = - 1, (31) i Ri 4U Ri Ri E2 U kc R2 - R2 + R4 - R4. (32) f 0 f (c)2 2 Рис. 3.

На рис. 3 и 4 для приведенных выше параметров РЭП представлена зависимость Rf /Ri и E2/(c)2 от величины индукции внешнего магнитного поля B0. Как видно из рисунков, соответствующие значения индукции могут заметно влиять на величину конечного равновесного радиуса и изменения среднеквадратичного эмиттанса.

Список литературы [1] Lee E.P. // Phys. Fluids. 1976. Vol. 19. N 1. P. 60–69.

[2] Lee E.P., Cooper R.K. // Part. Accel. 1976. Vol. 7. P. 83–95.

[3] Надеждин Е.Р., Сорокин Г.А. // Физика плазмы. 1983. Т. 9.

№ 5. C. 988–991.

[4] Lee E.P. // Livermore Lab. Rep. 1980. N UCID-18495. P. 15.

[5] Lee E.P., Yu S.S. // Livermore Lab. Rep. 1979. N UCID-18330.

P. 23.

Рис. 4.

[6] Lampe M., Joyce C. // Phys. Fluids. 1983. Vol. 26. N 11.

P. 3371–3376.

[7] Колесников Е.К., Мануйлов А.С. // ЖТФ. 1990. Т. 60.

Вып. 3. С. 40–44.

В этом случае из (25) легко получить результат [8] Колесников Е.К., Мануйлов А.С. // ЖТФ. 1991. Т. 61.

работы [5] Вып. 12. С. 43–46.

E2 =(c)2U(R0)2. (28) [9] Колесников Е.К., Мануйлов А.С., Абашкина И.В. // ЖТФ.

В ситуации отсутствия внешнего магнитного поля 1994. Т. 64. Вып. 11. С. 136–139.

(kc = 0) и при наличии процесса рассеяния с учетом [10] Колесников Е.К., Мануйлов А.С. // Письма в ЖТФ. 1991.

Т. 17. Вып. 3. С. 46–50.

малости изменения параметра при эволюции радиально[11] Barletta W.A., Lee E.P., Yu S.S. // Nucl. Fusion. 1981. Vol. 21.

го профиля тока пучка (|f - 0| 1) имеем N 8. P. 961–972.

[12] Fernsler R.F., Hubbard R.F., Lampe M. // J. Appl. Phys.

Rf 2 R0 exp() 1 + 2, (29) 1994. Vol. 75. N 7. P. 3278–3293.

R0 Rгде =2Lrsng/U.

Прирост среднеквадратичного эмиттанса в этом случае имеет вид U E2 =(c)2 R2(exp() - 1) +2exp()(Ro)2.

(30) В качестве иллюстрации на рис. 1 и 2 для случая РЭП с энергией электронов E = 5МэВ ( = 10), Ib = 10 кА, = 0.5, R0 = 1.3см, Ri = 1см и Lr 3L U/Rb представлены графики зависимости Rf /Ri и E2/(c)2 от концентрации атомов фонового газа ng (n0 = 1019 см-3). Нетрудно видеть, что процесс рассеяния, как и следовало ожидать, может существенно повлиять на значение конечного равновесного радиуса Rf, а также на прирост эмиттанса пучка.

Журнал технической физики, 1997, том 67, №




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.