WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 2 01;10 Применение формулы Донкина в теории энергоанализаторов. I © П.Г. Габдуллин, Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова, С.Н. Давыдов Санкт-Петербургский государственный технический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Поcтупило в Редакцию 1 декабря 1998 г.) Рассматривается синтез полевых структур с коническими эквипотенциалями на базе аналитического представления Донкина. Установлена иерархия таких структур, приведены примеры эквипотенциальных портретов и решена задача Коши для симметричных полей. В части II исследуются электронно-оптические характеристики некоторых систем этого класса, перспективных для применения в устройстве энергоанализаторов и монохроматоров.

Электростатические поля с коническими эквипотен- ибо в них потенциал выражается через привычные циалями, сходящимися к общей вершине, так называ- угловые координаты,. Между тем представление (1) емые ”конусовидные” поля, все чаще встречаются в имеет свои богатые аналитические возможности, и в литературе последних лет. Описаны энергоанализаторы данной работе мы их анализируем по крайней мере в на основе соосных круговых конусов [1], клинчатые очевидных проявлениях.

призмы [2] и разрезные круговые клинчатые призмы [3], энергоанализатор типа ”двугранного угла” [4]. Но Классификация аналитических структур все эти частные случаи только приоткрывают широкие перспективы применения этих систем в корпускулярной Выражение (1) можно рассматривать как обобщение оптике. Интерес к данному виду полей обусловлен их понятия комплексного потенциала для планарных полей, специфической особенностью — так называемым ”теперенесенного на ”конические” поля. Описание планарлескопическим эффектом”. Проявление этого эффекта ных полей с помощью одной функции простого комзаключается в том, что при движении в полях кониплексного аргумента = x + iy позволяет ввести очень ческого типа заряженные частицы одной энергии опиудобную и естественную иерархическую классификацию сывают геометрически подобные траектории. При этом, полевых структур по аналитическому признаку. Это в согласно закону Гельмогльца–Лагранжа, параллельный первую очередь целые положительные и отрицательные в плоскости движения пучок частиц при движении в степени n, приводящие к прямым и обратным мульполе будет сохранять параллельность, но изменит свои типолям, экспоненциальная и логарифмическая функции геометрические размеры. Так, двигаясь к общей вершине от : e иln и ряд простейших комбинаций из этого ба”конусовидного” потенциала, поток заряженных частиц зиса. Распространение этого принципа на более сложный будет сужаться и наоборот, расширяться при движении аргумент Донкина (2) порождает свою классификацию в обратную сторону.

”конических” полей со спецификой геометрической и По своей геометрии ”конусовидные” поля можно физической интерпретации. Как известно, в случае пларассматривать как ближайшее обобщение двумерных нарных полей комплесный потенциал в виде линейной планарных полей и подобно последним их теория легфункции по аргументу = x + iy порождает поле ко редуцируется к аналитической теории комплексного плоского конденсатора, но в ситуации ”конусовидных” переменного. Простую и изящную связь такого рода полей линейная функция по аргументу Донкина дает дает формула Донкина [5], позволяющая записать обновый нетривиальный тип поля. Пусть для простоты щее решение уравнения Лапласа в случае потенциалов, однородных (по Эйлеру) нулевой кратности, посредx + iy F = =. (3) ством аналитической функции комплексного аргумента z + x2 + y2 + z(x, y, z) =u + iv строго определенной структуры В качестве скалярного потенциала возьмем вещественx + iy ную часть этого выражения и положим (x, y, z) =F() =F = 1 = i2, (1) z + x =. (4) где z + x2 + y2 + zx + iy =, = x2 + y2 + z2, (2) z + Полагая x = 0, мы обнаруживаем, что плоскость F() — произвольная аналитическая функция. yz играет роль нулевой эквипотенциали всюду, за исЗдесь связь с планарными полями очевидна, однако на ключением полуоси x = y = 0, z < 0, в окрестпрактике формулу (1) не используют, предпочитая опи- ности которой уже намечается многозначность. Чтобы сание ”конусовидных” полей в полярных координатах, составить наглядное представление о форме (сечении) 92 П.Г. Габдуллин, Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова, С.Н. Давыдов Следующими элементами иерархии ”конических” потенциалов могут служить целые степени n x + iy F() =, z + x2 + y2 + zn = ±1, ±2, ±3,..., (7) причем положительные и отрицательные n дают структуры одной и той же формы. Например, при n = получаем вещественный потенциал вида x2 + yРис. 1. Вид эквипотенциальных поверхностей поля (4) при =. (8) 0 = 1 и 0 = 0.5.

z + x2 + y2 + zОн четный относительно x и y и имеет особую линию — луч x = y = 0, z < 0, в окрестности которого конических эквипотенциалей в данном случае выгодно поле обращается в бесконечность, а эквипотенциали пересечь всю совокупность их подвижной плоскостью сливаются. Так как представляется довольно сложным x = x0. Если =0 — номер эквипотенциали, то ее изобразить трехмерный вид эквипотенциалей данного сечение описывается следующим простым выражением:

поля, то ограничимся показом его сечений плоскостями x —const, y —const, z —const (рис. 2). Нулевыми x0 1 z = - 0 - y2, (5) эквипотенциалями здесь служит ортогональный крест 2 0 2xплоскостей x = y и x = -y с исключенным лучом z < из которого следует, что эквипотенциали имеют па- на их пересечении.

раболическое сечение ”рогами вниз” (рис. 1), причем Замечательным отличием степеней (7) от ”планарпо мере приближения x0 0 все они постепенно ных” потенциалов (x+iy)n является тот факт, что в струквырождаются по форме (заостряются) и сливаются в туре каждой ”конической” степени в эквипотенциальном луче z < 0, x = y = 0. Весь эквипотенциальный портрет портрете одновременно присутствует в области z > симметричен относительно плоскости xz и асимметричен аналог (x + iy)+|n|, а в области z < 0 — аналог степени относительно плоскости yz, ибо по y (4) есть функция (x + iy)-|n|. Это обстоятельство играет большую роль и четная, а по x — нечетная. Слияние всех эквипотен- при рассмотрении рядов, составленных из степеней (7).

циалей не только в вершине x = y = z = 0, но Следующим трансцендентным типом обобщений мои на луче z < 0 придает этому потенциалу характер жет служить потенциал своеобразного ”конусовидного” диполя. Его электроннооптические характеристики будут описаны в части II.

x2 + y2 y F = ln = ln + i arctg Вариант комплексного потенциала F = (a + ib) · x z + x2 + y2 + zперемешивает вещественную и мнимую части выражения (3), но поворотом вокруг оси z и перенормировкой z z2 y эквипотенциалей эти случаи приводятся друг к другу, = - ln + 1 + + i arctg, (9) r r2 x и мы не получаем ничего принципиально нового в структуре поля.

где r = x2 + y2.

Рассмотрим теперь обратный потенциал F = 1/, Вещественной частью здесь, очевидно, служит потенимеем после вычисления циал соосных конусов, а мнимая часть — потенциал дву1 z + x2 + y2 + z2 x - iy гранного угла. Эти случаи хорошо известны и изучены F = = =. (6) ранее [6–8].

x + iy z - x2 + y2 + zБолее нетривиальный случай будем иметь, если введем ”коническую” экспоненту Если в (3) поменять знаки x и z, то получим (6), следовательно, случаи (3) и (4) различаются только зерx + iy x y кальным отражением в плоскостях x = 0иx = 0 и имеют F = exp()=exp =exp cos x + z + z + одинаковые по форме эквипотенциальные портреты, в то время как в планарных полях комплексные потенциалы F = x + iy и F = 1/(x + iy) дают две существенно x y + i exp sin. (10) отличные друг от друга картины эквипотенциалей.

z + z + Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Применение формулы Донкина в теории энергоанализаторов. I являющихся конусами параболического сечения, причем все они сливаются на особом луче x = y = 0, z < 0. Для реализации на практике здесь, видимо, можно говорить о фрагментах полей, заключенных между соседними нулевыми эквипотенциалями. Структура поля весьма сложная и нуждается в дополнительных отдельных исследованиях. То же можно сказать и о ”конических” потенциалах вида sin, tg и т. д.

Задача Коши для симметричных полей Предположим, что функция F в (1) не содержит мнимости нигде, кроме аргумента. Пусть вещественная часть этого выражения служит физическим скалярным потенциалом некоторого симметричного по оси y поля, имеющего распределение, зависящее от отношения x/z, x = f, (13) y=0 z где f — заданная функция.

По этим данным требуется восстановить пространственное распределение потенциала, в данном случае ”конического” Лапласова потенциала. Формула Донкина как нельзя лучше подходит для решения этой задачи.

Действительно, если предположить, что реальная часть выражения (1) дает искомый потенциал, то при условии (13) y = 0 имеем следующую связь неизвестной функции F и заданной f x x F = f. (14) z z + x2 + zИз равенства (при y = 0) x x/z = = (15) z + x2 + z2 1 + 1 +(x/z)легко находим x =. (16) z 1 - Рис. 2. Проекции эквипотенциальной поверхности поля (8) Теперь для определения явного вида функции F() = 1 на произвольные плоскости: a — x = const, достаточно сделать подстановку выражения (16) в заданb — y = const, c — z = const.

ную функцию f из (14) и далее заменить полным комплексным выражением (2). Таким образом, комплексный Вещественный потенциал потенциал, решающий задачу Коши для симметричных полей, дается выражением x = exp z + x2 + y2 + zF() = f. (17) 1 - y cos (11) Данный алгоритм является прямым обобщением задаz + x2 + y2 + zчи Коши для планарных полей [9], он весьма удобен для имеет в качестве нулевых эквипотенциалей серию посинтеза полей, обладающих заданным корпускулярноверхностей оптическим действием в плоскости симметрии, ибо y функцию f можно искать с помощью обратных задач = + n, n = 1, 2, 3,..., (12) механики частиц.

z + x2 + y2 + z2 Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 94 П.Г. Габдуллин, Ю.К. Голиков, Н.К. Краснова, С.Н. Давыдов В части II более подробно рассмотрены электроннооптические характеристики ”конусовидного” потенциала (4), а также показана возможность его практического использования для построения конкретных электростатических приборов.

Список литературы [1] Баранова Л.А., Дьякова Г.Н., Явор С.Я. // ЖТФ. 1988. Т. 58.

Вып. 1. С. 207–210.

[2] Кельман В.М., Карецкая С.П., Федулина Л.В., Якушев Е.М. Электронно-оптические элементы призменных спектрометров заряженных частиц. Алма-Ата: Наука, 1979.

232 с.

[3] Баранова Л.А., Явор С.Я. Электростатические электронные линзы. М.: Наука, 1986. 192 с.

[4] Davydov S.N., Romanov S.N., Golikov Yu.K., Korablev V.V. // SPIE. 1998. Vol. 3345. P. 136.

[5] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М.: ГИФМЛ, 1963.

516 с.

[6] Krasnova N.K., Davydov S.N., Golikov Yu.K. et al. // J.

Electron Spectrosc. Relat. Phenom. 1995. Vol. 72. P. 323–326.

[7] Davydov S.N., Romanov S.N., Krasnova N.K. // J. Electron Spectrosc. Relat. Phenom. 1998. N 97. P. 209–214.

[8] Gabdullin P.G., Davydov S.N., Golikov Yu.K. // Nucl. Instr.

Meth. Nim. A. 1999. N 427. P. 145–150.

[9] Голиков Ю.К., Уткин К.Г., Чепарухин В.В. Расчет элементов электростатических электронно-оптических систем. Л.:

Изд-во ЛПИ, 1984. 78 с.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.