WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1998, том 68, № 1 01;10 Об уравнениях огибающих электронного пучка в магнитном поле © Н.Д. Наумов Центральный физико-технический институт, 141300 Сергиев Посад, Россия (Поступило в Редакцию 14 ноября 1996 г.) На основе автомодельного подхода получены уравнения огибающих трубчатого пучка, распространяющегося вдоль магнитного поля, а также электронного пучка, инжектированного под углом к магнитному полю.

Построено точное решение самосогласованной задачи о поперечных колебаниях холодного трубчатого пучка в магнитном поле и проведено сравнение с приближенными результатами метода уравнения огибающих.

Введение мой уравнений движения газа заряженных частиц r Определенный прогресс в описании динамики пучков 2 d V 4e2 Vr - = -cV + n(x)xdx, (1) заряженных частиц связан с использованием уравнеdt r mr ния огибающей, что позволило построить ряд анали0 тических самосогласованных моделей распространения d VrV n nVr пучков [1–4]. Возможность перехода от уравнений в V + = cVr, + = 0, (2) dt r t r частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям обусловлена существованием автомогде c = e0B0/mc — циклотронная чистота, e = -e0 — дельных решений уравнений движения газа заряженных заряд электрона, d/dt = /t + Vr/r.

частиц [5]. Для криволинейных пучков приближенные Нетрудно видеть, что стационарное решение решения автомодельного типа могут быть построены в уравнения для азимутальной скорости имеет вид случае малости отношения поперечных размеров пучка V = L(r + C2/r), где L = c/2 — ларморовская к его радиусу [6]. Однако при этом открытым остается частота. Постоянная C определяется из условия, что вопрос об адекватности подобного приближенного решенаходящиеся на расстоянии r = C от оси пучка частицы ния нелинейной задачи.

вращаются с циклотронной частотой. Этот результат В данной работе рассмотрены поперечные колебания является следствием сохранения для осесимметричного холодного трубчатого пучка электронов в магнитном пучка азимутальной составляющей обобщенного поле. Как оказывается, для тонкого трубчатого пучка импульса частицы P = r(p + mrL) =mLC2.

с помощью метода уравнения огибающей можно поДля радиального уравнения можно построить пристроить приближенное решение автомодельного типа, а ближенное нестационарное решение. Как было показано с помощью метода функции Грина — точное решение ранее [6], такое решение может быть получено в случае нестационарной самосогласованной задачи. Сравнение малости отношения поперечного размера пучка к его этих двух решений представляет несомненный методирадиусу, когда можно разложить фигурирующие в уравческий интерес.

нении (1) члены с азимутальной скоростью, удерживая В работе также получены уравнения огибающих тонлишь члены первого порядка относительно величины кого спирального пучка в магнитном поле. Эта модель d/r1, где r1— внутренний радиус пучка, d —толщина имеет практическое значение в связи с использованием пучка. Практически линейного характера изменения собэлектронных пучков для изучения ионосферы. Инжекция ственного электрического поля пучка можно добиться электронного пучка в ионосферную плазму под углом выбором соответствующего профиля его плотности к геомагнитному полю рассматривалась в работе [7], I однако полученные так результаты, как указывают сами n(x, t) = H( - 2), (3) авторы, неприменимы в случае инжекции с питч-углами, 2e0urd близкими к 90. Предлагаемая модель позволяет заполгде I, u — соответственно ток и продольная сконить этот пробел на интервал времени, в течение которость пучка; H(x) — ступенчатая функция Хевисайда;

рого отношение поперечных размеров пучка к радиуса =(r -r1)/d — автомодельная переменная.

его кривизны остается малой величиной.

Для рассматриваемого класса неустановившихся движений скорость электронного газа линейно зависит от автомодельной переменной, поэтому радиальная скоТрубчатый пучок рость пучка имеет следующий вид: Vr = 1 + d. В этом Поведение осесимметричного холодного потока не- случае плотность частиц (3) удовлетворяет уравнению релятивистских электронов, распространяющихся вдоль непрерывности (2). Подстановка этого выражения в магнитного поля, описывается самосогласованной систе- линеаризованное уравнение для радиальной скорости (1) 104 Н.Д. Наумов позволяет получить уравнения для внутреннего радиуса Функция Грина определяется законом радиального пучка и его толщины движения одиночной частицы r(t; 0), pr(t; 0) в совокупности внешнего и коллективного полей при P = mLCC4 C2 r1 +L r1 - = 0, d+L 1+3 d = d02, (4) p 3 4 G(, 0; t) =H(t)(r -r(t; 0))(pr - pr(t; 0)).

r1 rЗакон движения электрона удовлетворяет следующим где p = 4n0e2/m — плазменная частота пучка, условиям r(0; 0) =r0, pr(0; 0) =pr0.

n0 = I/2ue0r10d0.

Основная трудность при реализации этого метода Следует отметить, что коллективное поле на внутренрешения самосогласованной задачи связана с учетом ней поверхности пучка равно нулю. Поэтому уравнение влияния на движение частицы собственного поля пучка, для колебаний внутренного радиуса пучка в отличие от которое заранее неизвестно и изменяется при распроуравнения для толщины пучка является точным.

странении пучка. Эта проблема упрощается, если слои Нетрудно видеть, что для холодного пучка внутренний частиц перемещаются в радиальном направлении друг радиус не зависит от времени, если в начальный момент за другом, без обгонов. Тогда величина коллективного времени частицы на внутренней поверхности пучка враполя, действующего на частицу, не зависит от времени и щаются с циклотронной частотой, т. е. когда C = r10.

определяется как начальным значением ее радиального В этом случае, как следует из (3), толщина и внешний положения r0, так и заданным начальным распределенирадиус тонкого пучка периодически изменяются со вреем плотности частиц менем rQ(r0) r2 = r10 + d, d = d0 g +(1-g) cos ct, (5) Er(r(t; 0), t) =4en0, Q(r0) = (x)xdx. (6) r rгде g = 2/c.

p Очевидно, что при d = 1 реализуется стационарное В итоге для функции f (, t) найдем состояние пучка.

f (, t) =n0 dr0r0(r0)(r - s(t, r0))(pr - m(t, r0)), Метод функции Грина где s(t, r0) — решение уравнения Для поперечного движения осесимметричного холодCp ного пучка в магнитном поле можно получить точное s = L - s + Q(r0) (7) s3 s решение самосогласованной задачи. Хотя рассматриваемая задача по существу является гидродинамической, для с начальными условиями s(0, r0) =r0, (0, r0) =0. Для ее решения удобно исходить из функции распределения гидродинамических характеристик потока получим электронного газа (r, t)((r, t)) F(, P, pz, t) = f (, t)(P - mLC2)(pz - mu), n(r, t) = F(, P, pz, t)d3p = n0, (8) r|S(r, t)| где через для кратности обозначена совокупность Vr(r, t) = prF(, P, pz, t)d3p = U(r, t). (9) переменных r, pr.

mn Решение уравнения Власова для радиальной функции Здесь (r, t) — f (, t) решение трансцендентного уравнения s(t, r0)=r, т. е. s t, (r, t) r, а также введены следую щие обозначения: S(r, t)=R t, (r, t), R(t, r0)=s/r0, pr C Lf(, t) =0, L= + + eE+mL -r t m r r3 pr U(r, t) = t, (r, t). Для расчетов гидродинамических характеристик потока можно воспользоваться более проможет быть представлено с помощью функции Грина стым способом. Как следует из выражений (8), (9), оператора L в момент времени t плотность частиц и радиальная скорость пучка в точке r = s(t, r0) равны H(t) f (, t) = G(, 0; t) f (0, 0)d0, r0(r0) n(s, t) =n0, Vr(s, t) = (t, r0). (10) s(t, r0)|R| LG(, 0; t) =(t)(-0).

Уравнение для функции R найдем, дифференцируя (7) Здесь f (, 0) — начальная функция распределепо r0, ния пучка, которая в данном случае имеет вид f (, 0) =n0r(r)(pr), где n0(r) =n(r, 0) — начальное r0 2 Cp R = (r0)2 - L 1 + 3 + Q(r0) R.

p распределение плотности частиц.

s s4 sЖурнал технической физики, 1998, том 68, № Об уравнениях огибающих электронного пучка в магнитном поле соответствуют решению уравнения (11), штриховые — аналогичным данным автомодельного приближения (5);

переменная T = ct. Можно констатировать, что уравнения огибающих дают приемлемое описание динамики поперечных размеров пучка по крайней мере на начальном этапе движения. На рис. 2 приведено сравнение точного и приближенного решений для плотности частиц при g = 0.75 в моменты времени t = 5/c (кривые 1, 2), t = 5.5/c (кривые 3, 4) и t = 6/c (кривые 5, 6). Для плотности частиц приближенные и точные результаты отличаются в большей степени.

Спиральный пучок Рис. 1. Колебания внешнего радиуса пучка.

Будем считать, что ось пучка совпадает с траекторией одиночного электрона в магнитном поле, т. е. представляет собой винтовую линию 1 Y() = sin cos kex + sin sin key + cos ez, k k где k = c/u, u — скорость частицы, — длина пути, — угол между векторами магнитного поля и начальной скорости элекрона.

Поперечную динамику пучка удобно рассматривать относительно системы криволинейных координат,, x = Y() +er +b, где b =[tn]; t, n, b — векторы трехгранника Френе, Рис. 2. Изменение плотности частиц.

связанного с кривой Y().

Для винтовой линии направление вектора нормали противоположно радиальному орту n = -er.

Очевидно, что начальные условия для R имеют вид В этой системе координат внешнее поле имеет вид R0 = 1, 0 = 0.

B0 = B0(b sin + t cos ).

Таким образом, расчет гидродинамических характериПусть отношение поперечных размеров пучка к растик осесимметричного холодного потока заряженных диусу его кривизны rc = 1/k sin, а также к радиусу частиц в магнитном поле сводится к решению двух кручения rt = 1/k cos является малой величиной.

обыкновенных дифференциальных уравнений. Очевидно, С точностью до членов первого порядка малости прочто для сплошного пучка нижний предел интегрирования дольная скорость пучка постоянна, поэтому, полагая в выражении (6) следует положить равным нулю. Для V = ut +er +b и пренебрегая членами второго трубчатого пучка при последовательном изменении r0 порядка, из уравнения Эйлера для заряженного газа с небольшим шагом от r10 до r20 выражения (10) понайдем следующие уравнения для функций, :

зволяют получить характеристики пучка для заданного момента времени t. Отметим, что при s0 = r10 уравнение M+ f =F, M=F, (7), которое в этом случае переходит в первое из уравнений (4), определяет колебания внутреннего радиуса M= +u +(-w) +(+w), (12) пучка. В случае s0 = r20 уравнение (7) описывает t изменение со временем внешнего радиуса пучка; при где f = u2/rc, w = u/rt; F, F — члены, обусловленные выборе начальной плотности частиц в виде (3), т. е. когда собственным полем и эмиттансом пучка.

=r10/r, получим Выражения для этих членов в случае пучка эллиптиC4 rческого сечения наиболее просто выглядят в системе r2 =L 3 - r2 + d02. (11) p r2 r2 координат q1, q2, связанной с осями симметрии сечения пучка [8], На рис. 1 представлены результаты расчетов внешнего радиуса пучка для начальных условий C = r10, hq1 Hq1 hq2 HqF1 = +, F2 = +.

r20 = 1.05r10 при g = 1 и 0.75. Сплошные линии a(a + b) a4 b(a + b) bЖурнал технической физики, 1998, том 68, № 106 Н.Д. Наумов Здесь h = 4Ic2/IA2, I — ток пучка, IA = umc2/e0 — Подставляя выражения (15) в уравнения (13), (14), ток Альфвена; a, b — полуоси сечения пучка; H = u, в итоге получим систему обыкновенных дифференцигде — эмиттанс пучка. Собственное поле пучка ап- альных уравнений для введенных функций времени проксимируется электромагнитным полем прямолиней- a, b,, ного пучка эллиптического сечения, поскольку поправки, a h H обусловленные кривизной пучка, будут, как и в случае =2b+(µ+w - f cos2 )a + +, (16) b a + b aкольцевого пучка [9], членами второго порядка малости.

Так как ориентация сечения пучка изменяется с теb h H b = 2a +(µ+w - f sin2 )b + +, (17) чением времени, то оси системы координат q1, q2 будут a a + b bповернуты относительно ортов er, b на некоторый угол a a a f +2 + +2 +w + sin 2 = 0, (18) b b b a q1 = cos + sin, q2 = cos - sin.

a b f +2 + +2 +w - sin 2 = 0, (19) Соответственно, следует представить через комa a a b поненты скорости газа Vi в новой системе координат где µ = + 2.

Складывая (18), (19) и интегрируя получающееся =V1 cos -V2 sin -, =V2 cos +V1 sin +, уравнение, для функции найдем где = — угловая скорость вращения пучка относи1 w тельно трехгранника Френе. = 2a0b0 0 + 2ab Если вместо ввести переменную = - ut, то производная по в уравнениях (12) исчезает. В связи w + 0(a2 + b2) - (a2 + b2 -. (20) 0 с этим зависимость характеристик пучка от носит параметрический характер и определяется начальными условиями при инжекции рассматриваемого сечения пуч- Эта связь между угловой скоростью вращения пучка относительно трехгранника Френе и угловой скоростью ка. В результате из уравнений (12) для функций Vi внутреннего движения газа может быть также получена получим следующие уравнения:

из условия сохранения продольной составляющей векто ра (W+eB0/mc)/n, где W=rotV — завихренность, n — NV1 - 2V2 - q2 - q1 + f q1 cosплотность газа.

qНа рис. 3 приведены результаты расчетов поперечных - sin 2 = F1, (13) размеров пучка на основе численного решения системы уравнений (16)–(19). Были выбраны следующие значе ния параметров: = 3/8, 0 = 0, h/(cas)2 = 0.05, NV2 + 2V1 - q1 - q2 + f q2 sina0 = b0 = as, где as — равновесный радиус брилqлюэновского потока, распространяющегося вдоль маг- sin 2 = F2, (14) нитного поля с напряженностью B0 cos. Этот радиус определялся из соотношения w2/4as = h/2as +H/a3, погде s скольку, как видно из выражения (20), для спирального пучка ”эффективная” ларморовская частота равна w/2.

N = + Vi + w q1 - q2, =(w +).

t qi q2 q1 Нижние кривые соответствуют a/as, верхние — b/as;

переменная T = ct. Расчеты проводились для двух Поперечное движение газа в новой системе координат может также включать перемещения с эллиптическими линиями тока, поэтому следует исходить из следующих выражений для Vi через автомодельные переменные = q1/a, = q2/b:

V1 = a - a, V2 = + b, (15) где — некоторая функция времени.

Удовлетворяющая уравнению непрерывности плотность частиц имеет вид I n(x, t) = H(1 - 2 - 2), abue0D где D = 1 + k cos.

Рис. 3. Изменение поперечных размеров пучка.

Журнал технической физики, 1998, том 68, № Об уравнениях огибающих электронного пучка в магнитном поле начальных значений угловой скорости вращения пучка:

0 = 0 (штриховые кривые) и 0 = -w/2 (сплошные кривые). Полученные результаты показывают, что при инжекции под углом к магнитному полю вращающегося пучка уменьшается расплывание пучка под влиянием пространственного заряда.

Список литературы [1] Kapchinsky I.M., Vladimirsky V.V. Proc. 1959 Intern. Conf.

on High Energy Accelerators and Instrumentations. CERN, Geneva. P. 274.

[2] Ярковой О.И. // ЖТФ. 1966. Т. 36. Вып. 6. С. 988–996.

[3] Lee E.P. // Phys. Fluids. 1976. Vol. 19. N 1. P. 60–69.

[4] Lee E.P., Cooper R.K. // Part. Accel. 1976. Vol. 7. P. 83–95.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.