WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1999, том 69, вып. 5 01;10 Движение частицы в постоянном магнитном поле и в поле плоской монохроматической электромагнитной волны © Е.М. Болдырев Институт физики высоких энергий, 142284 Протвино, Московская область, Россия (Поступило в Редакцию 8 января 1998 г. В окончательной редакции 19 октября 1998 г.) Получено решение уравнения движения заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле — суперпозиции постоянно-однородного магнитного поля и поля плоской монохроматической эллиптически поляризованной электромагнитной волны как решение задачи Коши. Рассматривается случай резонанса.

Проводится анализ полученного решения.

Введение частицы; |e| — величина заряда частицы; c —скорость света, W — скалярный потенциал электромагнитного Решение уравнения движения заряженной частицы во поля волны; AW, AH — векторные потенциалы этих повнешнем поле — суперпозиции постоянно-однородного лей; AW —амплитуда (комплексная) электромагнитной 0 магнитного поля и поля плоской, монохроматической волны; n — вектор направления распространения волны.

электромагнитной волны, поляризованной по кругу как Волновой 4-вектор для электромагнитного поля волны задачи Коши, было получено в [1]. В настоящей ра, k, k = n, боте аналогичное решение находится для случая плосc c кой монохроматической, эллиптически поляризованной EW, HW — напряженность электрического и магнитного электромагнитной волны, которое как частные случаи полей волны; H — напряженность постоянного однородвключает и указанное выше решение, и решение для ного магнитного поля (H — величина этого поля).

плоской монохроматической линейно поляризованной Условия калибровки для электромагнитного поля волэлектромагнитной волны.

ны есть W = 0 и div AW =0, Задача имеет не только академический интерес, но и практическое значение, поскольку указанный тип волны 1 AW = AW ei(kr-t) + k.c.

0 с высокой точностью соответствует электромагнитному полю лазерного пучка, на основе которого функциони(k.c. — комплексно-сопряженные члены).

руют такие системы, как лазер на свободных электронах Согласно и как ондулятор [2]. Для разработки указанных систем 1 A требуется тщательный анализ движения заряженной чаE = -, H = rot A, c t стицы в приведенной конфигурации полей.

Сама постановка задачи (исходная электромагнитная EW = EW ei(kr-t) + k.c., волна берется в самом общем виде), корректность решения и полученное решение, представленное в явной зави- где симости от начальных данных, от амплитуд поляризации, EW = i AW, HW =[n, EW ].

0 c от комбинации знака заряда частицы и степени поляСледуя стандартной процедуре для учета поляризации ризации электромагнитной волны, позволяют применять электромагнитной волны [3], представим амплитуду наполученное решение непосредственно в практических пряженности волны в виде расчетах.

EW = Re EW + i Im EW 0 0 Условные обозначения.

и введем два вещественных вектора Постановка задачи E(1) = Re EW cos + Im EW sin, 0 0 В настоящей работе (x, y, z, ct) — координаты точки E(2) = Re EW sin - Im EW cos, 0 0 в четырехмерном пространстве. Трехмерный вектор V так чтобы в этом пространстве будет, как обычно, обозначить V;

E(1), E(2) = 0, [x, y, z] — координаты этого вектора; (a, b) —скалярное 0 произведение векторов; r — радиус-вектор положения для этого надо выбрать угол такой, чтобы заряженной частицы, r0 — радиус-вектор ее начального положения; m — масса частицы; — кинетическая энер- 2(Re EW, Im EW ) 0 tg 2 =.

гия частицы; 0 — ее начальная энергия; P —импульс (Re EW )2 - (Im EW )0 частицы; P0 — ее начальный импульс; v — скорость Движение частицы в постоянном магнитном поле и в поле плоской монохроматической... Теперь выберем систему координат следующим обра- Из третьего и четвертого уравнений системы (2) непосредственно видно, что есть интеграл этой системы, зом: ось 0x направим вдоль вектора E(1), тогда вектор т. е. интеграл движения, и, следовательно, = 0 - 0x.

E(2) будет направлен либо вдоль оси 0y, либо против;

При этом и r связаны соотношением это учитывается введением вектора gE(2), где g = ±1, и при g = 1 E(2) имеет с осью 0y противоположное dr =. (3) направление, а при g = -1 совпадает с осью 0y (т. е.

c d g — степень поляризации волны); ось 0z направим вдоль направления распространения волны (и вдоль направле- Сучетом(3) левые части первого и второго уравнений системы (2) соответственно можно представить в виде ния постоянного однородного магнитного поля). Введем допустимое преобразование координат x = x, y = y, d z = z, = t - (z/c). Тогда в этой системе (опустим ge sin( - ) +ge hy, d c штрихи) напряженности электромагнитного поля исходной суперпозиции имеют вид d - gge cos( - ) +ge hx, (2) (1) d c H = -gE0 sin( - ), E0 cos( - ), H, и мы имеем еще два интеграла движения (1) (2) E = E0 cos( - ), gE0 sin( - ), 0.

x = 0x - ge sin(0 - ) - ge hy0, c Для определения импульса P(t) заряженной частицы в таком внешнем поле с последующим вычислением ее y = 0y + gge cos(0 - ) +ge hx0.

траектории r(t) имеем следующую задачу Коши [3]:

c dP e d Из этих интегралов движения с учетом (3) для опреде= eE + [v, H], = e(E, v), dt c dt ления x() и y() имеем следующую систему уравнений:

P(t0) =P0, (t0) =0. (1) dx c 1 c = ge sin( - ) +ge hy + x, d c Введенное выше преобразование координат на множестве решений (1) индуцирует преобразование dy c 2 c x () =x(t), y () =y(t), z () =z(t), =t - (z(t)c), = -gge cos( - ) +ge hx- y. (4) d c при этом d - cPz d Дифференцируя первое уравнение этой системы по, =.

dt d с учетом второго уравнения для определения x() имеем Положим e = ge|e|, ge =+1 для положительно заря- дифференциальное линейное неоднородное уравнение женной частицы и ge = -1 для отрицательно заряженной d2x c частицы;

+ hx = geh d(1) ( |e|E0 |e|E02) P P1 =, 2 =, =, =, 1 mc mc mc mc - gge cos( - ) +y. (5) h 0 |e|H =, 0 =, = - z, h =.

mc2 mc2 mc При решении этого уравнения мы должны различать Тогда следующие четыре случая: |h| =||, |h| =||, h =0, d d = 0. Последние два случая рассматриваются как част= dt d ные случаи первого случая. В первых двух случаях имеем общий интеграл уравнения (5) x(, C1, C2), после чего из и (1) имеет вид (4) определяем y(, C1, C2) и далее, используя (3), нахоdx дим x(, C1, C2) и y(, C1, C2); z(, C1, C2, Cx) (Cx — = ge1 cos( - ) +gehy, d аддитивна) и z(, C1, C2, Cz, Cz) (здесь аддитивна Cz) находим элементарным интегрированием из третьего уравdy =ge2 sin( - ) - gehx, нения системы (2). Поскольку в задаче Коши (2) только d три уравнения являются независимыми [4], то для опреdz деления четырех произвольных констант C1, C2, Cz, Cz = ge [x1 cos( - ) +gy2 sin( - )], d имеем, согласно начальным условиям, шесть уравнений, d 1 но из них только четыре независимых, что и позволя= ge [x1 cos( - ) +gy2 sin( - )], ет решением четырех уравнений относительно четырех d неизвестных определить указанные константы и решить (0) =0, (0) =0. (2) тем самым задачу.

Журнал технической физики, 1999, том 69, вып. 108 Е.М. Болдырев x = R 11( - 0) cos( - ) +R 12 cos ( - 0) В третьем случае первые два уравнения в (2) независимы и, следовательно, система решается элемен+ R 13 sin ( - 0), тарным интегрированием без использования интегралов движения x и y, все шесть констант интегрирования y = R 21( - 0) sin( - ) +R 22 cos ( - 0) аддитивны и без особого труда находятся из начальных + R 23 sin ( - 0), условий задачи Коши (2).

В четвертом случае интегрирование уравнений и опреz = R 31( - 0)2 + R 32( - 0) деление констант подробно описаны в соответствующей литературе (см., например, [4]) и в настоящей работе не + R 33( - 0) sin 2( - ) делается. По указанной причине нет необходимости и в + R 34 cos 2( - ) +R 35 sin 2( - ) +R 36.

анализе этого решения.

Случай h = 0:

Решение задачи x = W11( - 0) +W12 cos( - ) +W13, Указанные решения имеют вид.

y = W21( - 0) +W22 cos( - ) +W23, Случай |h| =||:

z = W31( - 0) +W32 sin 2( - ) x =C11 cos h( - 0) +C12 sin h( - 0) + W33 cos( - ) +W34 sin( - ) +W35, + C13 cos( - ) +C14, x = W11 sin( - ) +W12, y = C21 cos h( - 0) +C22 sin h( - 0) y = W21 cos( - ) +W22, + C23 sin( - ) +C24, z = W31 cos 2( - ) +W32 cos( - ) z = C31 cos[h( - 0) - ( - )] + C32 cos[h( - 0) + W33 sin( - ) +W32.

+( - )] + C33 sin[( - 0) - ( - )] Случай = 0:

+ C34 sin[h( - 0) +( - )] x = H11 cos h( - 0) +H12 sin h( - 0) +H13, + C35 sin 2( - ) +C36( - 0) +C37, y = H21 cos h( - 0) +H22 sin h( - 0) +H23, x = C11 cos h( - 0) +C12 sin h( - 0) z = H31( - 0) +H32, x = H11 cos h( - 0) +H12 sin h( - 0), + C13 sin( - ), y = H21 cos h( - 0) +H22 sin h( - 0), y = C21 cos h( - 0) +C22 sin h( - 0) z = H31.

+ C23 cos( - ), Во всех случаях (z-0z)+0. Коэффициенты, которые z = C31 cos[h( - 0) - ( - )] + C32 cos[h( - 0) будем называть амплитудами (хотя это и не совсем корректно), Ci j, Ci j, Ri j, R i j, Wi j, Wi j, Hi j, Hi j приведены +( - )] + C33 sin[h( - 0) - ( - )] в [5]. Численные значения индексов ij непосредственно видны из приведенного решения.

+ C34 sin[h( - 0) +( - )] + C35 cos 2( - )] + C36.

Анализ решения Случай |h| = ||:

Как видно из самого решения и из выражения амплиx = R11( - 0) sin( - ) +R12 cos ( - 0) туд, движение заряженной частицы в указанной суперпозиции полей происходит довольно сложным образом + R13 sin ( - 0) +R14, и не является в общем случае простой суперпозицией движений в поле электромагнитной волны и постоянном y = R21( - 0) cos( - ) +R22 cos ( - 0) однородном магнитном поле, а поэтому анализ решения, + R23 sin ( - 0) +R24, (а он, как это видно, сводится к анализу амплитуд), достаточно объемный, если его рассматривать в завиz = R31( - 0)3 + R32( - 0)2 + R33( - 0) симости от всех тех постоянных, от которых зависят амплитуды. В настоящей работе мы ограничимся таким + R34( - 0) cos 2( - ) +R35 cos 2( - 0) анализом, который представляет несомненный физиче+ R36 sin 2( - 0) +R37, ский интерес, а именно существованием начальных и Журнал технической физики, 1999, том 69, вып. Движение частицы в постоянном магнитном поле и в поле плоской монохроматической... прочих условий, при которых частица движется в одной Случай |h| = || плоскости x = const или y = const (без ограничения общности ограничимся последней плоскостью), и асим- В этом случае имеем четырнадцать независимых амплитуд. Отличие от нуля амплитуды R11 делает движение птотики для 1.

Будем говорить, что выражение имеет нулевой поря- в этом случае принципиально отличным от движения в первом случае. Однако необходимым условием для того, док, если оно равно 0(1/0) (т. е. не зависит от ), и чтобы частица двигалась в плоскости y = const, есть имеет первый порядок, если оно равно 0(1/1), и т. п.

Далее из явного выражения амплитуд их можно услов- именно условие R11 = 0, т. е. условие - = 0 или 1 = gge2, откуда с необходимостью следует чтобы но рассматривать как независимыми, так и такими, случай |1| =|2| был исключен, и мы фактически име которые выражаются через последние. В дальнейшем ем случай круговой поляризации. Тогда при выполнении значения амплитуд в частных случаях будем выписывать только для независимых амплитуд, за исключением вы- дополнительных условий 0x = ge(1/) sin(0 - ), ражений для асимптотики, поскольку указанная зависи- oy = 0 имеем мость в общем случае не сохраняет порядок амплитуд.

c 1 c Отметим, что круговая поляризация имеет место, ко- R12 = -ge cos(0 - ), R13 = ge sin(0 - ), 2 гда 1 = 2, и в случаях |h| = || и |h| = || полученное решение совпадает с решением в [1].

c 1 c R33 = 0z + cos 2(0 - ), 4 2 Случай |h| =|| 1 c R35 = - sin 2(0 - ), 8 2 В этом случае мы имеем девять независимых ам1 плитуд. Для того чтобы частица двигалась в плоскости R 12 = ge sin(0 - ), R 13 = ge cos(0 - ).

y = const, необходимо, что бы h = 0, и достаточно положить Остальные независимые амплитуды равны нулю.

0x = ge sin(0 - ) Об асимптотике в этом случае вообще говорить не приходится, поскольку здесь, фактически являясь лари oy = 0. Отсюда сразу следует, что в данном случае для моновой частотой, сравнима с i (i = 1, 2). Однако круговой поляризации подобное движение невозможно.

можно сказать, что с точностью до членов первого В этом случае имеем порядка при выполнении условий - = 0 и очень c 1 c большом продольном импульсе и при остальных незаC13 = -ge, C14 = x0 + ge cos(0 - ), 2 висимых амплитудах, в этом приближении равных нулю, 1 c 1 мы имеем C24 = y0, C35 = -, 8 2 R12 = H11, R13 = H12, R14 = H13, R22 = H21, c 1 c C36 = 0z + cos 2(0 - ), 4 2 R23 = H22, R24 = H23, R33 = H31, R37 = H32, 1 c C37 = z0 + sin 2(0 - ).

т. е. траектории частицы такие же, как и траектории в 8 2 постоянном однородном магнитном поле. Но для имОстальные независимые амплитуды равны нулю. Для пульсов подобное не имеет место и на движение в указанной асимптотики с точностью до нулевого порядка постоянном однородном магнитном поле накладываются имеем осцилляции электромагнитной волны.

C11 = H11, C12 = H12, C14 = H13, C21 = H21, C22 = H22, C24 = C23, C36 = H31, C37 = H32, Случай h = C11 = H11, C12 = H12, C21 = H21, C22 = H22, C36 = H31.

В этом случае мы имеем 11 независимых амплитуд.

Остальные амплитуды в этом приближении равны Для того чтобы частица двигалась в плоскости y = const, нулю, и тем самым мы имеем движение в постоянном необходимо чтобы 2 = 0, и, принимая еще дополниоднородном магнитном поле. С точностью до членов тельно 0y = 0, мы видим, что амплитуды W11, W12, W13, первого порядка, если 0x = 0y, для пространственных W11 остаются без изменения, а остальные отличные от компонент мы опять имеем колебательный процесс с нуля независимые равны частотой h, но для импульсов имеем суперпозицию двух колебательных процессов с частотой и h (ср. [1]).

c 1 W23 = y0, W31 = 0z - ge 0x sin(0 - ) Отметим, что в предельном случае малых частот имеем колебательный процесс с частотой, который с 2 случае круговой поляризации представляет собой винто1 1 1 1 - cos 2(0 - ) +, вое движение с указанной частотой.

4 2 2 Журнал технической физики, 1999, том 69, вып. 110 Е.М. Болдырев 1 c 1 c численным методом. При рассмотренной асимптотике W32 = -, W35 = z0 + ge 0x cos(0 - ) 8 2 3 2 2 это решение находится просто, поскольку в этом случае вдоль z-оси частица фактически движется равномерно.

3 c - sin 2(0 - ).

В заключение автор выражает благодарность А.П. Во8 2 робьеву за обсуждение и сделанные замечания.

В этом случае также представляет интерес существование таких начальных и прочих условий, при которых мы имеем винтовое движение, а именно Список литературы 1 0x = ge sin(0 - ), 0y = -gge cos(0 - ).

[1] Болдырев Е.М. // ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 2. С.

[2] Dattoli G., Torre A. // Free-electron Laser Theory. 1989.

CERN 89-03.

В этом случае амплитуды W12, W13, W22, W23, W32, W11, [3] Левич В.Г. Курс теоретической физики. Т. 1. М., 1968.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.