WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 11 07;11;12 Диагностика двумерных фрактальных структур с использованием сканирующих когерентных пучков © Д.А. Зимняков, А.А. Мишин, А.Н. Серов Саратовский филиал Института машиноведения РАН, 410028 Саратов, Россия (Поступило в Редакцию 30 апреля 1996 г.) Обсуждается метод исследования двумерных случайных структур типа амплитудных экранов с фрактальными свойствами с использованием сканирующих сфокусированных и широких коллимированных пучков.

Рассмотрена взаимосвязь параметров структурных функций флуктуаций интенсивности, детектируемых в фиксированной точке наблюдения, со структурными характеристиками исследуемых экранов. Приводятся результаты экспериментальных исследований модельных образцов случайных амплитудных экранов с фрактальными свойствами.

Стимулированный классическими работами Мандель- точно традиционном подходе к анализу пространственброта интерес к свойствам самоподобных и самоаф- ных спектров двумерных структур путем исследования финных объектов [1,2], способствовал появлению зна- распределений интенсивности рассеянного поля в зоне чительного числа теоретических и экспериментальных дифракции Фраунгофера с использованием когерентных работ, посвященных анализу различных особенностей, фурье-анализаторов пространственных спектров [9] или присущих фрактальным структурам. В области стати- соответствующих автокорреляционных функций интенстической и корреляционной оптики подобные исследосивности с применением различных типов оптических вания направлены прежде всего на разработку методов корреляторов [10].

диагностики подобных объектов путем анализа харакВ работе обсуждается несколько иной подход, предпотеристик пространственных распределений рассеянного лагающий анализ поведения структурных функций флукими излучения. Необходимо отметить, что в зависимости туационной компоненты интенсивности спекл-полей, реот характера взаимодействия зондирующих световых гистрирумых при сканировании исследуемых объектов пучков с объектом, обладающим свойствами фрактала когерентными зондирующими пучками в фиксированной и типа исследуемой фрактальной структуры, закономерточке дальней зоны дифракции. В некоторых случаях ности, описывающие пространственные распределения данный метод может оказаться более предпочтительным, рассеянных полей, будут существенно различаться. Можчем традиционно используемая оценка усредненного по но условно выделить следующие классы фрактальных заданной полосе частот наклона углового спектра диструктур, для которых обсуждаемые проблемы вызывают фрагирующего на структуре пучка в логарифмических в последнее время значительный интерес теоретиков и координатах (например, для структур, проявляющих экспериментаторов: многослойные структуры, обладаюфрактальные свойства в весьма ограниченном диапазоне щие фрактальными свойствами (например, с геометрией, пространственных масштабов — так называемых предописываемой канторовыми фракталами) [3]; так называефракталях [9]).

мые ”массовые” фракталы [4] и апертуры, ограниченные Вначале рассмотрим случай дифракции плоской когефрактальными кривыми (например, кривой Кох) [5]; слурентной волны единичной амплитуды на безграничном чайные амплитудные и фазовые экраны с непрерывными двумерном случайном амплитудном экране, описываераспределениями амплитуды и фазы граничного поля, мом двухградационной (бинарной) функцией пропускаобладающими фрактальными свойствами [6–8].

ния t(), обладающей фрактальными свойствами. РасВ данной работе исследуется случай дифракции сфосматриваемые в данной работе в дальнейшем ”массовые” кусированных и коллимированных когерентных пучков фрактальные структуры можно интерпретировать как анна движущихся случайных фрактальных амплитудных самбли случайно распределенных на плоскости локальэкранах. Амплитудная функция пропускания подобных ных апертур, характеризуемых определенными классами объектов предполагается двухградационной (бинарные функций распределений по размерам. Для рассеянноамплитудные экраны (БАЭ) в соответствии с предстаго поля в дальней зоне в рамках скалярной теории вленной выше классификацией могут быть отнесены дифракции, используя предположение о статистической к фрактальным структурам ”массового” типа), а раснезависимости координат локальных апертур в плоскосмотрение процесса формирования рассеянного поля в сти экрана, запишем выражение для автокорреляционной области дифракции Фраунгофера проводится в рамках функции флуктуационной компоненты интенсивности в скалярной теории дифракции. В связи с этим необходимо дальней зоне [11] отметить выполненные в последнее время работы [9,10], в которых развиваются когерентно-оптические методы диагностики подобных объектов, основанные на доста- RI() =|u()|2 -|u|4, (1) 102 Д.А. Зимняков, А.А. Мишин, А.Н. Серов где u() — функция когерентности второго порядка размеров и поверхностной плотности которых задается рассеянного поля u(), определяемая следующим обра- следующими выражениями:

зом: u() = u(1)u(2), u — среднее значение a1 si/2, i s1-i, (5) амплитуды рассеянного поля в дальней зоне.

Выражение (1) записано в предположении о нормальгде 0 < s < 1 — некоторый параметр, определяющий ном законе распределения флуктуационной компоненты свойства генерируемого фрактала; i — номер итерации, комплексной амплитуды рассеянного поля, являющемся соответствующий уровню иерархии фрактала.

следствием применения центральной предельной теореВ данном случае структура БАЭ на j-й итерации момы к полю в дальней зоне, формируемому большим жет быть описана с помощью следующего формального числом статистически независимых источников (локальсоотношения ных апертур фрактальной структуры).

Используя его, можно получить следующее соотноj шение, описывающее взаимосвязь структурных функций T(x, y) =1 - 1 -i(x, y), флуктуаций интенсивности и комплексной амплитуды i=поля u(), где T (x, y) — значение коэффициента пропускания БАЭ DI() =2u(0)Du() -D2()/2. (2) u в точке с координатами (x, y); i(x, y) — бинарная В рассматриваемом случае, принимая во внимание функция, описывающая пространственное распределение взаимосвязь поперечных функций когерентности граничлокальных апертур i-го уровня иерархии.

ного поля и поля в произвольной плоскости за безПри этом имеет место процесс ”поглощения” апертур граничным, статистически однородным рассеивателем, высших уровней иерархии (с большими значениями u() =v() [11], где v() — комплексная амплитуда индекса i) апертурами низших уровней, собственно и граничного поля, получим окончательно приводящий к возникновению у структуры фрактальных свойств. В данном случае интегральные коэффициенты DI() =2v(0)Dv() -D2()/2. (3) v амплитудного пропускания ансамблей локальных аперУчитывая, что для малых ||v(0) Dv(), можно тур, соответствующих различным уровням иерархии, записать DI() 2v(0)Dv(). Необходимо отметить, одинаковы и определяются значением s.

что используемые в данном анализе допущения предпоВ работе рассмотрены два типа ”массовых” фрактальлагают, во-первых, выполнение условия соответствия поных структур с элементарными апертурами квадратной ложения точки наблюдения дальней зоне дифракции для формы, порождающие бинарные амплитудные экраны.

локальных апертур, соответствующих первому уровню Алгоритм генерации структур первого типа описывается иерархии структуры (т. е. обладающих максимальными следующей системой уравнений:

линейными размерами), ai = si/2, ni =(1/s -1)i-1, (6) z a2/, (4) где z — расстояние от экрана до плоскости наблюдения, где ni — среднее число апертур, соответствующих i-му — длина волны зондирующего пучка, a1 — максималь- уровню иерархии фрактала, в пределах участка БАЭ ный размер локальной апертуры, и, во-вторых, ограни- единичной площади; параметр s при этом имеет смысл ченное число уровней иерархии фрактальной структу- площади апертуры первого (исходного) уровня иерарры, являющейся по сути предфракталом (иначе говоря, хии. Хаусдорфова размерность [2] структур данного типа минимальный размер локальных апертур должен сущеопределяется выражением следующего вида:

ственно превышать длину волны освещающего структуру пучка). DHB = -2ln(1/s -1)/ln s. (7) В случае одномерного сканирования бинарных амВыражения (6), (7) предполагают отсутствие частичплитудных экранов, обладающих свойствами ”массовых” ного перекрытия апертур высших уровней иерархии фракталов, сфокусированными когерентными пучками апертурами с меньшими значениями i (т. е. суммарная с диаметрами перетяжки, существенно меньшими, чем минимальный возможный размер локальных апертур площадь экрана, покрываемая апертурами i-го уровня, в фрактальной структуры, регистрируемые сигналы, про- точности равна s(1 - s)i-1).

порциональные мгновенному значению интенсивности в Частный случай s = 1/9 = 0.111111... соотточке наблюдения, можно рассматривать как бинарные; ветствует классическому примеру двумерной фрактальподобная схема анализа структуры двумерных объектов ной структуры — так называемому случайному ков проходящем свете является по сути одним из вариантов вру Серпинского с хаусдорфовой размерностью, равной так называемого ”теневого” метода.

DHB = 1.893 (см., например, [9]).

Для генерации исследуемых фрактальных структур Фрактальные БАЭ второго типа генерируются с помо”массового” типа рассмотрим вначале набор статистищью следующего алгоритма чески независимых двумерных случайных распределений локальных апертур заданной формы, взаимосвязь ai =(s1/2)/2i-1, ni =(4 -4s)i-1, (8) Журнал технической физики, 1997, том 67, № Диагностика двумерных фрактальных структур с использованием сканирующих когерентных пучков т. е. на каждом шаге генерации линейные размеры локальных апертур уменьшаются в 2 раза, при этом их хаусдорфова размерность равна DHB = ln(4 - 4s)/ ln 2 = 2 + ln(1 - s)/ ln 2. (9) Для реально существующих объектов (предфрактальных структур) диапазоны пространственных масштабов, соответствующие проявлению фрактальных свойств, конечны, что приводит к существованию предельно возможного значения числа итераций N при моделировании структуры бинарных амплитудных экранов. Значение N может быть определено исходя из следующих выражений:

N 2ln/ln s, (10 ) для предфракталов первого типа и N ln(s0.5/)/ ln 2 + 1 (10 ) для структур второго типа, где является безразмерным, нормированным на 1 значением стороны миниРис. 1. Зависимости хаусдорфовой размерности DHB от мальной локальной апертуры фрактала. Для подобных параметра s (a) и интегрального коэффициента пропускания объектов в отсутствие перекрытий локальных апертур, T от DHB (по приближенному выражению (11)) (b) для исотносящихся к различным уровням иерархии фрактальследуемых амплитудных фрактальных экранов. 1 — структуры, ной структуры, усредненные по площади экрана значения генерируемые по алгоритму первого; 2 — второго типа.

коэффициентов амплитудного пропускания T1,2 могут быть оценены как T1 1 -2-DHB, асимметрии. Данное обстоятельство приводит к существенному превышению нормированных значений ста T2 1 -(1 -s)s0.5(DHB-2)2-DHB. (11) тистических моментов распределений второго и более высоких порядков над величинами, характерными для На рис. 1 приведены зависимости, иллюстрирующие ”компактных” распределений апертур, не обладающих взаимосвязь параметра s, хаусдорфовой размерности и фрактальными свойствами. В частности, для исследуинтегрального коэффициента пропускания T для фракемых структур, описываемых дискретными функциями тальных структур первого и второго типов, генерируераспределения локальных апертур по размерам, можно мых в соответствии с описанными выше алгоритмами ввести параметры, пропорциональные несмещенным мо(параметр принят равным 0.001).

ментам распределений локальных апертур по размерам Существуют определенные ограничения на значения для первого хаусдорфовой размерности для генерируемых описанными выше способами предфрактальных структур, связанN N s ные с разрушением целостности ансамбля локальных M0 = (1/s - 1)i-1 = - 1 - 1, 1 - 2s s апертур при возрастании параметра s. В частности, криi=терий целостности структуры экрана, формулируемый исходя из условия DHB = 1 и позволяющий получить N предельные значения s, равные 0.382 для структур M1 = si/2(1/s - 1)i-первого типа и соответственно 0.50 для структур второго i=типа, является недостаточным, чтобы исключить возмож- s ность полного перекрытия локальных апертур в каком- = (s-1/2 - s1/2)N - 1, 1 - s1/2 - s либо произвольно выбранном направлении. Анализ данного условия позволяет оценить предельные значения N s = 0.25 как для структур первого, так и второго типов.

M2 = si(1/s - 1)i-1 = 1 - (1 - s)N (12) Соответствующее значение хаусдорфовой размерности i=при этом равно DHB 1.585.

и соответственно второго типа фрактальных структур Характерным общим свойством анализируемых структур является специфическая форма функций плотноN сти вероятности распределений локальных апертур по M0 = (4 - 4s)i-1 = (4 - 4s)N - 1, 3 - 4s размерам, обусловленная наличием у них выраженной i=Журнал технической физики, 1997, том 67, № 104 Д.А. Зимняков, А.А. Мишин, А.Н. Серов N M1 = (s1/2/2i-1)(4 - 4s)i-i=s1/= (2 - 2s)N - 1, 1 - 2s N M2 = (s/4i-1)(4 - 4s)i-1 = 1 - (1 - s)N. (12a) i=Необходимо отметить, что параметры M2 и M2, соРис. 2. Взаимосвязь значений нормированного несмещенного ответствующие вторым моментам распределений, равны момента второго порядка µ2 распределений локальных апертур средним значениям амплитудных коэффициентов про- по размерам и хаусдорфовой размерности для исследуемых фрактальных структур. 1 — фрактальный экран первого типа, пускания экранов.

2 — фрактальный экран второго типа.

Используя взаимосвязь между числом уровней иерархии фрактальной структуры и минимальным размером элемента, можно получить следующие приближенные выражения для M0, M1, M2: Рассмотрим также структурную функцию флуктуаций коэффициента пропускания экрана, в общем виде описыs ваемую выражением M0 -DHB, 1 - 2s DT () = T () -T (0). (15) s M1 1-DHB, При выборе направления смещения по одной из коор1 - s1/2 - s динат x, определяемых ориентацией локальных апертур M2 1 - 2-DHB (13) в плоскости экрана, структурная функция коэффициента пропускания для фрактальных экранов равна для фрактальных структур первого типа и соответственJ(x) но N 4(1 - s)s0.5DHB DT (x, 0) 2 ai(x - ai)ni + 2 a2ni, (16) i M0 -DHB, 3 - 4s i=1 i=J(x)+2(1 - s)s0.5DHB где номер итерации J(x) соответствует условию aJ(x) x.

M1 1-DHB, В частности, выражая, как и ранее, N и J(x) через и 1 - 2s x, можно получить следующее приближенное выражение M2 1 - (1 - s)s0.5(DHB-2)2-DHB (13a) для структурной функции DT (x, 0) БАЭ первого типа:

для фракталя второго типа, генерируемых по алгоритDT1(x, 0) =2 (x2-DHB - 1-DHB) му (8).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.