WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 2 06;07;12 Кинетика решеток заряда в фоторефрактивных кристаллах © Н.А. Гусак Институт повышения квалификации и переподготовки кадров по новым направлениям развития техники, технологии и экономики Белорусского национального технического университета, 220107 Минск, Белоруссия e-mail: rectorat@ipk.by (Поступило в Редакцию 25 апреля 2005 г.) Получены уравнения для концентраций заряда решетки и свободных носителей, порождаемых стоячей световой волной в анизотропном фоторефрактивном кристалле, и найдены их решения. Установлена зависимость величины заряда и электрического поля от ориентации решетки относительно кристаллографических осей среды. Показано, что кинетика решеток заряда определяется разностью двух экспонент с характерными временами, сумму которых можно трактовать как постоянную затухания решетки. Обнаружено существование трех областей значений времени максвелловской релаксации, отличающихся между собой характером поведения этой постоянной. Проанализирована кинетика решеток для некоторых кристаллов.

PACS: 81.05.-t Введение некоторой оси z задается выражением I(z ) =I0 1 + m cos(kz ), (1) В работе Н.В. Кухтарева [1] было установлено, что время записи (стирания) голографических решеток в где I0 — среднее значение интенсивности, m — кофоторефрактивных кристаллах не совпадает по длительэффициент модуляции и k — волновое число. Тогда в ности со временем максвелловской релаксации M. Оказоне проводимости кристалла концентрация Ne свободзывается, заряд решетки затухает не так, как затухает ных электронов становится тоже модулированной, и ее одиночный заряд в проводящей среде. Будем называть можно задать функцией в дальнейшем несовпадение времени затухания заряда решетки с M эффектом Кухтарева. Ne = Ne0 1 + me cos(kz ). (2) Математически процесс стирания решетки, согласно Здесь me — коэффициент модуляции концентрации элекполученному в [1] приближенному решению исходтронов, а Ne0 — среднее значение Ne. Неоднородное расной системы уравнений, задается одной экспонентой пределение Ne порождает решетку заряда. Это следует с некоторым характеристическим временем, отличным из общих принципов электродинамики.

от M. Данный результат воспроизводился в обзоре [2], Будем исходить из уравнения непрерывности посвященном явлениям переноса заряда, вызываемым с помощью света в фоторефрактивных кристаллах. В то + div J = 0, (3) же время в работе [3] теоретически обнаружено наличие t медленной начальной стадии в процессе затухания реуравнения Пуассона шеток (изменение заряда происходит пропорционально квадрату времени t). Такая особенность в поведении div(E) = (4) заряда разрушает представление о моноэкспоненциальном характере затухания пространственной зарядовой и выражения для плотности тока структуры. Отсюда следует, что эффект Кухтарева количественно проработан недостаточно. Поскольку он имеJ = eµNeE + µkBT Ne, (5) ет принципиальноe значение для физики фоторефрактивных кристаллов, мы решили исследовать кинетику учитывающего дрейфовый и диффузионный токи. Здесь решеток заряда в общем случае с целью конкретизации — плотность заряда, E и Ne — векторы напряженусловий появления этого эффекта, не ограничиваясь при ности электрического поля и градиента концентрации этом рассмотрением только изотропной среды.

электронов, — тензор диэлектрической проницаемости среды, µ — тензор подвижности электронов, 0 — электрическая постоянная, kB — постоянная Больцмана, T — абсолютная температуры среды и e — элементарОсновные уравнения и их решения ный заряд.

С целью упрощения вида полученных ниже выражеПусть фоторефрактивный кристалл находится в поле ний рассмотрим сначала случай изотропной среды с стоячей световой волны, интенсивность которой вдоль диэлектрической проницаемостью и подвижностью µ.

Кинетика решеток заряда в фоторефрактивных кристаллах На основании (5), используя (2) и (4), из (3) для Пусть в момент времени t = 0 в кристалле появляется концентрации заряда N = /e получим уравнение однородное световое поле I = I0. Тогда в кристалле I возникает концентрация электронов Ne, обусловленная N 1 светом и подчиняющаяся уравнению + N = Ne1, (6) t M D I Ne I где = SI0(N - Nc) - NcNe. (14) t Ne1 = Ne0me cos(kz ), (7) Решение этого уравнения имеет вид M =, (8) eµNeSI0 N - Nc t I Ne = 1 - exp -, (15) D — диффузионное время Nc r e где r — время рекомбинации D =. (9) µkBTkr =. (16) Уравнение (6) получено в предположении, что me — Nc малая величина, при этом учтены только линейные по Полную концентрацию электронов в данном слуme слагаемые.

чае можно представить в виде суммы двух слагаемых Согласно (6), для выяснения кинетики решеток заряда 0 I Ne = Ne + Ne, где Ne — концентрация электронов в необходимо знать зависимость от времени концентрации отсутствие поля свободных электронов, которая может быть выявлена N - Nc только на основе анализа протекающих в фоторефракNe =. (17) тивном кристалле процессов. Воспользуемся конкретной Nc моделью такого кристалла. Пусть кристалл обладает фоРассмотрим теперь ситуацию, когда кристалл в течеторефрактивными центрами донорного типа с некоторой ние длительного времени находился под воздействием концентрацией N. В нем присутствуют также насыщеноднородного светового возбуждения I = I0 и при t = ные акцепторы с концентрацией Nc, меньшей N. При одполе становится неоднородным и описывается выраженородном освещении, сопровождающимся поглощением нием (1). В этом случае величина концентрации элексвета и образованием положительно заряженных фототронов, задаваемая выражением (15), достигает своего рефрактивных центров с концентрацией N+ и свободных стационарного значения. Объединяя ее с величиной (17), электронов, в кристалле соблюдается локально условие получаем значение полной концентрации электронейтральности + SI0 N - Nc Ne0 =, (18) N+ = Nc + Ne. (10) Nc Величина N+ подчинаяется кинетическому уравне- которое как раз и определяет среднее значение Ne0, нию [1] введенное в (2).

Зависящей от времени теперь оказывается неодноN+ родная часть концентрации электронов (7). Для ее =( + SI)(N - N+) - N+Ne, (11) t нахождения следует исходить уже не из уравнения (14), а из видоизменного уравнения, учитывающего новую где — вероятность тепловой генерации свободных ситуацию. При неоднородном световом поле условие электронов, S — сечение оптического поглощения и (12) не соблюдается, поскольку в этом случае возникает — коэффициент рекомбинации.

диффузия электронов, вызывающая их уменьшение, и В соответствии с условием (10) при воздействии на дрейф электронов в неоднородном электрическом поле, кристалл однородного светового возбуждения соблюдасопровождающийся, наоборот, увеличением числа своется равенство бодных носителей. Учет модуляции света и этих двух dN+ = dNe, (12) процессов трансформирует уравнение (14) в следующее:

отражающее тот факт, что увеличение концентрации Ne1 1 1 электронов происходит за счет такого же увеличе= SI0m(N - Nc) cos(kz ) - Ne1 - Ne1 + N.

t r D M ния концентрации ионизированных фоторефрактивных (19) центров. В этом случае уравнение (11) эквивалентно следующему: Это уравнение является следствием уравнений (6) и + + (11), поскольку N = N1 - Ne1, где N1 — переменная Ne в пространстве составляющая концентрации N+. Его =( + SI)(N - N+) - N+Ne (13) t удобно представить в аналогичной уравнению (6) форме и является уравнением для Ne, где под N+ можно Ne1 1 1 + + Ne1 = B + N, (20) понимать постоянную величину N+ = Nc. Возможность t r D M пренебрежения изменением N+ обеспечивается в достаточно большом интервале изменений I [4]. где B = SI0m(N - Nc) cos(kz ).

7 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 98 Н.А. Гусак Таким образом, в результате преобразований мы являющимися корнями квадратного уравнения перешли от исходной системы уравнений к системе 1 1 1 1 1 уравнений (6) и (20) для двух неизвестных функций - + + + = 0. (27) N и Ne1. В уравнении (6) для N величина Ne1 2 M r D Mr играет роль источника. Источником же неоднородного Рассмотрение кинетики решеток заряда в случае анираспределения свободных электронов Ne1, согласно (20), зотропного криcталла необходимо проводить с учетом является неоднородное световое полe и заряд.

следующих соображений. Можно показать, что наличие О поведении решеток заряда во времени можно сув кристалле распределения плотности заряда вдоль дить на основе решений уравнений (6) и (20), непосреднекоторой оси z по закону = 0 cos(kz ) сопровождаственное нахождение которых, однако, является весьма ется присутствием в кристалле электрического поля с трудоемким. Поэтому можно поступить следующим обкомпонентами разом. Перейдем от этих уравнений к уравнениям только для N и только для Ne1:

0 Ex = x cos(kz ), Ey = y cos(kz ), 30x 30y 2N 1 1 1 N N B + + + + =, (21) t2 M r D t Mr D Ez = sin(kz ), (28) 30z k 2Ne1 1 1 1 Ne1 Ne1 B + + + + =. (22) где x, y — координаты вдоль двух других кристаллоt2 M r D t Mr M графических осей, перпендикулярных оси z, a x, y Решения этих неоднородных уравнений, удовлетворяюи z — компоненты тензора вдоль осей x, y и z щих условиям N = Ne1 = 0 при t = 0 имеют вид соответственно. В анизотропном случае уравнение для концентрации заряда совпадает по форме с уравнением BMr 1 t N = 1 - exp (6), в котором M и D даются выражениями D 1 - 2 2 t 30 µx µy µz -- exp -, (23) M = + +, (8a) 1 - 2 eNe0 x y z 1 M t e Ne1 = Br 1 - 1 - exp D =, (9a) 1 - 2 1 µz kBTkгде µx, µy, и µz — компоненты тензора подвижности 2 M t - 1 - exp -. (24) электронов вдоль соответствующих осей.

1 - 2 2 Из решений (23) и (24) с учетом (8а), (9а) и (16) При t функции N и Ne1 достигают стационарных c c находим следующие выражения для N и Ne1 в стациозначений, совпадающих с множителями перед фигурнынарных условиях:

ми скобками в выраженияx (23) и (24).

Пусть теперь решетка заряда находится в стацио30z kBTkc N = нарном состоянии и в момент времени t = 0 освещеeние кристалла становится однородным. Такая ситуации описывается уравнением (21) с нулевой правой частью.

µx z µy z -1 SI0m 1 + + cos(kz ), (23a) Решением однородного уравнения, удовлетворяющим µz x µz y + SIуказанному начальному условию, является функция SI0m(N - Nc) c BMr 1 t 2 t Ne1 = cos(kz ). (24a) N = exp - - exp -.

Nc D 1 - 2 1 1 - 2 (25) Во избежание недоразумений заметим, что из общих решений уравнений (21) и (22), характеризующихся Аналогично можно записать и функцию Ne1, задаюпроизвольными постоянными множителями перед эксщую затухание свободных носителей после выключения понентами в выражениях (23) и (24), мы выбрали неоднородного освещения.

те частные решения, которые удовлетворяют исходным Функции N и Ne1 зависят от характеристических уравнениям (6) и (20). Это позволило конкретизировать времен 1 и 2, обратные величины которых даются указанные множители.

выражениями 1 1 1 1 = + + Обсуждение результатов 1,2 2 M r D Из (23а) видно, что в анизатропном фоторефрактив1 1 2 1 1 ном кристалле плотность заряда зависит от ориентации ± - + + +, (26) M r D M r D решетки относительно кристаллографических осей. То Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Кинетика решеток заряда в фоторефрактивных кристаллах же можно сказать и о рабочей компоненте электриче- Времена 1 и 2 характеризуют кинетику рассматриваского поля Ez, которая, согласно (28) и (23а), задается емых процессов. Их сумму выражением g = 1 + 2 (32) kBTk µx z µy z -1 SI0m Ez = 1 + + sin(kz ). (29) можно трактовать как время затухания решеток заряда, e µz x µz y + SIпоскольку значение функции (25) за время t = g уменьшается приблизительно в e pаз по сравнению с тем Зависимость Ez от компонент тензоров и µ пропадает значением, которое было в стационарном состоянии в только при пропорциональности этих тензоров, что момент t = 0. Это оказывается справедливым при любом имеет место, в частности, для изотропной среды.

соотношении между 1 и 2, хотя при 1 = 2 данное При отсутствии анизотропии по µ компонента Ez утверждение и не очевидно. Однако можно показать, что сохраняет зависимость от ориентации решетки в кривыражение (25) в этом случае преобразуется к виду сталле. Эта компонента достигает своего максимального значения в ситуации, когда ось решетки совпадает с t t c N = N 1 + exp -, кристаллографической осью, для которой компонента 2 тензора минимальна. Следует заметить, что плотность заряда в таких изотропных по µ кристаллах не чув- откуда следует g 22.

ствительна к ориентации оси решетки и определяется В общем случае времена 1 и 2 зависят от трех средним значением обратных величин от компонент параметров кристалла M, r и D. Время M в выражении тензора. (26) функционально никак не выделено, все зависит от соотношения между этими параметрами. Если любая из Плотность заряда в кристалле не зависит от контрех величин M, r и D значительно меньше каждой центрации фоторефрактивных центров, она не зависит из остальных, то выражение (26) упрощается и дает также и от Nc. Однако это утверждение справедливо приблизительно следующее:

только при достаточно больших значениях Nc, удоc влетворяющих условию Nc N. Если данное условие 1 1 1 нарушается, то в исходных уравнениях нельзя полагать = + +, (33) 1 M r D N+ = Nc.

Из (29) видно, что внутреннее электрическое поле -1 1 1 1 в фоторефрактивном кристалле при малых значениях = + +. (34) 2 Mr M r D интенсивности света линейно зависит от I0. По мере увеличения I0 рост Ez замедляется и при SIЗдесь возможны три варианта. Пусть r (M, D), тогда величина Ez выходит на насыщение.

из (33) и (34) имеем Вернемся теперь к вопросу о кинетике решеток заряда. Поскольку под корнем выражения (26) находится 1 r, 2 M. (35) положительная величина, то не может быть комЕсли D (r, M), то плексным. При любом отношении между M, r и D величина принимает два положительных значения. Это rM обстоятельство обусловливает наличие медленной ста1 D, 2. (36) D дии в процессе застройки (затухания) решетки заряда.

Действительно, согласно (23), при малых t имеем В случае, когда M (D, r ), находим t1 M, 2 r. (36) c N = N. (30) Затухание решеток заряда в таких кристаллах с достаДанное выражение справедливо в течение времени, точной точностью можно считать моноэкспоненциальзначительно меньшего меньшей из величин 1 и 2. ным. Из (35)–(37) видно, что 1 2. По этой причине для кристалла, отвечающего какой-либо из указанных Интересно отметить, что процесс застройки (затухаситуаций, в кинетике решеток можно пренебречь вклания) неоднородного распределения свободных носитедом, обусловленным быстро затухающим слагаемым.

лей не имеет медленной стадии. В самом деле, выраВ выражении (25) остается только второе слагаемое, и жение (24) при малых t дает 2 выступает в качестве времени затухания решетки g.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.