WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 1 01;06;11 О проводимости двумерной системы с двоякопериодическим расположением круговых включений © Б.Я. Балагуров, В.А. Кашин Институт биохимической физики им. Н.М. Эмануэля РАН, 117997 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 10 апреля 2000 г.) Предложена последовательная схема вычисления проводимости и других эффективных характеристик модельного композита с регулярной анизотропной структурой — двумерной системы с включениями круговой формы, образующими прямоугольную решетку. Для электрического потенциала и эффективного тензора проводимости e найдены точные выражения в виде бесконечных рядов. В случае малой концентрации включений из общих формул получено вириальное разложение для e и выяснены условия его применимости.

Для изотропной модели (квадратная решетка) первые члены этого разложения воспроизводят известный результат Рэлея.

1. Изучение электрофизических свойств неоднород- эффективных величин. При немалых R система уравненых неупорядоченных сред ( в частности, композици- ний может быть решена численными методами, что дает онных материалов) наталкивается на известные матема- принципиальную возможность изучать различные эффектические трудности. Более благоприятна, особенно для тивные характеристики этой модели во всем интервале двумерных систем, ситуация для композитов с регу- изменения входящих в задачу параметров.

лярной структурой. В этом случае задача существенно 2. Исследуемая модель представляет собой двумерупрощается, так как здесь достаточно ограничиться на- ную изотропную матрицу проводимости 1 с вклюхождением потенциала в пределах одной элементарной чениями круговой формы радиуса R и проводимости ячейки. В то же время исследование проводимости и 2. Включения образуют регулярную структуру — их других характеристик подобных систем представляет центры расположены в узлах прямоугольной решетки с значительный интерес как с общефизической (например, периодами 2a вдоль оси x и 2b вдоль оси y. Рассмопроблема фазовых переходов), так и с прикладной (ми- трим ситуацию, когда разность потенциалов приложена кроэлектроника) точек зрения. в направлении оси x. В этом случае напряженность электрического поля E = E(x, y) кроме очевидной периПроводимость ряда двумерных двухкомпонентных сиодичности E(x + 2a, y) =E(x, y + 2b) =E(x, y) обладает стем с периодическим расположением включений (диследующей симметрией:

электрических или идеально проводящих) рассмотрена в [1] (см. также [2,3]). В наиболее интересном случае, Ex(-x, y) =Ex(x, -y) =Ex(x, y);

когда обе компоненты имеют конечную (ненулевую) проводимость, замкнутое решение задачи получено тольEy(-x, y) =Ey(x, -y) =-Ey(x, y). (1) ко для модели со структурой шахматной доски [1].

Более реалистическая модель — двумерная система В частности, вертикальные границы элементарной с регулярным расположением круговых включений — ячейки и прямая x = 0 являются эквипотенциалями, на рассматривалась еще в работе Рэлея [4]. Однако, несмокоторых Ey = 0, а горизонтальные (и прямая y = 0) — тря на относительную простоту модели, в [4] найдено линиями тока, на которых также Ey = 0.

только несколько первых членов вириального разложеВнутри включения для комплексного потенциала (z) ния для эффективной проводимости этой системы, что с учетом симметрии электрического поля (1) имеем обусловлено громоздкостью примененной в [4] схемы выражение (начало координат в центре круга) вычислений.

В настоящей работе предложен последовательный ме|z| < R : (i)(z) = A2n+1z2n+1 (z = x + iy) (2) тод решения задачи о проводимости двумерной модели n=с двоякопериодическим расположением (в узлах прямоугольной решетки) включений круговой формы радиу- с вещественными коэффициентами A2n+1. Производная са R. Комплексный потенциал вне включений выражен от функции (z) связана с составляющими напряженчерез дзета-функцию Вейерштрасса [5,6] и ее произ- ности E следующим образом: (z) =-Ex + iEy. Элекводные. Для неизвестных коэффициентов, входящих в трический потенциал (r) дается действительной частью общее выражение для потенциала, получена бесконечная (z): (r) =Re (z).

система уравнений. При малых R эта система решается Вне круга допустимы решения как с положительными, итерациями, что позволяет находить в аналитическом так и с отрицательными степенями z. Комплексный виде вириальные разложения для проводимости и других потенциал, явным образом учитывающий решеточную О проводимости двумерной системы с двоякопериодическим расположением круговых включений структуру модели и симметрию электрического поля (1), которое позволяет последовательно находить коэффициможет быть записан в виде енты ck по мере возрастания инденкса k.

Для,, g2 и g3, как следует из их определения, (2n) справедливы соотношения симметрии |z| > R : (e)(z) =z + B2n (z), (3) n=(b, a) =i (a, b); g2(b, a) =g2(a, b);

1 1 1 z (z) = + + + ;

g3(b, a) =-g3(a, b). (11) z z - zlm zlm (zlm)l,m Соответственно для коэффициентов ck имеем zlm = 2al + i2bm. (4) Здесь (z) — дзета-функция Вейерштрасса [5,6], ck(b, a) =(-1)kck(a, b), (12) (2n)(z) — производная порядка 2n от (z). Штрих в так что для квадратной решетки (a = b) все ck с (4) означает, что суммирование производится по всем нечетными индексами равны нулю [6]. В этом случае целым l и m, кроме l = m = 0. В (3) линейный по z член для,, g2 и g3 можно найти явные выражения [5,6] происходит от внешнего однородного поля, слагаемое с n = 0 отвечает полю от наведенных дипольных момен a = b : =, = -i ;

тов, члены с n 1 — от высших мультиполей. Коэффи4a 4a циенты и B2n в (3) вещественны. Используя известные свойства эллиптических функций Вейерштрасса [5,6], 1 g2 = K, g3 = 0, (13) нетрудно убедиться, что потенциал (3) удовлетворяет a4 вышеупомянутым условиям на границах элементарной ячейки и на ее осях симметрии.

где K(1 2) = 1.85407... — полный эллиптический 3. Приведем некоторые сведения о функции (z), интеграл первого рода с модулем k = 1/ 2.

которые понадобятся в дальнейшем. Согласно [5,6], При a = b величины,, g2, g3 определяются дзета-функция квазипериодична численными методами; соответствующие таблицы имеются, например, в [6]. В явном виде они могут быть (z + 2) =(z) +2, = (), найдены в предельных случаях (z + 2 ) =(z) +2, = ( ), (5) b a 1 : (a, b) - ;

где = a и = ib.

a b2 Величины и связаны между собой соотношением 1 4 1 Лежандра [5,6], имеющим в данном случае вид g2(a, b), g3(a, b) - ; (14) b4 12 b6 ib - a = i. (6) b 1 1 : (a, b) ;

a a Для (z) справедливо следующее разложение по сте1 4 1 пеням z [6]:

g2(a, b), g3(a, b). (15) a4 12 a6 1 ck Предельные значения для следуют из соотношений (z) = - z2k-1, (7) z 2k - (6) и (11). Для коэффициентов ck справедлины аналоk=гичные выражения где g2 g3 c2 =, c3 =, c4 = c2, 2 b 2k - 1 20 28 1 : ck (-1)k · 2 ;

a (2b)2k m=1 m2k 3 c5 = c2c3, c6 = (2c3 + 3c2),.... (8) 2 11 b 2k - 1 В (8) g2 и g3 — инварианты функции Вейерштрас 1 : ck 2, (16) a (2a)2k m=1 m2k са [5,6] 1 1 связанные соотношением (12).

g2 = 60, g3 = 140 (9) 4. Электрические потенциалы (e)(r) = Re (e)(z) (zlm)4 (zlm)l,m l,m и (i)(r) = Re (i)(z) на границе включения (r = R) должны удовлетворять стандартным условиям с zlm из (4). Величины ck удовлетворяют рекуррентному соотношению [6] (e) = (i), k-3 r = R : (17) ck = cmck-m (k 4), (10) (e) h (i) h = 2.

=, (2k + 1)(k - 3) m=2 r r Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 108 Б.Я. Балагуров, В.А. Кашин Дифференцирование разложения (7) 2n раз дает Здесь коэффициенты cn+m+1 определены в (7)–(10), а величина —в (24). Матрица симметрична; величина (2n)! (2n + 2m)! S00 = 0, так как коэффициент c1 0.

(2n)(z) = - cn+m+1z2m+1. (18) Уравнения (23), (25)–(26) и соотношения (22), (24) z2n+1 m=0 (2m + 1)! дают принципиальную возможность выразить все коэффициенты B2n и A2n+1 через величину. В свою очередь Подставив (18) в (3), положив z = r exp{i} иотделив связана с разностью потенциалов Ux (см. формулу действительную часть, получим (28)), которую считаем заданной. Таким образом, вы ражения (22)–(26) дают формальное точное решение (2n)! (e)(r) =r cos + B2n основной задачи — отыскания потенциала (r).

r2n+n=5. Падение напряжения на элементарной ячейке Ux и полный ток через нее Ix в направлении оси x выражаются (2n + 2m)! - B2m cn+m+1r2n+1 cos(2n + 1). (19) через комплексный потенциал (z) следующим образом:

(2n + 1)! m=Ux = -Re (a + iy) - (-a + iy), Аналогичным образом из (2) находим Ix = -1Im (x + ib) - (x - ib). (27) (i)(r) = A2n+1r2n+1 cos(2n + 1). (20) Подстановка в (27) (z) из (3) с учетом (5) дает n=Ux = -2a + B0, Подстановка (19) и (20) в (17) дает систему уравнений a (2n)! (2n + 2m)! Bn0 + B2n - B2m cn+m+1 = A2n+1, Ix = -2b1 - - b. (28) R4n+2 m=0 (2n + 1)! ab В Ix величина Im выражена через с помощью (2n)! соотношения (6). Для проводимости вдоль оси x (соn0 - B2n R4n+ответствующее главное значение эффективного тензора проводимости e) xe = (aIx)/(bUx) из (28) получаем (2n + 2m)! - B2m cn+m+1 = hA2n+1. (21) (B0 = x0R2) (2n + 1)! m=R2 R2 -Здесь n0 — символ Кронекера. Вычитая в (21) второе xe = 1 - - b · + ;

уравнение из первого, найдем ab 2 a 2 (2n)! A2n+1 = B2n. (22) =. (29) 1 - h R4n+2 xТаким образом, для вычисления xe достаточно найти Исключая из (21) коэффициент A2n+1, получим величину x0 (т. е. коэффициент B0).

При малых R систему уравнений (25) можно решать 1 - h (2n + 2m)! B2n + B2m R4n+2cn+m+итерациями — разложением по степеням матрицы.

1 + h (2n)!(2n + 1)! m=Найдем соответствующее разложение для величины из (29). При n = 0, согласно (25), имеем (с учетом 1 - h = R2n0. (23) S00 = 0) 1 + h = x0 + S0mxm, (30) Вводя вместо B2n ”переменные” xn согласно m =а при n = 0 из (25) следует равенство R2n+2 1 - h B2n = xn, =, (24) 1 + h (2n)!(2n + 1)! n = 0 : xn = -x0Sn0 - Snmxm. (31) m =приведем (23) к виду Решая уравнение (31) итерациями, найдем xn + Snmxm = n0, (25) m=0 n = 0 : xn = x0 -Sn0 + SnmSmm где (2n + 2m)!R2(n+m+1)cn+m+- SnlSlmSm0 +.... (32) Snm =. (26) (2n)!(2n + 1)!(2m)!(2m + 1)! l m Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. О проводимости двумерной системы с двоякопериодическим расположением круговых включений Подстановка (32) в (30) дает с из (38) и c = R2/(2a)2. Найденное в работе Рэлея [4] выражение для e следует из (39) при удержании в разложении (38) трех первых членов (до R = 1 - S0mSm0 + S0eSlmSmвключительно).

m l m Выражения (37), (38) представляют собой вириальные - S0kSklSlmSm0 +.... (33) разложения, формальным малым параметром которых k l m является концентрация включений c = R2/(4ab). При a b условие c (R/a)2 1 (или R a) обеспечивает В (32) и (33) штрих у знака суммы означает, что быструю сходимость ряда (37). При a = b область суммирование производится от 1 до. Заметим, что применимости вириального разложения еще шире, так с помощью матрицы T, определенной согласно как в этом случае параметром разложения является четвертая степень концентрации (см. (38)). Действи0, m = 0, тельно, поправка R8 в (38) не превосходит 1% в Tnm = (34) Snm, m = 0, интервале 0 R 0.7a при || = 1 (т. е. при h = или h = ). В то же время при сильной анизотропии выражениям (32) и (33) можно придать компактный вид (a b или a b) условия c 1 недостаточно. Так, при b/a 1, используя выражение для g2 из (14), n = 0 : xn = -x0 (1 + T)-1, (35) n0 находим, что поправка R8 в (37) мала при c b/a или R b. Соответственно при b/a 1 эта поправка = 1 - (1 + T )-1. (36) 00 мала приc a/b или R a (в обеих оценках положено || 1). Таким образом, условием достаточно быстрой Используя явное выражение для матрицы (см. (26)), сходимости разложения (37) является R min{a, b}.

из (33) можно найти разложение величины по степеСогласно (12), при перестановке a b коэффициенты ням R. Так, с точностью до членов R24 включительно ck с нечетными индексами меняют знак. При этом в получаем разложении (33) для величины часть слагаемых также 1 1 2 меняет знак. Как видно, например, из (37), эти слагаемые = 1 - R8c22 - R12c22 + R14c2c2 3 содержат нечетные степени, так что двойная замена 3 5 a b и - оставляет величину = (a, b; ) 1 1 - R16c22 + 2R18c2c3c43 - R20 c2 + 4c2c22 2 неизменной 4 5 2 7 3 (b, a; -) =(a, b; ). (40) 4 + 2R22 c2c4c5 + c2c5 3 Этот же вывод следует и из общего выражения (33) 3 для. Аналогичным образом для величин n = xn/ получаем - R24 c2 + 4c2c2c42 + 5c2c22 2 +.... (37) 6 3 2 n(b, a; -) =(-1)nn(a, b; ), (41) Здесь c2, c3, c4,... определены в (8), а —в (24). Для так что равенство (40) для = 1/0 ялвяется частным квадратной решетки (a = b), когда все коэффициенты случаем этого соотношения.

ck с нечетными индексами равны нулю, выражение для 6. Случай, когда разность потенциалов приложена несколько упрощается. В этом случае с точностью до вдоль оси y, рассматривается тем же методом, что членов R40 включительно имеем и выше. Так, комплексные потенциалы внутри и вне включения имеют вид 1 1 = 1 - R8c22 - R16c22 - R24 c2 + 5c2c22 2 4 6 2 3 7 (i)(z) =-i C2n+1z2n+1, (42) n=- R32 c2 + 5(12c2c2c6 + 5c2c2)2 8 4 2 (e)(z) =-i z - D2n(2n)(z) (43) 1 - R40 c2 + 13 124c2c4c6c8 + c2c2 n=10 2 19 с вещественными коэффициентами, C2n+1 и D2n. Дальнейшие выкладки почти буквально повторяют вышепри+ 180c2c22 + 75c2c44 2 -.... (38) 4 6 2 4 веденные. В результате находим R2n+Для квадратной решетки эффективная проводимость D2n = yn, системы e изотропна и имеет вид (2n)!(2n + 1)! 2 1 e - c 2c C2n+1 = yn, (44) = = 1 - (39) 1 + h R2n 1 + c + c 2n + Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 110 Б.Я. Балагуров, В.А. Кашин где величины yn удовлетворяют системе уравнений Функция может быть выражена через напряженность электрического поля E()(r) при H = 0 [9] (x) (y) (x) (y) yn - Snmym = n0 (45) Ex Ey - Ey Ex (2) = 1 -. (51) m=(x) (y) Ex Ey с матрицей из (26).

(2) Здесь... — интеграл по площади включения, деленПадение напряжения Uy и полный ток Iy выражаются ный на площадь элементарной ячейки; индекс у E() через комплексный потенциал (z) следующим образом:

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.