WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 4 04;10 Кинетический подход к получению уравнения огибающей релятивистского электронного пучка, распространяющегося в рассеивающей газоплазменной среде при наличии обратного плазменного тока произвольного радиального профиля © A.С. Мануйлов Санкт-Петербургский государственный университет, Научно-исследовательский институт математики и механики им. В.И. Смирнова, 198504 Санкт-Петербург, Россия e-mail: Kolesnikov_evg@mail.ru (Поступило в Редакцию 29 апреля 2004 г.) С помощью кинетических методов получены уравнения переноса, уравнение вириала, условие динамического равновесия и уравнение огибающей аксиально-симметричного параксиального релятивистского электронного пучка, распространяющегося в рассеивающей газоплазменной среде при наличии обратного плазменного тока, радиальный профиль плотности которого отличается от соответствующего профиля пучка.

Найденные уравнения включают дополнительные члены, учитывающие указанное отличие.

Введение плотные газы, а также изучению радиальной структуры плотности указанного тока посвящен ряд эксперименВ последнее время внимание исследователей все боль- тальных и теоретических работ [13–19]. Было показано, ше привлекает проблема транспортировки релятивист- что плотность обратного плазменного тока во многих ских электронных пучков (РЭП) в плотных газоплаз- ситуациях имеет радиальную конфигурацию, существенно отличающуюся от радиальной структуры плотности менных средах [1–27]. Одним из важных вопросов при тока самого пучка, что оправдывает приведенное выше решении этой проблемы является изучение поперечной предположение.

эволюции пучка в рассеивающем фоновом газе.

Вследствие сильной неравновесности процесса рас- Кроме того, в отличие от [6,22–25] будем считать, что имеет место полная зарядовая компенсация. В плотных пространения РЭП в газоплазменной среде, а также газоплазменных средах указанная ситуация реализуется доминирующего влияния, которое оказывает на этот процесс коллективное электромагнитное поле, возбу- при достаточно высоких значениях омической скалярной проводимости, когда выполнено условие ждаемое зарядами и токами частиц пучка и плазмы, естественной методологической основой для построения c m, (1) моделей транспортировки РЭП в газоплазменной среде является аппарат кинетических уравнений Власова– где c =(4 )-1 — время зарядовой нейтрализации, Больцмана с самосогласованным полем и следующих из m = 4 R2/c2 — скиновое время (время затухания них уравнений для моментов функции распределения b равновесного обратного плазменного тока). Здесь Rb — частиц пучка и фазовых средних. В общем случае характерный радиус пучка, c — скорость света.

указанные модели наряду с самосогласованным полем должны учитывать воздействие на частицы пучка внеш- Известно, что в параксиальном приближении [6,23,24] них электромагнитных полей, а также эффект рассеяния продольное движение частиц пучка является детермичастиц пучка в столкновениях с частицами фонового нированным, в то же время распределение частиц РЭП газа. по поперечным импульсам и координатам носит стоВ отличие от известных работ [6–12,20–25] в настоя- хастический характер и описывается соответствующим щей статье получим основные уравнения поперечной ди- кинетическим уравнением.

намики параксиальных моноэнергетичных РЭП в ситуа- В дальнейшем ограничимся рассмотрением представции, когда радиальный профиль обратного плазменного ляющего основной практический интерес случая патока Jpz (r) отличается от радиальной конфигурации раксиального азимутально-симметричного пучка с осью плотности тока самого пучка Jbz (r). Последнее пред- симметрии, совпадающей с направлением распространеположение существенно усложняет получение основных ния пучка вдоль оси z цилиндрической системы коордиуравнений поперечной динамики РЭП, включая и вывод нат.

уравнения огибающей пучка с помощью кинетического Аналогично работам [6–8] представим пучок в виде уравнения.

совокупности тонких поперечных сегментов S, каждый Необходимо отметить, что исследованию генерации из которых инжектируется в момент времени t = и обратного плазменного тока при инжекции РЭП в содержит фиксированное число частиц.

104 A.С. Мануйлов Предположим, что все частицы данного сегмента име- E = p2 /(2m) в результате многократного кулонов ют одинаковую релятивистскую массу m и продольную ского рассеяния и для конкретной рассеивающей среды скорость vz = c (пренебрегаем разбросом в пределах может быть рассмотрена как известная функция полсегмента). Таким образом, полагается, что на выходе ной энергии частицы E = mc2. Заметим, что интеграл из инжектора пучок является моноэнергетическим и, столкновений (8) является частным случаем интеграла кроме того, среда, в которой он распространяется, столкновений Фоккера-Планка [6,26], в котором вектор однородной. Тогда при сделанных предположениях все скорости переноса по поперечному импульсу p pавен частицы сегментов S одинаковым образом эволюциони- нулю вследствие изотропности рассеяния, а тензор обобруют по координате z и в любой момент времени име- щенных коэффициентов диффузии в силу изотропности ют одинаковую энергию E(t) и релятивистскую массу и упругого характера рассеяния является диагональным mr = m = E(t)/c2, причем в процессе распространения и не зависит от поперечного импульса p.

сегменты S не пересекаются [6,24,25]. Для замыкания системы уравнений (2)-(8) они должДля фиксированного сегмента S введем в рас- ны быть дополнены уравнением, связывающим плотносмотрение функцию распределения частиц сегмента сти тока плазмы Jpz (r) и соответствующую плотность f (r, p, t) по поперечным координатам r и импуль- пучка Jbz (r).

сам p, эволюция которой будет описываться кинетиче- В отличие от [6,24,25] в рассматриваемой ситуации ским уравнением плотность обратного тока плазмы не может быть представлена в виде f p + r f + Fp f = Isc, (2) t m Jpz (r) =-mJbz (r), где F — поперечная компонента силы, действующей на где m — коэффициент токовой (магнитной) нейтрачастицу пучка со стороны коллективного самосогласолизации, который в указанных работах полагался не ванного электромагнитного поля системы плазма–пучок, зависящим от r (т. е. Jpz и Jbz имеют одинаковые радиIsc — интеграл столкновений.

альные профили с равными характерными поперечными В ситуации полной зарядовой компенсации имеем радиусами).

Для нормированной к 1 функции распределения F = qr Az (t, r), (3) f ( f drdp = 1) плотность тока определяется выражением где q — заряд частиц пучка, = vz /c; Az (t, r) является Jbz (r, t) =Ib(t)b(r, t), (9) решением уравнения где Ib(t) — полный ток пучка, Az = - Jbz (t, r) +Jpz (t, r), (4) r c b(r, t) = f (r, p, t)dp (10) которое имеет вид (b) (p) — пространственная концентрация частиц пучка, отнеAz =(t, r) =Az (t, r) +Az (t, r), (5) сенная к числу частиц N0 в сегменте S.

где Плотность обратного плазменного тока Jpz (r, t) мо жет быть определена из уравнения [27] 2 r - r (b) Az (t, r) =- Jbz (t, r ) ln dr, (6) c Rc Jpz Jpz Jbz + = -, (11) t m t 2 r - r (p) Az (t, r) =- Jpz (t, r ) ln dr (7) где m — монопольное скиновое время.

c Rc Для удобства Jpz можно представить в виде, аналогич— соответственно аксиальные компоненты векторного ном (9), потенциала, обусловленные током пучка и обратным Jpz (r, t) =I (t)p(r, t), (12) p плазменным током. Здесь Rc — радиус экранировки коллективного электромагнитного поля фоновой плазмой, где I (t) — полный обратный плазменный ток;

p т. е. предполагается выполнение условия Az rRc = 0.

p(r, t) — концентрация частиц плазмы, отнесенная к В условиях доминирующей роли процессов много- числу частиц плазменного тока в сегменте пучка S.

кратного кулоновского рассеяния на малые углы интеНетрудно видеть, что решение уравнения (11) имеет грал столкновений в уравнении (2) может быть записан вид в виде [6,26] t t mS Isc = f. (8) (bIb) dt p Jpz (r, t) =I (t)p(r, t) =- exp.

p t m(t ) Величина S характеризует среднюю скорость измене- t ния поперечной кинетической энергии частицы пучка (13) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Кинетический подход к получению уравнения огибающей релятивистского электронного пучка... С учетом (3), (5) и (8) кинетическое уравнение (2) Наконец, умножая (14) на p2 /2m и интегрируя по может быть записано следующим образом: пространству поперечных импульсов, получим уравнение переноса энергии f p (b) (p) + r f + qr Az + Az p f t m p2 1 d b p2 b p p b + + t 2m dt 2m 2mmS = f, (14) p bp (b) (p) (b) (p) - q Az + Az = bS, (21) где потенциалы Az и Az определяются соотношенияm ми (6) и (7).

где b p2 = f p2 dp, (22) Уравнения переноса Из уравнения (14) могут быть получены уравнения b p p = f p p2 dp. (23) для первых моментов функции распределения f, которыми определяются основные макроскопические харакТретий член в левой части (21) характеризует скотеристики пучка.

рость изменения средней энергии поперечного движения Интегрирование уравнения (14) по пространству почастиц сегмента пучка S, связанного с наличием потока перечных импульсов дает уравнение энергии с плотностью b p + b = 0, (15) 2 b p p b v p t m R0 = =. (24) 2m22 2m где b(r, t) — плотность частиц пучка в сегменте S, Четвертый член в левой части (21) может быть определяемая интегралом (10); r ;

записан в виде p(r, t) = p f dp (16) qbp (b) (p) b - Az + Az = J Eeff, (25) m — средний поперечный импульс.

В силу того что p/m = (где — средняя где J = -qbp/m = -qb и Eeff представлено поперечная скорость частиц пучка), уравнение (15) в (19).

представляет собой обычное уравнение непрерывности, Как видно из (21), этот член характеризует скорость выражающее закон сохранения числа частиц рассматри- изменения энергии поперечного движения, обусловленваемого сегмента пучка.

ного работой сил, действующих на частицы пучка со Умножая уравнение (14) на p и интегрируя по стороны самосогласованного коллективного электромагпоперечным импульсам, получим уравнение переноса нитного поля.

поперечного импульса Наконец, второй член в левой части (21) и bS характеризуют скорости изменения энергии поперечного pp (b) (p) движения, вызываемого соответственно неупругими и (bp) + b - bq Az + Az = 0, t m упругими столкновениями частиц пучка с частицами (17) газоплазменной среды.

где bpp = f (r, p, t)ppdp. (18) Уравнение вириала.

Условие динамического равновесия Уравнение (17) с учетом (15) может быть записано в виде Умножим уравнение переноса импульса (17) скалярно p на r и проинтегрируем полученное выражение по + p = - - qEeff, (19) пространству поперечных координат. После ряда преобt b разований получим (b) (p) где Eeff = Az + Az — поперечная компонента d m dRэффективного электрического поля, = 2(E - TB) dt 4 dt p = (p - p)(v - ) f dp (20) I r - r p - 4 TB br p ln dr dr, Ib Rc — тензор напряжений. (26) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 106 A.С. Мануйлов где Уравнение для средней полной p поперечной энергии частиц пучка E = b dr (27) 2m — средняя кинетическая энергия поперечного движения Рассмотрим далее полную энергию частиц сегмента частиц сегмента пучка, пучка, которую определим как сумму средней кинетической энергии поперечного движения E и средней R2 = 2 br2 dr (28) потенциальной энергии частиц в эффективном коллек (b) (p) тивном электрическом поле Eeff = - -Az - Az — удвоенный среднеквадратичный радиус сегмента = E +, (37) пучка, q mv2 Ib z где TB = Ib = (29) 2c 2 IA (b) (p) = - bq Az + Az dr. (38) — так называемая эффективная температура Беннетта (Ib — полный ток пучка, IA = mc3/q — предельный Для нахождения уравнения для средней поперечток Альфвена, vz — аксиальная компонента скорости ной энергии частиц пучка продифференцируем (37) по частиц пучка); кроме того, в уравнении (26) I — времени. После ряда соответствующих преобразований p полный обратный ток плазмы, p = p(r, t). получим Упрощая последний член в правой части уравнеd dE d E d d ния (26), получим = + = - + (qIn) dt dt dt dt qIn dt d m dR2 I p (b) (p) = 2 E - TB 1 + (2 - Cp), (30) Az + Az bp dt 4 dt Ib + bSdr + qIn In m где r (r - r ) (b) (p) Cp = 2 pb drdr. (31) b Az + Az |r - r |- dr, (39) t 2In Указанное уравнение является обобщением соответствующего известного уравнения [6,23–25] на случай где In = Ib + I — полный ток системы плазма–пучок.

p p = b. Для простоты введем следующее обозначение После ряда преобразований приходим к следующему формфактора уравнению:

I p = 1 +(2 - Cp). (32) dE E d d Ib = bSdr - - ln + qIoL, dt dt dt TB Нетрудно показать, что при b = p имеет место (40) соотношение Cp = 1. Тогда = 1 + I /Ib = 1 - m, где p где m = -I /Ib — коэффициент токовой нейтрализации p 1 I b p L = - p для ситуации b = p.

c Ib t Введем в рассмотрение средний вириал I r - r q (b) (p) - b p p ln dr dr. (41) V = - br Az + Az dr. (33) t Ib Rc Очевидно, что (40) можно записать в виде Выполняя интегрирование в (33), получим dE dE dE dE dE V = TB. (34) = + + +, dt dt dt dt dt enc los b=p Тогда из (30) находим уравнение вириала (42) где d m dRE - = V. (35) dE dt 8 dt = bSdr, (43) dt enc Полагая в (35) производную dR2/dt = 0, получим dE E d необходимое условие динамического равновесия рас- = -, (44) dt dt los сматриваемого сегмента пучка dE d I = - ln, (45) p E = TB = 1 + (2 - Cp) TB. (36) dt dt TB Ib dE Равенство (36) является обобщением известного усло- = qIbL (46) dt p=b вия равновесия Беннета [6,22] на случай отличия радиального профиля плотности пучка и обратного плазмен- — соответственно скорости изменения средней попеного тока (b(r, t) = p(r, t)). речной кинетической энергии частиц сегмента пучка за Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Кинетический подход к получению уравнения огибающей релятивистского электронного пучка... счет упругих и неупругих столкновений частиц пучка В результате интегрирования (50) имеем с частицами фоновой газоплазменной среды (формулы d2R d 1 dR (43) и (44)); (45) — соответствующая скорость за 2R3 + 2Rсчет работы сил, действующих на частицы со стоdt2 dt dt роны самосогласованного эффективного поперечного t электрического поля; (46) — скорость изменения E R2 d TB 1 d = ln - ( TB) в результате работы сил, действующих на частицы в m dt dt ситуации b(r, t) = p(r, t).

+ bSdr - 2TBL dt. (51) Уравнение для среднеквадратичного радиуса сегмента пучка (уравнение В итоге приходим к искомому уравнению огибающей пучка огибающей пучка) d2R 1 d dR 4 TB Определим вид уравнения для среднеквадратичного + + = dt2 dt dt mR 2Rрадиусa пучка или так называемое уравнение огибающей параксиального релятивистского аксиально-симметt 4R2 d ричного пучка заряженных частиц при наличии эффек bSdr - 2TBL - TB тов многократного упругого рассеяния, неламинарности m dt пучка и наличия обратного плазменного тока, имеющего иную радиальную конфигурацию, чем сам пучок (т. е.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.