WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 3 01;12 Стабилизация вращением подвижного магнита в поле неподвижного © И.В. Веселитский, В.С. Воронков, Г.Г. Денисов, Р.В. Линьков Научно-исследовательский институт прикладной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603005 Нижний Новгород, Россия e-mail: voronkov@pmk.unn.runnet.ru (Поступило в Редакцию 6 июля 2004 г.) Показана возможность обеспечения устойчивого неконтактного состояния равновесия вращающегося тела, содержащего постоянный магнит, в поле неподвижного магнита. Предполагается, что магниты имеют цилиндрическую форму и осевую намагниченность. Моделирование поля магнитов производится двумя витками с постоянными токами, что позволяет аналитически найти силы и моменты сил, действующие на подвижный магнит в поле неподвижного. Неустойчивость состояния равновесия, в котором вес вывешиваемого тела компенсируется силой отталкивания от неподвижного магнита, следует из теоремы Ирншоу. Показана возможность преодоления этой неустойчивости гироскопическими силами, возникающими при вращении вывешиваемого тела. Новым эффектом является стабилизация вращением подвижного магнита не только его угловых, но и поступательных неустойчивых степеней свободы.

Введение В настоящей работе показана возможность консервативной устойчивости состояния равновесия подвижного На основании теоремы Ирншоу [1,2] совокупность магнита за счет его вращения, когда в отличие от неподвижных частиц, взаимодействующих с силами, обычных схем гироскопической стабилизации обеспечиобратно пропорциональными квадрату расстояния межвается устойчивость не только по угловым, но и по ду ними, не может находиться в устойчивом состоянии поступательным степеням свободы. Нахождение сил и равновесия. К таким силам относится взаимодействие моментов сил, действующих на подвижный магнит при между электрическими зарядами, между элементарными малых отклонениях от состояния равновесия, проводиттоками, между постоянными магнитами, гравитационся с использованием результатов [5], где найдено понденые силы. Именно благодаря запрету Ирншоу были безромоторное взаимодействие двух постоянных магнитов успешны многочисленные попытки создания пассивных цилиндирческой формы с осевой намагниченностью.

неконтактных подвесов с использованием постоянных магнитов. В рассматриваемом случае двух постоянных магнитов цилиндрической формы с осевой намагниченностью существование такого состояния равновесия легко устанавливается практически. Если одноименные полюса магнитов обращены друг к другу, то, закрепив нижний магнит, как показано на рис. 1, можно найти на его оси точку, в которой сила веса верхнего подвижного магнита компенсируется силой отталкивания со стороны нижнего. Это иллюстрируется рис. 2, где отталкивающая сила между соосными магнитами F(h) приведена в зависимости от расстояния между их центрами. Пересечение F(h) с прямой постоянного веса mg дает два состояния равновесия. Устойчивым относительно вертикальных смещений является верхнее (на рис. 2, справа).

Однако в системе есть две двухкратные неустойчивости. Подвижный магнит стремится перевернуться на 180 и уйти поперек оси. В [3] показана возможность стабилизации неустойчивого состояния равновесия заряженной частицы в статическом электрическом поле за счет действия достаточно сильного магнитного поля, эквивалентного по своему действию введению гироскопических сил. В работе [4] показано, что введением сил диссипации во вращающейся системе координат консервативная устойчивость этой системы упрочняется до асимптотической.

Рис. 1.

Стабилизация вращением подвижного магнита в поле неподвижного учетом поступательных и угловых перемещений (ток Iотносится к подвижному магниту, ток I1 — к неподвижному). С неподвижным кольцом связана система координат 0,,, начало которой помещено в центр кольца 1. С подвижным кольцом связана система координат 0,,,, начало которой помещается в центр кольца 2. Подвижному телу ставится в соответствие масса m с центром масс в центре кольца и моменты инерции: осевой C и экваториальный A.

В качестве компонент вектора q обобщенных координат подвижного тела выбираются поступательные перемещения,, -h его центра масс, углы Крылова 1, наклона его оси 0 к вертикальной оси 0 неподвижного магнита (кольца 1) и угол 3 собственного вращения относительно оси 0 симметрии подвижного магнита. В неконтактном состоянии равновесия (рис. 1) обобщенные координаты (степени свободы) подвижного Рис. 2. 1 — F(h), 2 — mg(h), 3 — k(h), 4 — o(h).

магнита имеют следующие значения:

0 = 0 = 0, 0 = h; 10 = 20 = 0; 3 = 30. (1.1) 1. Постановка задачи и принятые идеализации 2. Уравнения движения подвижного магнита Предполагается, что состояние равновесия подвижного магнита (со скрепленным с ним осесимметричным Для вывода уравнений движения запишем функцию твердым телом) в поле неподвижного имеет место при Лагранжа [6] через отклонения обобщенных координат их соосном расположении на расстоянии h между их от состояния равновесия центрами и что h заметно больше толщины h1,2 каждого 2 2 из двух постоянных магнитов. Токи колец, моделиm d d d L(q) = + + рующие магниты, запишутся как I1 = j1h1, I2 = j2h2, 2 dt dt dt где j1,2 — плотности поверхностных токов, зависящие от материала постоянных магнитов и создающие их A d2 2 d1 + cos2 1 + осевую намагниченность. Направление токов в кольцах 2 dt dt встречное. На рис. 3 эти кольца с токами показаны с C d3 d2 + - sin 1 + U(q) - mg, (2.1) 2 dt dt где U(q) =L1,2(qi )I1I2. (2.2) — силовая функция пондеромоторного взаимодействия двух колец с токами I1, I2, аналогичная рассмотренной в [5]. Здесь L1,2(qi ) — коэффициент взаимоиндукции колец с токами I1, I2, зависящий от всех обобщенных координат подвижного магнита, за исключением угла 3.

Если пренебречь рассеянием энергии при движении свободно вывешенного тела то уравнения Лагранжа будут такими:

d2 dU d2 dU m - = Q1, m - = Q2, dt2 d dt2 d d2 dU m - + mg = Q3, dt2 d d21 d2 A + cos 1 sin dt2 dt d2 U + H0 cos 1 - = Q4, Рис. 3.

dt Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 90 И.В. Веселитский, В.С. Воронков, Г.Г. Денисов, Р.В. Линьков d22 d1 dФункция (3.2) позволяет получить аналитические выA cos2 1 - 2cos1 sin dt2 dt dt ражения сил и моментов сил, действующих на подвижный магнит со стороны магнитного поля неподвижd1 U ного магнита при малых отклонениях от состояния - H0 cos 1 - = Q5, (2.3) dt равновесия (1.1). В состоянии равновесия сила тяжести где уравновешивается силой отталкивания магнитов и в d3 dсоответствии с третьим уравнением (2.3) равна H0 = C - sin 1 = const (2.4) dt dt — модуль вектора кинетического момента вращающе- µ0 I1I2R2R26h 1 mg =.

гося вывешенного тела.

4 (R2 + h2)5/Его постоянство обусловлено тем, что угол 3 (поОбозначим d3/dt =. Уравнения Лагранжа выпишем ворот магнита вокруг оси симметрии) является цикв комплексных переменных = 1 + i2, u = + i и лической координатой. В дальнейшем предполагается, сделаем их нормировку введением масштаба времени и что диссипация и обобщенные силы Qi отсутствуют.

расстояния Целью задачи является обеспечение устойчивости в консервативном приближении. Для использования урав2L A нений (2.3) необходимо еще определить силовую функt =, L =, u u/L, 1 =.

цию U. g m L Тогда получим безразмерные уравнения движения в виде 3. Силовая функция и линеаризованные d2u d2 d - ku - i = 0, + iH - + iu = 0, 2 d d d уравнения движения dЗадача нахождения силовой функции U(q), входящей + 2k1 = 0, (3.3) dtв уравнения движения (2.3) свободно вывешенного маггде нита, сводится к нахождению контурного интеграла µ0 dl1dl4h2 - R2 L C 2L 2 R2 + h1 U(q) =- I1I2, (3.1) k =, H =, =.

4 |r1 - r2| R2 + h2 h A g 3 hL где µ0 — магнитная проницаемость вакуума; I1dl, Сделаем ряд замечений по поводу силовой функI2dl2 — дифференциальные элементы токов в неподвижции (3.2) и полученным уравнениям (3.3). Во-первых, ном и подвижном кольцах; |r1 - r2| — расстояние между в полном соответствии с теоремой Ирншоу сумма этими элементами токов.

продольной и двух поперечных жесткостей равна нулю.

По физическому смыслу контурный интеграл в (3.1) Параметры системы должны выбираться так, чтобы в равновесном состоянии продольная жесткость была µ0 dl1 · dlL12(q) = положительной (т. е. k > 0) и уравнение для продоль4 |r1 - r2| ной координаты 1 было устойчивым. По поперечным является коэффициентом взаимоиндукции двух конкоординатам u жесткость вдвое меньше и отрицательная, туров, который зависит от вектора q обобщенных что является причиной неустойчивости. Другой причикоординат. Токи I1, I2 предполагаются постоянными ной неустойчивости является опрокидывающий момент, и не зависящими от обобщенных координат. В обвозникающий при наклоне оси вывешиваемого магнита.

щем случае контурный интеграл сводится к эллипЭта неустойчивость по угловым переменным может тическому. Однако при условиях малости выражений подавляться гироскопической стабилизацией за счет враR2/h, /h, /h, /h, 1, 2 1 он допускает аналитищения. Во-вторых, существует взаимосвязь между поческое представление, аналогичное найденному в [5].

перечными поступательными и угловыми координатами В этом случае силовая функция (3.1) с точностью до (член с 1-2 в силовой функции (3.2)). Именно членов второго порядка малости обобщенных координат наличие такой связи позволяет надеяться, что можно имеет вид добиться стабилизации вращением и по угловым, и по 2 2 поперечными поступательными координатами. Задачей µ0 6h 1 + U = I1I2R2R2 + 1 2 статьи по сути и является показать, что такая стабилиза4 (R2 + h2)5/2 (R2 + h2)3/1 ция возможна. В-третьих, традиционная гироскопическая стабилизация имеет место, если скорость вращения 3 4h2 - R1 + (2 + 2 - 2 ) превышает некоторую величину (>1). В нашей 2 2(R2 + h2)7/же задаче должна существовать частота (2), выше µ0 1 - 2 которой устойчивость пропадает, поскольку при + I1I2R2R23h. (3.2) 1 отклонения по углам стремятся к нулю, а вместе с 4 (R2 + h2)5/Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Стабилизация вращением подвижного магнита в поле неподвижного ними пропадает и взаимодействие между угловыми и корня предполагается, что k - 1 = µ 1. При этом поступательными координатами. В-четвертых (рис. 2, где условии приближенное значение наименьшего корня хапоказана зависимость подъемной силы F(h) и осевой рактеристического уравнения равно s1 = µ/Hk. Харакжесткости k(h) от нормированной высоты h = h/R1), теристический полином делится на s - s1, причемчлены осевая жесткость, будучи отрицательной вблизи под- со степенями s1 более первой опускаются. В результате держивающего магнита, уменьшается по величине по деления он может быть представлен в виде мере смещения вверх, достигает нулевого значения и s3 +(b + s1)s2 +(c + bs1)s + d + cs1 = 0.

далее становится положительной. Здесь в небольшом удалении от „нулевой точки“ и находится область, Здесь b = -H, c = k + 1/k + µ/k, d = -Hk. Условия где тело может быть стабилизировано вращением. Но действительности корней имеют вид в „нулевой точке“ подъемная сила имеем максимум и для высококоэрцитивных материалов она намного 2 H1 < H2 < H2, превосходит вес вывешиваемого магнита. Появляется широкая возможность распорядиться избыточной мас5 1 2 H2,1 = -k + + + µ + сой для того, чтобы попасть по высоте в точку, где 2k 8k3 k 2kжесткость имеет требуемую величину, а также подобрать необходимую величину поперечного момента 3 1 1 8µ инерции A (и нормирующего множителя L). В-пятых, ± - 8 + - 8.

8 k2 k2 kпоскольку в самой „нулевой точке“ как продольная, так и поперечная жесткости равны нулю, возникает Таким образом, характеристическое уравнение (3.4) идея обнаружить устойчивость состояния равновесия в имеет конечную область устойчивости по параметнелинейном приближении (критический, по Ляпунову, рам k, µ, H.

случай линейного приближения). Это, однако, противоречит одному из основных свойств гармонической функ4. Расчет области устойчивости ции U, по которому ее минимальное или максимальное значение не может достигаться внутри области где Предполагается, что уравнение (3.5) устойчиво, т. е.

U = 0. Следовательно, разложение силовой функции k > 0. Область устойчивости ищется из условия, что по степеням малых отклонений до любого порядка не корни (3.4) действительны. Уравнение (3.4) четвертого приведет к успеху.

порядка имеет три параметра k,, H, которыми можЕсли отыскивать решение системы (3.3) в виде aeis, но характеризовать безразмерные величины поперечной то характеристические уравнения данной системы прижесткости, опрокидывающего момента, скорости враводятся к виду щения. Расчет области устойчивости проводился численным нахождением корней. Задавалось значение, s4 - Hs3 + s2(k + ) - kHs + k - 1 = 0, (3.4) затем для некоторого диапазона k находились граничные значения H1, H2, при которых корни оставались дей-s2 + 2k = 0. (3.5) ствительными. Прогонка по k,, H позволяет выявить Для устойчивости подвеса необходимо, чтобы корни область устойчивости по этим параметрам. Результаты уравнений (3.4), (3.5) были действительными. Для устойприводятся в табл. 1.

чивости (3.5) по продольной координате необходимо, Как показывают расчеты, существует нижняя граница чтобы k > 0, т. е. 4h2 - R2 > 0. Что выполняется для для, она равна примерно 2.62 (еще принадлежит верхнего состояния равновесия. Можно показать, что области устойчивости = 2.63, k = 0.451, H1 = 2.9407, существует конечная область устойчивости и для (3.4).

H2 = 2.9417). При значениях выше минимального Действительно, при условии k - 1 = 0 уравнение (3.4) существуют конечные диапазоны по k и по H, коимеет нулевой корень, а характеристическое уравнение торые принадлежат области устойчивости. В табл. сводится к уравнению третьей степени. Известно, что наибольшее значение коэффициента k берется возможуравнение третьей степени имеет действительные корни но ближе к верхней границе области устойчивости, а в случае, если его дискриминант меньше нуля [7].

наименьшее k близко к нижней границе, если для нее Нетрудно показать, что для этого должны выполняться k > 0.01. Вблизи граничных значений k граничные Hусловия и H2 практически сливаются.

3/5 1 1 H1 < H < H2, H1,2 = -k + + ± - 8.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.