WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 9 01;04;10 Кинетическое уравнение для релятивистского электронного пучка, распространяющегося в плотных и разреженных газоплазменных средах продольно внешнему магнитному полю © Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов Санкт-Петербургский государственный университет Научно-исследовательский институт математики и механики им. В.И. Смирнова, 198504 Санкт-Петербург, Россия e-mail: Kolesnikov_evg@mail.ru (Поступило в Редакцию 9 декабря 2003 г.) Сформулировано кинетическое уравнение для исследования поперечной динамики аксиально-симметричного параксиального релятивистского электронного пучка, распространяющегося в газоплазменной среде продольно внешнему магнитному полю, учитывающее воздействие на пучок самосогласованного электромагнитного поля, эффекты неламинарности и вращения пучка на выходе из инжектора, а также рассеяние и потери энергии электронов пучка в столкновениях с частицами нейтральной компоненты фонового газа.

1. Кинетическая постановка задачи (m0 — масса покоя электрона, v — его скорость, = 1/(1 - v2/c2)1/2 — лоренц-фактор).

об эволюции релятивистского Эволюция функции распределения частиц пучка в электронного пучка в процессе процессе транспортировки в общем случае описывается транспортировки в рассеивающей кинетическим уравнением Власова-Больцмана [22–24] газоплазменной среде b 1 + v · r + e E + (v B) p = Isc, (1) b b t c Новые области применения релятивистских электронных пучков (РЭП) делают актуальным дальнейшее исгде E и B — соответственно напряженность элекследование динамики транспортировки РЭП в газоплаз- трического и индукция магнитного самосогласованных менных средах [1–24]. Вследствие сильной неравновес- полей, величина Isc в правой части уравнения (1) ности процесса транспортировки РЭП в газоплазменной (так называемый интеграл столкновений) характеризует среде, а также определяющего влияния, которое оказы- эффект изменения функции распределения в результате вает на этот процесс коллективное электромагнитное столкновений частиц пучка с частицами нейтральной поле, возбуждаемое зарядами и токами частиц пучка компоненты фона.

и плазмы, естественной методологической основой для Уравнение (1) должно решаться совместно с уравнепостроения моделей транспортировки РЭП в газоплаз- ниями Максвелла для самосогласованного электромагменной среде является аппарат кинетических уравне- нитного поля 1 B ний Власова-Больцмана с самосогласованным полем E = -, (2) c t и следющих из них уравнений для моментов функции 4 1 E распределения частиц пучка.

B = J +, (3) c c t Кинетическое уравнение, описывающее поперечную · E = 4, (4) динамику параксиальных азимутально-симметричных РЭП в плотных газоплазменных средах, впервые было · B = 0. (5) сформулировано в работе [6].

В уравнениях (2)-(5) Основной задачей настоящей статьи является получе = b + p, J = Jb + Jp, (6) ние кинетического уравнения, описывающего поперечную динамику параксиальных РЭП, обобщающего регде b и Jb — плотности заряда и тока частиц пучка, зультат [6] на случай распространения пучка продольно определяющиеся соответствующими моментами функвнешнему магнитному полю как в плотной газоплазменции распределения b ной среде, так и в разреженной плазме в режиме ионной фокусировки (ИФ). b = e (r, p, t) dp, (7) b При кинетическом описании пучок характеризуется p функцией распределения (r, p, t), имеющей смысл b Jb = e (r, p, t) dp; (8) m0 b плотности математического ожидания числа релятивистских электронов в шестимерном фазовом пространстве p и Jp — плотности заряда и тока, индуцируемых в координат r и релятивистских импульсов p = m0v плазме.

104 Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов В дальнейшем ограничимся изучением специальных сложной задачей. Однако в конкретных случаях эту режимов транспортировки РЭП в газоплазменной среде, систему, как правило, удается существенно упростить для которых в основной части („теле“) пучка плот- с помощью дополнительных предположений о свойствах ности заряда и тока плазмы могут быть рассмотрены пучка. В частности, в задачах транспортировки пучков как известные функции координат либо могут быть основной практический интерес представляет случай так явным образом выражены через плотности заряда и называемого параксиального пучка, частицы которого тока пучка. К указанному случаю относятся, в частнодвижутся под малыми углами к направлению некоторой сти, режимы зарядовой или магнитной нейтрализации оси z и, следовательно, выполнено соотношение пучка, распространяющегося в плазме с плотностью v электронов n, значительно превышающей плотность 1, (9) vz электронов пучка nb.

В режиме зарядовой и токовой нейтрализации имеем где v — поперечная оси z компонента скорости частицы пучка.

p =(1 - c)b, Jp =(1 - m)Jb, Покажем, что в ситуации (9) уравнения (1)-(5) сущегде c и m — соответственно коэффициенты зарядовой ственно упрощаются. Рассмотрим уравнение движения и токовой (магнитной) нейтрализации.

одиночного электрона пучка Второй рассматриваемый здесь режим транспортировки — это режим ионной фокусировки (ИФ) в разреdp = e E + (v B) + Gsc, (10) женной плазме импульсного РЭП большой плотности dt c (nb n ) [9,11–13]. Основной особенностью режима ИФ является наличие достаточно низкого давления где B = B + B0; E и B — напряженность электричев фоновой газоплазменной среде, когда электроны в ского и индукция магнитного коллективных полей сипредварительно созданном плазменном канале при воз- стемы плазма-пучок; B0 = B0ez — индукция внешнего действии поперечной компоненты электрического поля магнитного поля, которое предполагается однородным фронтальной части РЭП покидают область, занимаемую и направленным вдоль оси z ; Gsc — флуктуирующая пучком, не создавая значительной дополнительной ионисила, обусловленная столкновениями электрона пучка с зации фоновой плазмы. Эта ситуация имеет место при частицами фоновой среды.

выполнении условия [9] Введем в рассмотрение скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля и A, связанные с i Rb, векторами E и B известными соотношениями где i — характерная длина развития лавинной иониза1 A ции, Rb — характерный радиус пучка.

E = - -, (11) c t Кроме того, длительность импульса пучка b должна удовлетворять условию b e, где e — характерное B = A, (12) время вытеснения электронов плазмы из области РЭП его электрическим полем. При этом поле пучка выбрагде A = A0 + A, A0 — векторный потенциал внешнего сывает электроны фоновой плазмы из области прохомагнитного поля, и A — потенциалы коллективного ждения пучка и основная часть РЭП распространяется электромагнитного поля.

на фоне ионов плазмы, которые при дополнительном Подстановка выражений (11), (12) в уравнения Максограничении на длительность импульса пучка (b i, велла (2)-(5) при дополнительном условии Лоренца где i — характерное время колебаний ионов в области (A +(1/c)/t) = 0 приводит в случае B0 = const пучка) в процессе прохождения РЭП остаются непок системе уравнений Даламбера для потенциалов и A движными [9,11].

В указанных случаях уравнения (1)-(5) с учетом 1 - = -4, (13) соотношений (6)-(8) представляют собой замкнутую c2 tсистему уравнений для нахождения функции распределения электронов пучка (r, p, t) и самосогласованного 1 2A b A - = - J. (14) электромагнитного поля.

c2 t2 c В дальнейшем ограничимся квазистационарной постановкой задачи, предполагая, что характерное время 2. Параксиальное приближение.

изменения параметров пучка b f ( f /t)-1 удовлеРазделение задач о продольном творяет условию и поперечном движении частицы пучка R b > -, (15) c В общем случае решение сформулированной в разделе 1 системы уравнений (1)-(5) при соответствую- где R = f /| f | — характерный поперечный масштаб щих начальных и граничных условиях является весьма изменения параметров системы.

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. Кинетическое уравнение для релятивистского электронного пучка... Тогда, учитывая, что в параксиальном приближе- В условиях, когда в каждом столкновении с частицей нии между продольным и поперечным градиентами фона частица пучка теряет малую часть своей энергии, связанных с пучком величин существует соотношение при вычислении энергетических потерь на интервалах | f /z / f |, уравнения (13), (14) с точностью до времени t sc (sc — среднее время между столкчленов первого порядка малости по параметру могут новениями) правая часть уравнения (22) может быть быть записаны в виде аппроксимирована непрерывной функцией (-d/dt)sc, являющейся известной функцией энергии частицы пучка = -4 + O(), (16) для данной фоновой среды. Таким образом, в предположении о непрерывности энергетических потерь уравнение энергии может быть записано следующим образом:

A = - J + O(), (17) c где — оператор Лапласа по поперечным коорди d d = -. (23) натам.

dt dt sc Подставим теперь выражения (11) и (12) в уравнение движения (10) и спроектируем полученное уравнение Учитывая, что в параксиальном приближении прона плоскость, перпендикулярную оси z. Тогда получим дольная компонента скорости частицы пучка vz = уравнение = v(1 + O(2)), а скорость частицы связана с ее энергией соотношением v = c(1 - m2c4/2)1/2, получим d 1 A (m0v) =e - - уравнение dt c t dz 1/= c 1 - m2c4/2(t). (24) + (v A) +(Gsc). (18) dt c Интегрируя (24) при начальных условиях t =, z = 0, Как показывает анализ в параксиальном пучке с найдем закон продольного движения частицы с времеточностью до членов первого порядка малости по нем инжекции параметру, имеем 1/c(v A) vz /cAz + +(v/c) +iz B0 (где iz — орт оси z ), а нестационарным t членом 1/c(A/t) в правой части (18) при выпол- z = c 1 - m2c4/2(t ) dt, (25) нении условия квазистационарности (15) можно пре небречь. Тогда с точностью до членов первого порядка малости уравнение (18) может быть записано в виде где зависимость (t) определяется решением уравнения (23) d v m0v = e -( - Az ) + iz B0 +(Gsc).

dt c d (19) t - =, (26) [-d( )/dt]sc Закон продольного движения частицы пучка в параксиальном приближении может быть найден из уравнения 0 — начальная энергия частицы на выходе из энергии инжектора.

d = vF, (20) Как следует из уравнений (25), (26), в рассматриваdt емом приближении продольное движение частиц пучка которое в рассматриваемом случае принимает вид не зависит от поперечного и носит детерминированный d характер.

= evE + vGsc = evz Ez + evE + vGsc, (21) dt Отметим, что принятое при выводе уравнений (25), (26) предположение о непрерывном характере потерь где = m0c2 — релятивистская энергия.

энергии в столкновениях является, вообще говоря, Выражения Ez и E через потенциалы с помощью сокорректным только в условиях доминирующей роли отношения (11) и учитывая условия параксиальности (9) потерь энергии на ионизацию и возбуждение атомов и квазистационарности (15), можно показать, что первое среды. При экстремально высоких энергиях электронов слагаемое в правой части (21) является величиной пучка ( cr, где cr — критическая энергия для порядка 1/2, а второе слагаемое — порядка. Таким обданного вещества [23]), когда основными становятся разом, с точностью до членов первого порядка малости потери энергии на тормозное излучение, предположение по параметру полевыми членами в правой части (21) о непрерывном характере энергетических потерь может можно пренебречь. Тогда в рассматриваемом случае оказаться неверным из-за сильных статических флуктууравнение (21) приближенно может быть записано в аций в потерях энергии, свойственных радиационному виде механизму торможения высокоэнергетических электроd = vGsc. (22) нов [23].

dt Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 106 Е.К. Колесников, А.С. Мануйлов 1 p p 3. Кинетическое уравнение B = lim. (31) 2 t0 t для функции распределения частиц Здесь сегмента параксиального пучка, распространяющегося p = w(p, p, t) pd p, (32) в рассеивающей газоплазменной среде продольно внешнему p p = w(p, p, t) p pd p, (33) магнитному полю где w(p, p, t) — плотность вероятности того, что Как следует из сказанного выше, в параксиальном за время t импульс p в результате многократных приближении продольное движение частиц пучка явстолкновений изменится на величину p.

ляется детерминированным. В отличие от продольного Коэффициенты A образуют вектор скорости передвижения поперечная динамика частиц носит стохастиноса по поперечному импульсу p, B — тензор ческий характер, и состояние пучка в соответствующем обобщенных коэффициентов диффузии. Как показано фазовом подпространстве может быть охарактеризовано в [6], в случае изотропного рассеяния коэффициенты только статистически.

A и недиагональные элементы тензора B равны 0, а Представим пучок в виде совокупности тонких попедиагональные элементы тензора диффузии имеют вид речных сегментов S, каждый из которых инжектируется в момент времени t = и содержит фиксированное m B = S, (34) число частиц.

Предположим, что на выходе из инжектора пучок где является моноэнергетичным, а среда, в которой он 1 p S = lim.

распространяется, однородной. Тогда в соответствии с t0 t 2m уравнениями (25), (26) при сделанных предположениях В случае многократного упругого рассеяния на мавсе частицы сегментов S одинаковым образом эволюлые углы функция S определяется величиной полного ционируют по координате z и в любой момент времени импульса и не зависит от поперечной компоненты имимеют одинаковуюэнергию(t) и релятивистскую массу пульса p [25,26]. Таким образом, в предположении об m = m = (t)/c2, причем в процессе распространения изотропности и упругом характере рассеяния интеграл сегменты S не пересекаются.

столкновений (29) принимает значительно более проДля фиксированного сегмента S введем в расстой вид смотрение функцию распределения частиц сегмента mS f (r, p, t) по поперечным координатам r и импульIsc = f. (35) p сам p, эволюция которой будет описываться кинетичеПодставим выражение (28) для силы F и выражеским уравнением ние (35) для интеграла столкновений в уравнение (27).

f Тогда, учитывая, что в рассматриваемых режимах транс+ vr f + Fp f = Isc, (27) t портировки эффективный скалярный потенциал попегде v = dr/dt = p/m; F — поперечная компонен- речного поля - Az = 0 - µAz, где 0 — потенциал та силы, действующей на частицу пучка со стороны электрического поля компенсирующего ионного фона, а самосогласованного электромагнитного поля; Isc —ин- постоянная µ выражается как теграл столкновений.

(1 - c) Отметим, что в рассматриваемом случае из (18) µ = 1 -, (36) 2(1 - m) следует следующее выражение для силы F уравнение (27) запишем следующим образом:

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.