WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 1 Точность квантования холловской проводимости в образце конечных размеров: степенной закон © А.А. Грешнов, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря¶ Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 25 мая 2005 г. Принята к печати 27 мая 2005 г.) Выполнен микроскопический расчет проводимости в режиме целочисленного квантового эффекта Холла.

Исследован вопрос о точности квантования для образцов конечных размеров. Обаружено, что точность квантования степенным образом зависит от размера образца. Введен новый скейлинговый параметр, описывающий такую зависимость. Также показано, что точность квантования линейно зависит от отношения амплитуды хаотического потенциала к циклотронной энергии. Проведено сравнение результатов с магнитотранспортными измерениями в мезоскопических образцах.

PACS: 73.43.Cd, 75.47.-m 1. Введение локализации для образцов достаточно больших размеров. С помощью таких расчетов была подтверждена Несмотря на значительный прогресс, имеющийся в теория конечно-размерного скейлинга и получены знапонимании квантового эффекта Холла (КЭХ), последо- чения скейлинговых индексов, хорошо согласующиеся вательная микроскопическая теория этого явления до с экспериментом [3,4]. К сожалению, подобные методы сих пор отсутствует. Напомним, что в условиях сильного неприменимы для расчета холловской проводимости, так магнитного поля, направленного перпендикулярно плос- как в этом случае необходимо иметь полную информакости двумерного полупроводникового образца, и низ- цию о спектре носителей и волновых функциях.

ких температур наблюдается квантование холловского В данной работе проведен расчет холловской провосопротивления RH = h/e2 [1]. Здесь является целым димости двумерного электронного газа в сильном магчислом, причем точность квантования при достаточно нитном поле из первых принципов. Полученные резульнизких температурах ограничена обычно лишь погреш- таты позволяют утверждать, что точность квантования ностью измерения и может достигать миллионной доли холловской проводимости на плато степенным образом процента [2]. Важно, что квантование имеет место в зависит от размера образца и прямо пропорциональна некотором интервале магнитных полей либо концен- отношению амплитуды хаотического потенциала к циктраций носителей заряда (на холловских плато). Такое лотронной энергии.

поведение проводимости двумерного электронного газа Далее описана использованная модель хаотического в сильном магнитном поле противоречит выводам клас- потенциала и метод расчета проводимости. Затем присической кинетической теории и диаграммной техники ведены результаты численных расчетов и их анализ.

усреднения по беспорядку (самогласованному борнов- В заключение выполнено сравнение теоретических рескому приближению). зультатов с данными магнитотранспортных измерений в мезоскопических образцах.

Для описания КЭХ необходимо учитывать явления сильной локализации электронов на хаотическом потенциале примесей, имеющее место в магнитном поле.

2. Модель Корректный учет хаотического потенциала приводит к степенной зависимости длины локализации от энергии При расчете проводимости в режиме целочисленного электронного состояния [3]:

квантового эфекта Холла (ЦКЭХ) мы будем учитывать только упругое рассеяние при нулевой температуре (E - En)-, 2.3.

T = 0 K. Такое рассмотрение оправдано при следующих условиях. Во-первых, образец не должен быть слишком Наличие скейлингового закона зависимости длины ло„чистым“, чтобы кулоновские эффекты не приводили кализации от энергии указывает на необходимость мик постепенному разрушению ЦКЭХ и появлению стукроскопического учета хаотического потенциала при пенек дробного КЭХ. Во-вторых, наличие конечной расчете проводимости в режиме КЭХ, что может быть температуры приводит к эффективному ограничению достигнуто при использовании численных методов.

-p/размера образца длиной сбоя фазы L T [5]. Здесь Ранее численные расчеты успешно использовались скейлинговый показатель p определяется превалируюдля изучения зависимости длины локализации от энерщим механизмом неупругого рассеяния и не является, гии электронных состояний. Имеется ряд эффективных согласно экспериментальным данным [4], универсальметодов, которые позволяют производить расчет длины ным параметром. Наконец, уширением фермиевской ¶ E-mail: zegrya@mail.ioffe.ru ступеньки функции распределения можно пренебречь 94 А.А. Грешнов, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря из-за малости типичных температур, при которых на- 3. Результаты блюдается КЭХ: T < 1K 0.1мэВ c.

Гамильтониан невзаимодействующих носителей заИзложенный выше метод расчета холловской проворяда во внешнем магнитном поле B и хаотическом димости двумерного электронного газа позволяет пропотенциале примесей U(r) имеет вид анализировать вопрос о влиянии конечности размеров образца на точность квантования. Прежде всего отме (p - e/cA)M = + U(r), rootA = H = B. (1) тим важность последовательного расчета как плотности 2m состояний, так и волновых функций электронных соПусть перпендикулярное плоскости двумерного образца стояний. На рис. 1 изображена рассчитанная плотность магнитное поле направлено вдоль оси z, а хаотический состояний D(), а также характерный вид распределения потенциал U(r) для простоты не меняется вдоль этой электронной плотности в локализованных и делокалиоси. Выберем векторный потенциал однородного магнитзованных состояниях. Видно, что волновые функции, ного поля в виде A =(-By, 0, 0) — калибровка Ландау.

отвечающие минимуму плотности состояний являются При рассмотрении одного уровня размерного квантовалокализованными на микроскопическом масштабе пония задача описывается следующим гамильтонианом:

рядка магнитной длины, соответствующие максимуму (px - eBy/c)2 + p y плотности состояний — делокализованными = + U(r), r =(x, y). (2) 2m На рис. 2 представлены результаты расчета холловИспользованный в данной работе модельный примес- ской проводимости для образца с такими размерами, что ный потенциал имеет следующий вид:

на одном уровне Ландау содержится 200 электронных состояний. Для магнитного поля напряженностью 10 T N (r - rn)это соответствует образцу с размерами 0.30.3мкм.

U(r) = Un exp -, (3) RНаличие значительных флуктуаций проводимости между n=плато КЭХ является мезоскопическим эффектом, пригде величины Un и rn распределены равномерно в интерсущим образцам с маленькими размерами ( 1мкм) вале [U<, U>] и по всей плоскости (x, y) соответственно, при низких температурах ( 0.1K). Для сравнения с что позволяет варьировать амплитуду и корреляционные свойства потенциала с помощью параметров N, U<, U> результатами наших расчетов на рис. 3 представлены экспериментальные данные работы [7], в которой маги R. С другой стороны, использование потенциала такого вида позволяет аналитически рассчитать матричные эле- нетотранспортные измерения проводились на кремниевом MOSFET с размерами 0.60.6 мкм при темпераменты в базисе волновых функций, содержащих плоские волны [6]: туре 100 мK. Как видно из рис. 3, помимо флуктуации холловской проводимости в переходных областях между exp(ikx) = exp - Hn, плато, заметные флуктуации имеются также на первом nk 2nn! aHLx 2a2 aH H и втором плато КЭХ.

c = y - ka2, a2 =, (4) H H |e|B где n 0 — номер уровня Ландау, Hn — полиномы Эрмита, aH — магнитная длина. Для образца конечных размеров Lx Ly набор базисных волновых функций определялся условиями периодичности на длине Lx и попадания точки y0 = ka2 внутрь отрезка длины LY [6].

H Необходимые для расчета проводимости собственные энергии и волновые функции находились с помощью численной диагонализации гамильтониана в базисе волновых функций (4).

Выражение для холловской проводимости (формула Кубо) может быть получено при T = 0 K в первом порядке теории возмущений по электрическому полю:

e yi f (Jx )f i + c.c.

xy =, (5) S i - j i<µ f >µ где i, f — собственные энергии гамильтониана ; yi f и (Jx )f i — матричные элементы координаты и интеРис. 1. Расчитанная плотность состояний D() в магнитном грального тока в базисе собственных волновых функций поле (показаны три нижних уровня Ландау); распределение гамильтониана ; — уровень химического потенциала, электронной плотности в локализованных (a) и делокализоS — площадь образца. ванных (b) состояниях.

Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. Точность квантования холловской проводимости в образце конечных размеров: степенной закон С целью анализа зависимости точности квантования от размеров образца было проведено усреднение отклонения холловской проводимости одного полностью заполненного уровня Ландау от квантованного значения E2/h по реализациям случайного потенциала. Зависимости среднеквадратичного отклонения холловской проводимости в центре первого плато от размеров образца представлены на рис. 4. Наличие на графике рис. эквидистантных в двойном логарифмическом масштабе прямых означает, что xy является степенной функцией отношения размера образца к магнитной длине и пропорционально амплитуде хаотического потенциала U:

xy U a2 b H. (6) Рис. 2. Результаты расчета холловской проводимости xy в xy c S зависимости от фактора заполнения.

Здесь введен новый скейлинговый параметр b, описывающий зависимость точности квантования от размера образца. Во всех наших вычислениях параметр b оставался универсальным: b = 0.7 ± 5%. При этом пропорциональность величины xy амплитуде хаотического потенциала является (в пределе U c) точным аналитическим результатом, вывод которого приведен в приложении. Как показывает оценка, выполненная на основании формулы (6), флуктуации холловской проводимости на плато могут достигать величины 10-для образцов субмикронных размеров. Это качественно согласуется с экспериментальными данными работы [7].

Необходимо отметить, что полученный нами степенной закон зависимости точности квантования от размеров образца качественно подтверждается также Рис. 3. Холловская проводимость кремниевого образца размеизмерениями, выполненными на макроскопических обром 0.60.6 мкм в зависимости от напряжения на затворе Vg разцах. В частности, в работе [8], выполненной на в магнитном поле B = 16 Тл (из работы [7]).

кремниевом транзисторе с размерами 22 мм, обнаружены флуктуации холловской проводимости на плато на уровне 10-7 при экспериментальной погрешности не хуже 10-8. В то же время в большинстве известных нам теоретических работ утверждается, что поправка к холловской проводимости связанная с конечностью размеров образца, экспоненциально мала [9,10]. Основанием для таких выводов служит экспоненциальный вид волновых функций локализованных состояний. Это действительно приводит к экспоненциально малому наклону плато ЦКЭХ, однако не определяет точности, с которой холловская проводимость на плато принимает квантованное значение e2/h. Значение же xy на плато определяется всеми электронными состояниями лежащими ниже уровня химического потенциала, как локализованными, так и делокализованными [2].

В заключение подчеркнем, что для окончательного Рис. 4. Среднеквадратичное отклонение холловской проводипонимания прецизионной точности квантования, наблюмости в центре первого плато от величины e2/h в зависимости даемой в экспериментах по квантовому эффекту Холла, от отношения площади образца S к квадрату магнитной длины необходимо дальнейшее изучение вопроса о зависиa2. Эквидистантные в двойном логарифмическом масштабе H мости точности квантования от различных факторов.

прямые отвечают удвоению амплитуды хаотического потенциВ первую очередь это должны быть высокоточные ала U (снизу вверх). U/ c: 1 — 0.01, 2 — 0.02, 3 — 0.04, эксперименты, в которых бы изучалась зависимость точ4 — 0.08, 5 — 0.16, 6 — 0.32, 7 — 0.64.

ности квантования от размеров образца, температуры и Физика и техника полупроводников, 2006, том 40, вып. 96 А.А. Грешнов, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря подвижности носителей заряда. Из температурной зави- вые функции симости холловской проводимости образцов небольших размеров (L 10 мкм) известно, что при температурах = lim = C(n) (П.4) nk n(n) n(n) k tT 30 мK длина неупругого рассеяния L становится k больше длины образца L [4]. Это означает, что в таких таким образом, чтобы они являлись в точности ортоэкспериментальных условиях открываются возможнонормированными и совпадали с собственными функциясти для прямого наблюдения зависимости отклонения ми с точностью до 0(t). Следствием ортонормироn(n) холловской проводимости от квантованного значения в ванности волновых функций n(n) является следующее зависимости от размеров образца. Следует ожидать, что из (П.3) тождество подобные измерения покажут наличие степенного, а не экспоненциального закона зависимости xy/xy от L.

C C(n) = (n). (П.5) k (n) (n)k k Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты № 04-07-90148, № 04-02Обобщим функции (10) следующим образом:

16786, № 05-02-16679), а также программой поддержки ведущих научных школ.

= C(m). (П.6) nk n(m) k Один из авторов (А.А. Грешнов) признателен за k поддержку Фонду „Династия“ и МЦФФМ.

Несмотря на то что волновые функции n(m) не являются при m = n собственными функциями гамиль тониана в пределе t 0, они окажутся полезными Приложение при дальнейших вычислениях. В частности, в этом случае n( =m)(m) могут быть выражены через волновые Покажем, что холловская проводимость в середине функции (П.4):

каждого плато принимает квантованное значение e2/h в пределе U/ c 0. Пусть амплитуда хаотического = D(m) n(n). (П.7) n(m) (n) потенциала U настолько мала по сравнению с цикло(n) тронной энергией c, что в плотности состояний D() имеется энергетическая щель между уровнями Ландау Используя формулы (П.4)–(П.7), несложно получить с номерами N - 1 и N, где N 1. Выполним расчет еще одно тождество:

холловской проводимости для случая, когда уровень химического потенциала находится в этой щели, т. е.

D D (n) = (m). (П.8) (m) (m)(n) (m) имеется N полностью заполненных уровней Ландау.

(n) При выполнении условия U c нахождение собственных энергий и волновых функций гамильтониа- Для вычисления холловской проводимости по формуле на (2) возможно в рамках теории возмущений для вы- Кубо (5) прежде всего необходимо получить выражения рожденных состояний [6]. Точные собственные энергии для матричных элементов операторов координаты y и и волновые функции можно представить при этом в интегрального тока Jx. В базисе волновых функций (4) следующем виде: имеем:

e |Jx| = ||, (П.9) nk mq maH nk mq n(n) = c[n + 1/2 + 0(t)], (П.1) |y| = aH || + ka2 kqmn, (П.10) nk mq nk mq H = A(n) + t B(n), (П.2) nk mk n(n) k mk max(m, n) k m =n,k |Jx| = kq|m-n|,1. (П.11) nk mq Используя приведенные выше тождества, получаем слеA kA k = (n) + 0(t). (П.3) (n) (n) (n) дующие матричные элементы между соседними уровняk ми Ландау:

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.