WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1998, том 68, № 1 01;10 О некоторых свойствах уравнений огибающих применительно к задачам проектирования и настройки оптики пучков © Ю.В. Зуев Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им. Д.В. Ефремова, 189631 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 17 июня 1996 г.) На основе аналитического преобразования обычных уравнений огибающих получены уравнения масштабного преобразования линз первого порядка с учетом температуры частиц и их объемного заряда.

Анализ полученных уравнений позволил выявить некоторые общие принципы построения и масштабирования пучковых систем разных типов. Свойства преобразования иллюстрируются на примере уравнения для электростатической осесимметричной линзы.

Введение Иногда эти требования объединяют Проектирование пучковой оптики в той или иной 1(h(u) - A)2 + 2( f (u) - B)2 + 3(g(u) - C)2. (5) степени всегда включает в себя решение обратной задачи Здесь и выше h(u) отвечает за размер, f (u) —за угол динамики, т. е. нахождение структуры и интенсивности наклона огибающей на мишени, g(u) оценивает конечсилового поля, реализующего требуемые характеристиную температуру в пучке. Роль параметров p играют ки пучка. В свою очередь любое силовое поле, формиток, заряд, масса и скорость частиц, входные размеры рующее пучок, всегда в итоге определяется несколькими поперечного сечения пучка, угол наклона огибающей, осевыми функциями и их производными (управлениями эмиттанс и т. п.

u(z)). Через параксиальное уравнение линейная r(z) и Задачу в такой постановке следует отнести к изоугловая r (z) огибающие пучка представляются интеграпериметрической разновидности вариационных задач и лами вида решать соответствующими методами. Однако использоz z вание их на практике затруднено большим количеством r(z) =r0 + r (z)dz, r (z) =r0 + (u(z), p)dz.

ограничений, накладываемых на искомое управление и 0 0 приводящих к невозможности определить функционалы для всех значений своих аргументов. Обычно это — Аналогично записываются выражения для аберрационобеспечивающие физическую реализуемость управления ных поправок, характеризующих интенсивность нагрева ограничения на апертуру пучка пучка. Исходя из этого проектирование должно включать последовательное решение двух задач: 1) нахождение z осевого поля, обеспечивающего желаемые оптические Rmin (u(), p)ddz Rmax, 0 z L, (6) свойства системы; 2) экстраполяцию этого поля в про0 странство для определения необходимых полеформирующих элементов. Первая задача сводится к отысканию длину системы такого управления u(z), которое при заданных краевых Lmin L Lmax, (7) условиях допустимую интенсивность поля u(0) =u0, u(L) =uL (1) придавало бы функционалам вида umin u(z) umax, (8) L L z скорость его изменения f (u) = (u(z), p)dz, h(u) = (u(), p)ddz |u (z)| u max (9) 0 0 вполне определенные значения и т. д. В литературе до сих пор известны лишь единичные случаи применения вариационных методов для решения |h(u) - A| A, | f (u) - B| B, (2), (3) задач подобного рода.

Чаще управление стараются описать конечным числом обеспечивая по возможности параметров и, выразив через них функционалы, свести L задачу к поиску экстремума некоторой целевой функции n переменных. В роли целевой обычно используется так g(u) = (u(z), p)dz C или g(u) min. (4) называемая функция качества (добротности) устройства, О некоторых свойствах уравнений огибающих применительно к задачам проектирования... включающая в себя и отклонение характеристик пучка от Уравнение огибающей в квадрупольном канале их номинальных значений. Поиск экстремума проводитx = Gx + Fx, y = -Gy + Fy. (11) ся методами оптимального управления или многокритериальной оптимизации. Такой трансформации задачи в Здесь роль управления играет приведенный градизначительной мере способствует возможность матричент линз G; Fx(x, y) = Q/(x + y) + x /x3;

ного описания системы, к сожалению, непригодного в Fy(x, y) = Q/(x + y) +y /y3. Система уравнений (11) случае пучков с заметной ролью собственного объемможет быть сведена к одному, связывающему только ного заряда. В подавляющем же большинстве случаев поперечные размеры пучка x и y, проектирование осуществляется путем многократного решения прямой задачи, т. е. подбором описывающих yx + xy =q(x, y), (12) силовое поле параметров и последующим расчетом характеристик пучка, продолжающимися до тех пор, пока где q(x, y) =yFx + xFy.

не будет получено необходимое преобразование. НаибоТогда G =(x - Fx)/x =(y - Fy)/(-y) (при такой лее широко при этом используются методы нелинейного форме записи в качестве управления рассматривается программирования.

задаваемый размер пучка).

Построенные на аналогичных принципах компьютерУравнение огибающей в поворотном магните ные программы, гарантируя физическую реализуемость проектируемых систем, могут находить решение только (1 - n) n при хорошем начальном приближении. К ним относят- x = - x + Fx, y = - y + Fy R2 Rся и широко известные программы типа ”Transport”, или ”Trace” [1]. Причины этого связаны в первую очередь с некорректностью обратной задачи. Подобные задачи, yx + xy =M(x, y). (13) состоящие в обращении причинно-следственных связей, Здесь R — радиус поворота магнита; n — показадопускают при заданных ограничениях как множествентель спада поля; M(x, y) = yFx + xFy - (xy)/R2;

ность решений, так и отсутствие решений вообще. НеnR-2 = R-2 +(x - Fx)/x =(y - Fy)/(-y).

маловажное значение играют методы решения. РассмаПреимущества предлагаемого подхода удобнее всего триваемая задача заключается не в оптимизации функпроследить на примере уравнения огибающей в осеции или функцианала, а в придании им определенных симметричной электростатической линзе. Поле линзы значений. Этих значений может не содержать ”ниша”, определяется только осевым распределением потенциала ближайшая к точке старта.

U(z), а поведение огибающей — начальными условиями Целью данной работы являлась разработка неоптимиr(0) =r0, r (0) =r0 и уравнением зационного метода решения задачи в постановке наиболее актуальной при проектировании оптики, согласуr U + 0.5r U + 0.25rU =U(r, U), (14) ющей параметры пучка с пропускными характеристи ками ускоряющих структур или каналов транспортигде U(r, U) =QU/( Ur)+H/r3, H — нормализованровки (условия (2), (3) без (4)). Немногочисленные ный эмиттанс.

известные автору прямые методы решения такой задаСледовательно, систему линза–пучок можно описать чи применимы к системам с определенной структурой пространственной кривой (жирная линия на рис. 1) поля (как, например, в [1–4]) и пренебрежимо малым в координатах Urz, заданной, например, проекциями первеансом [1–3,5,6].

U(z) и r(z). Использование обычного уравнения (14) представляет собой отыскание проекции этой кривой на Преобразование уравнений огибающих плоскость rz по известной проекции на плоскость Uz (или наоборот). Идея предлагаемого метода состоит в с помощью функции связи.

том, чтобы считать исходной проекцию на плоскость Ur.

Обобщенное уравнение масштабного В этом случае, задавая некоторую функцию, изначально преобразования связывающую управление и пучок, — функцию связи, мы заранее определяем все значения, которые будут приниДля оптических устройств, наиболее часто испольмать и радиус пучка, и потенциал в линзе, в том числе, зуемых в качестве линз первого порядка, уравнения что особенно важно, их минимальные, максимальные и огибающих в обычной форме имеют следующий вид.

краевые значения, т. е. выполнять условия (1), (2), (6), Уравнение огибающей в соленоиде (8) (рис. 1).

r =S(r, B), (10) Еще ряд преимуществ связан с уравнением, устанавливающим соответствие между функцией связи и где S(r, B) = QS|r + 2|r3 - const rB2; B — индукция оптической осью. Его форма магнитного поля на оси; QS — параметр объемного заряда, зависящий от величины тока пучка, сорта и z = (h2 - h32)(15) скорости частиц; — эмиттанс.

h7 Журнал технической физики, 1998, том 68, № 98 Ю.В. Зуев Таблица 1.

z = (h2( ) - h3( )2) h1( ) Тип оптической системы Функция связи h1 h2 hdz dr d2r Соленоид r(B) B S dB dB dBdz B(r) r 1 0 S dr dz dr dr d2r Осесимметричная r(U) U U + 0.25r 0.5 + U U dU dU du dUэлектростатическая система dz dU dU d2U U(r) r U + 0.25r 0.5 + 0.25r U dr dr dr drdz dy d2y Квадрупольный канал y(x) x y + x x q dx dx dxdz dx d2x x(y) y x + y y q dy dy dydz dy d2y Поворотный магнит y(x) x y + x x M dx dx dxdz dx d2x x(y) y x + y y M dy dy dyинвариантна относительно выбора новой независимой диуса пучка, но и все необходимые производные, т. е.

переменной и справедлива для всех уравнений, представ- полностью решить поставленную задачу. Выявление и ленных выше (табл. 1). Последнее дает возможность при анализ особенностей просты. Их тип и положение не разработке систем различных типов использовать единые зависят от формы представления функции связи.

принципы, которые основаны на свойствах уравнения. При переходе от явного представления к параметриУравнение (15) может иметь узловые и седловые осо- ческому сохраняет свой вид и основное уравнение бенности. Характер и положение особенностей опредеM ляют единственность или множественность реализаций = ( f2() - f3()M2)(16) f1() функции связи либо ее принципиальную нереализуемость (под реализацией здесь подразумевается решение (выражения для f1, f2, f3 приведены в табл. 2; точкой обычного уравнения огибающей, дающее соответствуобозначено дифференцирование по параметру ).

ющую проекцию на плоскость Ur). Множественность Но переменная M во всех уравнениях теперь играет позволяет выбрать ту реализацию, которая имеет на одну и ту же роль — дифференциального коэффициента краях не только требуемые значения управления и рамасштабного преобразования, поскольку по определению M dz/d. Кроме того, уравнение (16) выявляет еще ряд свойств, полезных не только при проектировании оптики, но и при настройке.

Так как при замене на z выражения для f2() и f3() соответствуют левым и правым частям уравнений (10), (12)–(14), то совершенно очевидно, что M() 1, когда параметрически заданная функция связи совпадает с решениями обычных уравнений. Последнее наводит на мысль использовать в качестве функции связи размер пучка и управление настраиваемых систем или спроектированных ранее, если необходимы изменения их характеристик. С этой точки зрения уравнение (16) является обобщенным уравнением масштабного преобразования оптических систем первого порядка с функцией связи в качестве инварианта. Если параметрически заданная функция связи совпадает с решением обычного уравнения огибающей и допускает множественность реалиРис. 1. К описанию системы линза–пучок в пространзаций, интегрирование уравнения (16) с M0 > 1 дает стве (U, r, z).

Журнал технической физики, 1998, том 68, № О некоторых свойствах уравнений огибающих применительно к задачам проектирования... Таблица 2.

M = ( f2() - f3()M2) f1() Тип оптической системы df1() Функция связи f1() f2() f3() d Соленоид {B(), r()} r S f2() Электростатическая {U(), r()} 0.25rU + U rU + 0.5U + 0.25r U f2() +0.75U система Квадрупольный канал {X(), Y ()} X + Y X + Y q f2() +Поворотный магнит {X(), Y ()} X + Y X + Y M f2() + систему большей длины L = M()d, но меньшими В случае f1() = 0 для определения вида особой первыми производными вдоль оси d/dz = M-1d/d. точки требуется рассмотрение членов высшего порядка Интегрирование с M0 < 1 — наоборот, поскольку (дополнительная информация приведена в [7]). Функция интегральные кривые уравнения (16), за исключением связи принципиально не реализуема лишь тогда, когда особых точек, не пересекаются и величина (M-1) сохра- соответствующая интегральная кривая уравнения преняет свой знак. К аналогичному интегрированию можно образования проходит через нуль либо терпит разрыв. Тасвести перенастройку (перепроектирование) систем на кие решения уравнения (16) могут быть только особыми.

новое значение тока, эмиттанса, при смене сорта частиц Отсутствие особых точек гарантирует множественность ит. п.

реализаций функции связи, которая задается начальными В общем же случае параметрическое задание функции условиями интегрирования уравнения (16). Каждому Mсвязи, полагая параметр совпадающим с координатой соответствует разное масштабирование оптической оси, вдоль оптической оси, можно рассматривать как припри котором управление и пучок изменяют свои проближенное (качественное) описание желательного поизводные, но удовлетворяют как обычному уравнению ведения пучка и управления в системе. Элементарный огибающей, так и выбранной функции связи. При этом анализ особых точек выявляет обоснованность (реализуотношение их первых производных остается неизменным емость) желаемого. Основное уравнение преобразования r /U = f/U.

ремасштабирует оптическую ось так, чтобы заданные Возможность реализации функции связи образующей функцией связи пучок и управление согласовать по пронули характеристической функции f1 зависит от характеизводным в точном соответствии с обычным уравнением ра формируемых в этом случае особенностей. Наличие огибающей.

ненулевых особых точек (M = 0) всегда гарантирует присутствие подходящих решений уравнения (16) вблизи. Это — либо единственное решение, проходящее Анализ и свойства особых точек через центр ненулевого седла (и однозначно определяосновного уравнения преобразования ющее допустимое начальное значение M0, единственно возможное значение краевых производных), либо бескоНесложно показать, что уравнение (16) при заданных нечное множество решений с общей точкой в ненулевом начальных условиях имеет единственное решение на узле. Если только f2() = -0.5 f1(), то интегральные всем интервале изменения независимой переменной за исключением особых точек, в которых и числитель, и кривые, проходящие через ненулевой узел, имеют в знаменатель уравнения обращаются в ноль: особой точке еще и общую касательную. Это позволяет сшить в узел любые два решения, полученные инте f1() =0, M( f2() -f3()M2) =0. (17), (18) грированием уравнения (16) слева и справа от особенности, причем сшить идеальным образом, обеспечивая В нулях характеристической функции f1() функция непрерывность всех производных. Последнее свойство и связи формирует или одну (всегда нулевую), или три раздает возможность решать задачу (2), (3) формальным личные (нулевую и две симметричные) особенности, сообразом, задавая в качестве начальных необходимые ответствующие действительным корням уравнения (18).

краевые значения.

Вид особенности будет тот же, что и у особой точки В общем случае нулей характеристической функции линеаризованного уравнения = +a(M -M)/( -) может несколько. Необходимым условием реализуемо с коэффициентами a1 = f2()/ f1() для M1 = 0, сти функции связи в такой ситуации, естественно, явля a2,3 = -2a1, для M2,3 = ± f2()/ f3(). Если ется реализуемость в окрестности каждого нуля, т. е.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.