WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 7 01;04;10 Релятивистская частица в квадрупольном волноводе © Ю.Г. Павленко, Н.Д. Наумов, А.И. Торопова Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, 121357 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 20 декабря 1995 г.) Получено решение уравнений движения частицы в поле бегущей электромагнитной волны, распространяющейся между двумя парами металлических поверхностей гиперболической формы. Рассмотрено движение частицы при возбуждении волновода монохроматическим и импульсным источниками напряжения.

Исследована возможность применения квадрупольного волновода для фокусировки пучка и сепарации частиц по удельному заряду и продольной скорости.

Введение что конфигурации поля основной волны и поля в статическом случае совпадают [4].

В настоящее время известно ограниченное число Решение уравнений Максвелла для напряженности интегрируемых задач релятивистской механики, связан- электрического поля и магнитной индукции представим ных с движением заряженных частиц в поле электромаг- в терминах потенциалов нитной волны. Для частицы в поле плоской волны реше1 A E = - -A0, B= rot A. (1) ние найдено в [1]; более сложная задача для частицы в c t поле волны круговой поляризации, распространяющейся Для поперечно-электромагнитной волны эти потенцивдоль однородного магнитного поля, решена в работе [2].

алы определяются потенциалом Герца G(t, x) Вработе[3] получено точное решение задачи о движении релятивистской частицы в поле плоской волны в среде с G 1 G A0 =, A = 0, 0, -. (2) коэффициентом преломления n > 1.

z c t В настоящей работе получено новое аналитическое реФункция G(t, x) удовлетворяет скалярному волновому шение уравнений движения частицы в поле поперечной уравнению и граничным условиям на поверхности волэлектромагнитной (TEM) волны, распространяющейся новода. Для основной волны в квадрупольном волноводе. Исследовано устойчивое движение частиц как в случае монохроматической волны, G(t, x) =- x2 -y2 f ()d, (3) так и при возбуждении волновода импульсным источниRком напряжения. В первом случае решение представлегде = t - z/c, f () — произвольная функция; значено апериодическими ограниченными функциями Матье, ние = 1 соответствует волне, распространяющейся в во втором — кусочно-непрерывными ограниченными положительном направлении оси z; значение = -1 — функциями. Полученные решения позволили определить волне, бегущей в противоположном направлении.

условия прохождения пучка частиц через волновод, а Из (1)–(3) найдем также рассмотреть режимы фокусировки и сепарации 2 частиц по удельному заряду и продольной скорости.

E(t, x)= -x, y, 0 f (), B(t, x)=- y, x, 0 f ().

Особый интерес представляет движение релятивистских R2 Rчастиц при их инжекции в направлении, противопоДалее ограничимся классом периодических функложном направлению распространения волны. В этом ций f (). Тогда интенсивность волны, распространяюслучае появляется возможность подавить в амплитуде щейся в волноводе, определяется средним значением zколебаний вклад, связанный с разбросом поперечных компоненты вектора Пойнтинга скоростей частиц пучка.

c Pz = I, I = dS x2 - y2 f.

2RЭлектромагнитное поле волновода Разделение переменных в уравнениях Электродинамическая система образована двумя движения парами металлических поверхностей y2 = x2 - R2, y2 = x2 + R2. В этой системе можно возбудить В релятивистской механике уравнение траектории основную TEM-волну, критическая частота которой удобно задавать в параметрической форме t = t( ), равна нулю. Эта волна будет распространяться в x = x( ), где — собственное время частицы. Уравневолноводе со скоростью света при любой частоте ния движения частицы заряда e, массы m имеют вид [5,6] источника возбуждения поля. Уникальная особенность e mc2 = eE, m = eE = [B], (4) рассматриваемой открытой системы состоит в том, c Релятивистская частица в квадрупольном волноводе где точкой обозначено дифференцирование по собствен- Частица в поле монохроматической ному времени.

волны Согласно определению 4-скорости, Пусть функция f () имеет вид f = V cos, где (c)2 - 2 = c2. (5) величина V определяет интенсивность волны. Переходя в (9), (10) к безразмерным величинам s = g/2, b = 4eV /mg2R2, получим уравнения Начальные условия выберем в виде t(0) = 0, x(0) =(x0, y0, 0), (0) =, (0) =(v1, v2, v3), v3 >0, d2x где = (1 - vi vi/c2)-1/2. Подставляя выражения для + 2b cos 2sx = 0, (13) dsполей в (4), получим систему уравнений d2y mc = -(x - y)F(), mz = -(x - y)F(), (6а) - 2b cos 2sy = 0, (14) dsкоторые представляют собой частные случаи уравнения m = -cxF(), m = cyF(), (6б) Матье d2u где F = 2ef /cR2.

+(µ+2qcos 2s)u = 0.

dsДля интегрирования системы (6) в квадратурах необходимо произвести разделение переменных. Благода- Из теории функций Матье известно, что плоскость ря симметрии поля из уравнений (6а) следует первый параметров (µ, q) содержит области, соответствуюинтеграл щие ограниченным и неограниченным решениям [7–9].

В области устойчивости решение представляет со бой апериодическую функцию. При µ = 0 решения - = g, g = 1 - v3. (7) c c устойчивы в интервалах 0 < b 0.92, 7.51 b 7.58, 21.309 b 21.312,.... Эти условия будут выполСледовательно, на траектории частицы няться при соответствующем выборе параметров волны;

представляя b в виде b = (eV /mgc2)(/R)2, найдем, t - z = g. (8) что в случае пучка электронов длина волны равна c 2.22 · 103R bg/V, а для пучка ионов с массовым Учитывая соотношения (7), (8), получим из (6б) числом A имеем 105R bgA/V, где, V — числовые уравнения значения в единицах СИ.

а) Рассмотрим вначале область 0 < b b0, b0 = 0.92.

+ ( )x = 0, (9) Первая область устойчивости в плоскости (µ, q) лежит справа от кривой µc0 = -q2/2 + 7q4/128 +... и - ( )y = 0, (10) ограничена кривыми µc1(q) =1 -q -q2/8 при q >0 и где ( ) =gF(g ).

µs1(q) =µc1(-q) при q < 0. Для получения равномерно Из первых интегралов (5), (7) находим пригодного разложения решения уравнения Матье применим метод усреднения в гамильтоновой форме [6]. В 1 1 окрестности переходной кривой µc0(q) получим = + g + 2 + 2, (11) 2 g 2gcq q u(s) =U 1 + cos 2s - W sin 2s +..., 2 1 1 = - g + 2 + 2. (12) du q c 2 g 2gc= W 1 - cos 2s - Uq sin 2s +.... (15) ds Таким образом, после интегрирования линейных уравЗдесь эволюция переменных U, W определяется усреднений (9), (10) функции t( ), z( ) определяются из (11), ненным движением (12). Преобразуя (11), (12), получим эквивалентные соотношения B dU U = A cos s + sin s, W =, ds = + 2 +2 -2 v2 +v2, = v3 +c( -).

1 где = µ-µc0; A, B— постоянные.

2gcВ соответствии с [9] на переходной кривой µc0(q) одно Из (11), (12) следует, что при значениях |/c|, из линейно независимых решений содержит множитель s.

|/c| 2g кинетическая энергия частицы T = Отметим, что решение уравнения Матье методом граmc2( - 1) mc2. В этом случае компоненты скорости диентных потенциалов Гапонова–Миллера [10,11] или v = / принимают значения |vx/c|, |vy/c| g/2, методом Капицы [12] содержит только первый член vz c. При значениях |/c|, |/c| 2g кинетиче- из (15) u(s) = U(s), µc0 = -q2/2. Полагая в (15) ская энергия T mc2. µ = 0, q = b, получим решение уравнения (13);

7 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 100 Ю.Г. Павленко, Н.Д. Наумов, А.И. Торопова при µ = 0, q = -b имеем решение уравнения (14) с На переходной кривой µ = µs1 величина l + k = 0;

коэффициентами A, B. Учитывая начальные условия, на кривой µ = µc1 значение l - k = 0. Полагая в (16) µ = 0, q = b, получим решение уравнения (13) найдем B -1 -b 2v1 b x( ) = A cos ns - sin ns F1 - Ar sin ns + B cos ns F2, A = x0 1 +, B = 1 -, r 2 g (17) где F1 = Re F, F2 = Im F — периодические функции с -1 -b 2v2 b периодом.

A = y0 1 -, B = 1 +.

Если в выражении (16) положить µ = 0, q = -b, 2 g r r = n/(l - k), то оно переходит в решение уравДля реализации устойчивого движения необходимо, нения (14). Важно отметить, что величина экстречтобы для всех частиц пучка выполнялись неравенства мальных значений x( ), y( ) возрастает в окрестности |x( )| < R, |y( )| < R. В ультрарелятивистском случае, точки b b0, поскольку в этом случае n r b - b0, т. е. при v3 c, |v1|, |v2| v3, величина g сильно зависит r 1/ b - b0. Постоянные находятся из начальных от значения : g( = 1) 1/2, g( = -1) 2.

условий Поэтому в случае волны, распространяющейся навстре-1 -b 8v1 b чу пучку, появляется возможность подавить в амплитуде A = 4x0 5 -, B = 3 +, колебаний вклад, обусловленный разбросом попереч2 g ных скоростей. Из неравенств |B|/0 < |A| < R, -1 -b 8v2 b |B |/0 < |A | < R (0 b 2) можно получить оценки A = 4y0 5 +, B = 3 -.

2 g для верхней границы начальных значений поперечных компонент скорости Для реализации устойчивого движения необходимо обеспечить выполнение условий |B|/r < |A| < R, -v|A |r < |B | < R.

< 2b(2 - b)|x0| (2 + b) 2, c В рассматриваемой области устойчивости возможен режим ограничения пучка по скоростям. Если -v < 2b(2 + b)|y0| (2 - b) 2, |v1/c|, |v2/c| 1, то пучок ионов заряда Ze0, c прошедший через волновод в случае = 1, будет где |x0|, |y0| < R.

состоять из частиц, начальные продольные скороПолагая R = 10-3 м, V = 103 В, b = 0.125, для элек- сти которых удовлетворяют условию v3 c(), тронов станфордского линейного коллайдера с энергией = (4 - 4)(4 +4)-1, где 2 = 4Ze0V/mbR2, 50 ГэВ получим 11 м, |v1/c|, |v2/c| 5 · 10-5. 2 = 4Ze0V /mb0R2, > 0. При увеличении частоты б) Найдем теперь методом усреднения решения урав- в интервале 0 0(2/ - 1)1/4 величина принимает значения 0 1 -. Если этот пучок нения Матье в окрестности кривых µs1(q), µc1(q) при пропустить через второй волновод, где частота значениях параметра b b0. Равномерно пригодное и = -1, то на выходе окажутся ионы, для которых разложение общего решения имеет вид v3 c( ).

в) В области устойчивости bL b bR, bL = 7.51, u(s) = Re Ar1/2 + iBr-1/2 1F + 2F exp(ins).

bR = 7.58 при фиксированной частоте волновод в слу(16) чае = 1 пропускает частицы, для которых начальные Здесь A, B — постоянные; = µ - 1; r = n/(l + k);

значения продольных скоростей удовлетворяют условию n = l2 - k2 — характеристический показатель, v1() 2(), c 2 q2l = - + + +..., 2k =q 1- +..., где i =(4 -4)/(4 +4), 2,2 =4Ze0V/mR2bL,R, 4 8 2 i i 1.

Величину 2 можно представить в виде 2 = 1 +, 1,2 =r-1/2 ±r1/2, 1 b2 q q L = 1- 1-1 5· 10-3 1 - 1.

F = 1- exp(-is) - exp(is) + exp(-3is) +....

2 b4 4 R Отметим, что при =1(2/-1)1/4 имеем 1 = 1-.

Решение в областинеустойчивости следует из (16) после замены n -i k2 -l2. В этом же приближении производная равна Движение при импульсном возбуждении волновода du = Im Ar1/2 + iBr-1/2 1G + 2G exp(ins), ds Рассмотрим теперь движение частицы в волне, струк q 3q тура которой формируется периодической последоваG = 1 + exp(-is)- exp(is)+ exp(-3is)+....

тельностью импульсов противоположной полярности с 4 4 Журнал технической физики, 1997, том 67, № Релятивистская частица в квадрупольном волноводе поведения решения найдем собственные значения матрицы M M11 = 1 + b1b2 - b2, M12 = 1 + b1b2 - b2, M21 = -2(b2 - b1 - b1b2), M22 = 1 - 2b1 + 3b2 - 2b1b2.

Аналогичная задача возникает при нахождении областей пропускания оптического излучения многослойными средами [13]. Из уравнения det (M - I) =0 получаем 1/1 1,2 = SpM ± i 1 - SpM.

2 Рис. 1. Область устойчивости.

Условие ограниченности функции x( ) имеет вид |SpM| 2. Полагая SpM = 2cos, имеем 1,2 = exp(±i). Введем далее проекционные операторы амплитудами V1, V2 и длительностью t1 и t2. Пусть t1, t2 T, T = 2/ — период волны. В этом наиболее P1 =(M - 2I)(1 - 2)-1, P2 =(M - 1I)(1 - 2)-1, простом случае функция f () может быть представлена в терминах -функции Дирака удовлетворяющие условиям Pi2 = Pi, P1P2 = P2P1 = 0, P1 + P2 = I [14]. Так как M = iPi, то C = Mn = N N 1P1 + 2P2 или 1 n n f () = f1 - n -1 T -f2 - n - T, n=1 n=1 sin n C11 = M11 sin n - sin(n - 1), C12 = M12, sin sin где fi = tiVi.

Тогда в уравнениях (9), (10) sin n C21 = M21, C22 = M22 sin n - sin(n - 1).

sin sin N (19) 2e ( ) = f1 - n - 1 TРешение уравнения (10) следует из выражений (18) mR2 n=после замен A(n) B(n) = CkjA(0), B(0) = y0, k k j N 1 B(0) = v2/T0. Элементы матрицы C =(M )n опре- f2 - n - T0, деляются соотношениями (19), где матрица M предn=ставляет собой матрицу M, в которой произведена замена b1 -b1, b2 -b2; соответственно, где T0 = T /g.

2cos = SpM.

Решение уравнения (9) представляет собой кусочноОбщая область устойчивости решений уравнений (9), непрерывную функцию. Величина разрыва производной (10), определяемая системой неравенств определяется интегрированием уравнения в окрестности точек (n - 1)T0 и (n - 1/2)T0. Учитывая граничные 1 1 - b1 + b2 - b1b2 1, 1 + b1 - b2 - b1b2 1, условия, находим для n 2 представляют собой в плоскости (b1, b2) криволинейный x( ) =A(n-1)ui(, n-1), n - T0 n-1 T0, i четырехугольник OLMR (рис. 1), ограниченный прямыми x() =ikA(n-1)ui(, n), (n -1)T0 n - T0, k x() =A(n)ui(, n), n - T0 nT0. (18) i Здесь u1(, n) = 1, u2(, n) = /T0 - n + 1, A(n) = MikA(n-1), матрица Mik = i jjk, 11 = 12 = 1, i k 21 = -2b1, 22 = 1 - 2b1, 11 = 1 - b2, 12 = -(b2/2), 21 = 2b2, 22 = 1 + b2, bi = 4e2Vi/mgsi2R2 — постоянные величины, где si = T /ti — скважность. В силу начальных условий A(0) = x0, A(0) = v1/T0.

1 Очевидно, что A(n) = CkjA(0), где матрица C = Mn, Рис. 2. Зависимости x( ) (сплошная линия) и y( ) (штрихоk j det M = 1. Для вычисления матрицы C и исследования вая) при b1 = 1, b2 = 1.75.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 102 Ю.Г. Павленко, Н.Д. Наумов, А.И. Торопова b1 = 2, b2 = 2 и кривыми b2 = h(b1), b2 = 2b1/(2 + b1), [8] Стретт М.Д. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. Харьков, Киев: ГНТИ Украины, 1935.

где h(b1) =2b1/(2 -b1). Интересно отметить, что при [9] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анаb1 = b2 = 2 параметр = /2, а решения уравнений лиза. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1963.

(9), (10) являются периодическими функциями с перио[10] Миллер М.А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. Вып. 1.

дом 4T /g.

С. 110.

В радиочастотной масс-спектроскопии импульсный ре[11] Гапонов А.В., Миллер М.А. // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 1.

жим рассматривался в работе [15] для нерелятивистских С. 242.

ионов. Для прямой b2 = kb1 имеем k = f2/ f1, т. е. угол [12] Ландау Л.Д., Лифшиц И.М. Механика М.: ГИФМЛ, 1958.

наклона рабочей прямой определяется только парамеС. 119.

трами прямоугольных импульсов. Оптимальный режим [13] Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция работы реализуется в окрестностях точек L и R. При и волновое распространение оптического излучения. М.:

k = 2 - прямая отсекает от диаграммы устойчивости Мир, 1989. С. 153.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.