WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 9 01;10 Ленточный пучок релятивистских электронов в плазменном канале, ограниченном проводящим кожухом © А.П. Курышев, В.Д. Андреев Балтийский государственный технический университет, 198005 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 5 октября 2000 г.) Исследуется силовое взаимодействие пучка релятивистских электронов с системой ”плазменный канал, окруженный высокопроводящим кожухом, обладающим плоской геометрией”. Рассмотрен установившийся режим = ku. Использована модель холодной электронной плазмы со столкновениями. Получены формулы для поперечной составляющей силы, действующей на пучковые электроны при произвольном отклонении РЭПот оси канала.

В литературе [1–10] обсуждается проблема, связанная Поставленная задача сводится к решению уравнений с транспортировкой релятивистских электронных пучков Максвелла с заданными линейными свойствами сре(РЭП) по плазменным каналам, ограниченным средами ды. Линейной модели холодной электронной плазмы с различной проводимостью: от вакуума до идеального со столкновениями соответствует, как известно, тензор проводника.

диэлектрической проницаемости вида Как известно, силовое взаимодействие РЭП с систе2 мой плазменный канал–проводящий кожух связано с возp i j(, k) =i j() =i j 1 -, (2) буждением в кожухе приповерхностных положительных ( + i) зарядов и обратных токов, причем взаимодействие между где p — ленгмюровская частота плазменных электрозарядами и РЭП вызывает силу притяжения, а между нов, — частота столкновений плазменных электронов.

токами и РЭП — взаимное их отталкивание. Поэтому Воспользуемся уравнениями Максвелла ясно, что преимущественное действие одного или другого фактора приведет к эффекту суммарного притяжения 1 D 4 rot B = + jb, div B = 0, или отталкивания. В вакуумном пределе превалирует c t c зарядовое взаимодействие, что приводит к притяжению 1 B РЭП к проводнику. В случае наличия в канале транспорrot E = -, div D = 4b (3) тировки плазмы осуществляется частичное или полное c t экранирование заряда пучка. В результате токовое взаи- с материальным уравнением, не учитывающим пространмодействие может привести к появлению силы, стабили- ственную дисперсию зирующей отклонение РЭП от оси плазменного канала.

t Этот эффект может быть использован для поперечной Di(t, r) = dt i j(t - t, r)Ej(t, r). (4) стабилизации траектории пучка при его транспортировке через плазму [2–6], в проблеме формирования кольцевого РЭП [7,8] и т. д. В [9] анализируется эффект притяСпроектируем уравнения (3) на оси декартовой систежения РЭП к слабоионизированному каналу в модели, мы координат, используя материальное уравнение (4).

когда свойства плазмы могут быть описаны в терминах Для фурье–лаплас-образов по координате z и времени t постоянной проводимости. В работе [10] решена компонент электромагнитного поля, определяющих поаналогичная рассматриваемой в настоящей работе задача перечную составляющую силы Лоренца, действующую в рамках цилиндрической геометрии плазменного канала на электроны пучка, получим относительно тонкого пучка электронов.

В настоящей работе исследуется силовое взаимоik Ez действие пучка релятивистских электронов с системой F(, k, x) =-e (1 - 2), 2 x ”плазменный канал, окруженный высокопроводящим кожухом, обладающим плоской геометрией”. Для плазмы 2 = k2 - (). (5) использована модель холодной электронной плазмы со cстолкновениями, для пучка — модель пучка конечной Рассмотрим случай установившегося режима. Для этодлительности, сохраняющего свои параметры неизменго положим в (5) = ku. В результате для искомой силы ными. Рассмотрен установившийся режим.

получим Выражение для поперечной составляющей силы Лоi Ez ренца, действующей на электроны пучка, движущиеся F = F(k, x) =-e. (6) k x вдоль оси z со скоростью u, имеет вид Рассмотрение начнем со случая идеально проводящего u F = e(Ex - By), =. (1) кожуха.

c Ленточный пучок релятивистских электронов в плазменном канале... Идеально проводящий кожух Из уравнения Максвелла нетрудно получить в условиях рассматриваемой геометрии уравнение для Ez-компоненты напряженности электрического поля в каждой области (рис. 1) 2Ez LEz - 2Ez = H (x - a + h) - (x - a - h), xi H = 42enb jz(k, x), (7) k(ku) Рис. 1.

(x) — ступенчатая функция Хевисайда; enbujz(k, x) — фурье-образ по координате z плотности тока пучка; 2R — ширина плазменного канала.

Учет конечности релятивистского фактора и столкРаспределение плотности тока пучка по поперечной новений могут быть осуществлены аналогично рабокоординате x зададим для определенности однородным.

те [10]. В этом случае выражение для искомой силы (10) Граничные условия для уравнения (7) имеют вид может быть представлено в следующем виде:

Ez(x = ±R) =0, {Ez}x=a±h, (8) 4e2nb i F(k) =- G1(k)G2(k) j(k), G1(k) =, R k(ku) Ez {By}x=a±h = 0 = 0, x x=a±h R sh(2a) sh(h) G2 = i. (11) { f } = f (x = a ± h + 0) - f (x = a ± h - 0). (9) k sh(2R) Для определения силы в физическом пространстве Решение задачи (7)–(9) может быть легко построено вычислим сначала оригиналы функций G1 и G2, а затем и имеет следующий вид:

последовательно две свертки по Фурье. Оригинал функ sh(h) sh (R - a) 2H ции G1(k) в случае <2p определяется вкладом двух I Ez = - sh (R + x), 2 sh(2R) полюсов ch(a) ch (R - h) H II Ez = ch(x) k1,2 = ±k0 - i, k0 = - 2, 2 ch(R) sh(a) sh (R - h) c - sh(x) - 1, =, =, sh(R) 2u p лежащих в нижней полуплоскости комплексной плоско sh(h) sh (R + a) 2H III Ez = - sh (R - x), сти k и определяющих возбуждение электронных ленг2 sh(2R) мюровских колебаний (рис. 2) Re > 0.

Дифференцируя Ez по x, получим выражение для G1(k)-G1() = G1(k) exp(ik)dk фурье-компоненты искомой силы, действующей на осевые электроны пучка = e cos k0 - sin k0 (-).

kei Ez F(x = a) =- k x x=a Оригинал функции G2(k) определяется вкладом нулей 4e2nb i iR sh(2a) sh(h) функции = - j(k). (10) R k(ku) k sh(2R) sh 2R = 0 e4R = 1 Rn = ijn (Rn)2 = - jn, Для определения силы в физическом пространстве n необходимо осуществить обратное преобразование по jn = (n = 1, 2,... ). (12) Фурье по продольной координате выражения (10).

Уравнение (12), определяющее спектр задачи, аналоВ бесстолкновительном случае ( = 0) в пределе гично уравнению для цилиндрической геометрии транссильного релятивизма выражение для силы портировки РЭП [10] и отличается лишь определением примет следующий вид:

чисел jn. Воспользуемся построенным в [10] решением 2a h sh sh уравнения (12), которое может быть сведено к куби F = -2e2nb 1 - cos.

2R ческому уравнению. Уравнение (12) имеет три серии sh Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 90 А.П. Курышев, В.Д. Андреев Вычисляя двойную свертку по Фурье для искомой силы в случае = 0, конечно, получим 4e2nb Cn1 Cn2 CnF = - - - + R y(1) y(2) y(3) n n n n=k0 - 2 1 Cnl e sin k0 + 2+ k0 ky(l) (-y(l)+ )2+ kn n l=1 n=(l) y(l)eyn + e -y(l) cos kn n + k0 - (-y(l) + ) sin kk0 n (3) Cn3 - y(3)e-yn (+u ) n y(3) (-y(3) + )2 + kn n Рис. 2.

+ e -y(3) cos k0 + k0 - (-y(3)+) sin k0.

n k0 n (1) полюсов: одну столкновительную (-серия) kn = -iy(1) n (2,3) и две релятивистские (-серии) kn = -iy(2,3) (рис. 2).

n Отметим, что вклад релятивистских серий в силу F Столкновительная серия лежит в нижней полуплоскости пропорционален 1/.

на мнимой оси на отрезке (0, -i/u) и определяется формулой Плазменный кожух с конечной проводимостью 1 2 dn R y(1) = 1-, dn =. (13) n 2 u 1+dn 2 u (1+dn)3 jn Рассмотрим случай, когда проводящий кожух, ограничивающий плазменный канал транспортировки РЭП, Первая релятивистская серия y(2) расположена в n имеет конечную проводимость. С такой ситуацией мы нижней полуплоскости на мнимой оси в интервале сталкиваемся, когда ”кожух” представляет собой метал(-i/, -i), вторая серия y(3) лежит в верхней поn лический проводник с конечной проводимостью либо луплоскости на мнимой оси в интервале (i/, i).

проводящую среду (плазму). Среду в плазменном канале Релятивистские серии определяются формулами будем обозначать индексом 1, среду в ”кожухе” — индексом 2. В этом случае для нахождения силы следует 1 + dn 1 dn(dn + 2) y(2,3) = ± 1 -. (14) решить уравнение (7) для Ez-компоненты напряженности n dn 2 u (1 + dn)3/электрического поля с неоднородными граничными условиями. Граничные условия представляют собой условия Как следует из формул (13), (14), при ”выключении” непрерывности z- иy-компонент электромагнитного поля столкновений исчезает -серия, а в ультрарелятивистпри переходе через границу раздела сред ском пределе ( ) исчезают -серии. В случае = и приходим к рассмотренному выше решению.

Ez Столкновительная -серия и первая -серия опреде- {Ez}x=±R = 0, {By} = 0. (15) 2 x x=±R ляют вклады в оригинал G2() в области пучка < 0, вторая -серия — вклад в области перед пучком > 0.

Задача, как известно, в силу принципа суперпозиции Особая точка k = 0, как нетрудно заметить, является может быть разделена на две устранимой особой точкой и вклада в G2() не дает. Для (1) (2) G2() последовательно получаем Ez = Ez + Ez, 3 (1) (l) Ez представляет решение неоднородного уравнения (7) G2() = Cnleyn fl(), с однородными граничными условиями, т. е. построенное l=1 n=(2) выше решение, Ez — решение однородного уравнения h 2 соответствующего уравнению (7) sin jn 2a sin jn R (-1)n jn R Cnl =, (l) n (2) R2yn 2y(l) 1 + LEz = 2 2 u (y(l)-/u)n f1,2() =(-), f3() =-(). с неоднородными граничными условиями (15).

Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Ленточный пучок релятивистских электронов в плазменном канале... Решение задачи (7), (15) может быть построено известным образом и для случая ”кожуха” с высокой проводимостью имеет в области плазменного канала следующий вид:

i2 sh 1h (2) Ez = - 8enb sh 1(R + x) sh 1(R + a) k12 sh2 21R + sh 1(R - x) sh 1(R - a) j(k).

Для составляющей F2(k, x) — силы, действующей как на электроны пучка, так и на плазменные электроны, получим 2 sh 1h F2(k, x) =- 8e2nb ch 1(R + x) k22 sh2 21R Рис. 3.

sh 1(R+a) - ch 1(R-x) sh 1(R-a) j(k).

Для составляющей F2(k, a) — искомой силы, действу- Функция G2(k) (в случае p2 >2/2), таким образом, имеет в нижней полуплоскости k = u + iv два полюса ющей на осевые электроны РЭП, получим 8e2nb sh(1h) sh(21a) ch(21R) (2) (2) F2(k, a)=- R j(k) k1,2 = -i2 ± k0, k0 = - 2, R k22 sh2(21R) 8e2nb 2 i = - G1(k)G2(k) j(k). (16) 2 =, i = R 2 c Нетрудно заметить, что выражение для составляющей и разрез (рис. 3). Учитывая эти особенности для G2(), силы F2 мультипликативно относительно свойств плазполучим менного канала и ”кожуха”. Это позволяет независимо рассматривать различные модели сред 1–2, свойства ко(2) (2) G2 = -e2( cos k0 + B sin k0 )(-) торых определяются оригиналами по фурье-функций Gl.

При известных оригиналах сила может быть вычислена путем последовательного ”сворачивания” их по Фурье.

1 2 - x ex/- P dx (-), Рассмотрим сначала модель бесстолкновительной x - 2x + xплазмы в плазменном канале (1 0) в ультраре- лятивистском пределе. В этом случае из формулы (16) следует b a 2 2 = a22 - (1 - 222), B = (1 - 222), (2) (2) k0 k8e2nb F2(k, a) =- G1()G2(k) j(k), R (2) 2 2(k1,2) = - 22 ik0 22 = 2ei h 2a 2R sh sh ch 1 1 G1() =.

sh2 2R 2(k1,2) =ei = a ib, При вычислении обратного преобразования Фурье по (2) 1 2k0 координате z рассмотрим функцию G2(k) =2/(k22).

= arctg, -2 - Условие убывания физического поля на бесконечности 2 c Im 2 = 0, 2 =, z2 =, 2 <.

Re 2 > 2 z2 2 Re 2 < Вычисляя свертки по Фурье от функций G1() и j() приводит к появлению на мнимой оси разреза : (0, -2) аналогично тому, как это было проделано в первом (рис. 3). При этом разделе, получим в условиях 1 v i v 2 = < 0 2 = ± -.

2 2 1 = 0,,

Рассмотрим случай, 1 = 0. В этом случае достаточно вычислить оригинал G2() функции G2(k), а затем свернуть его по Фурье с полученным при 1 = результатом. При этом составляющая искомой силы FРис. 4.

будет определяться формулой F2(, a) =(F2(, 1 = 0)G1()/G1()), (18) следующее выражение для составляющей F2 искомой где F2(, 1 = 0) определены выше.

силы:

При вычислении оригинала G1() следует учитывать свойства функции G1(k, 1) как в окрестности полюсов G1() 1 1 2 - x F2(, a) =8e2nb2 P (1) столкновительной серии kn = -iy(1), так и на бесn R x x конечности. Нетрудно выделить особенности функции (1) (1) G1(k, 1) в полюсах kn, т. е. при k kn, которые 1 - ex/(2) dx + 2 (2 - k0 B) являются полюсами второго порядка x2 - 2x + (1) (2) (2) f (kn ) - e2((2 - k0 B) cos kG1(k, 1), (1) (k - kn )(2) (2) где +(k0 + 2B) sin k0 ). (17) 1 2 R (1) f (kn ) =(-1)n+Выражение для вклада F2 в силу F, действующую на c jn РЭП в бесстолкновительном случае, следует из форму2a h лы (17) sin jn sin jn.

R R (1 + dn) G1() F2(x = a) =8e2nb2 1 - cos.

2 R На бесконечности функция G1(k, 1) стремится к отличной от нуля константе.

В случае, 1 = 0, p2 < 2/2, когда колебательный процесс в плазменном кожухе не возбуждается, полюсы функции G1(k) — корни функции перемещаются на разрез (рис. 4). Вклад от полюсов оказывается равным нулю. В результате остается вклад только от разреза. При этом интегрирование по разрезу следует понимать в смысле главного значения по Коши. Выражение для F2(, 1 = 0) определяется первым слагаемым формулы (17).

Рассмотрим случай -модели, когда свойства среды в кожухе определены законом Ома j = E.

Условия убывания физического поля на бесконечности приводят к появлению полубесконечного разреза на мнимой оси (рис. 5). Функция G2(k) на разрезе определяется формулой 2 -v G2(k) = = G2(iv) = ±i.

kv v + Рис. 5.

c Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Ленточный пучок релятивистских электронов в плазменном канале... Вклад от полюсов 2-го порядка определяем по извест- В случае модели среды с номером 2 без столкновений ной формуле Коши (2 = 0) из (22) получим (1) 8e2nb2 1 f (kn )eik (1) F2(, 1) = f (kn ) G1(, 1) = dk (1) R 2 y(1)n (k - kn )2 n=n Cn 1 y(1) n e - + (1) y(1) n = f (kn )e (-). (19) 2 y(1)2 y(1)n n n=1 (y(1)2)2 - n y(1) n + e -y(1) + Таким образом, оригинал G1() при 1 = 0 имеет вид n (y(1)2)2 + 1 (y(1)2)2 + n n G1() =G1()() +G1(, 1). (20) - ((y(1)2)2-1) cos +2y(1)2 sin.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.