WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 2 01;10 Устойчивость сильноточных пучков релятивистских электронов в циклических системах © В.В. Долгополов, Ю.В. Кириченко Национальный научный центр ”Харьковский физико-технический институт” 310108 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 17 июля 1998 г.) Теоретически исследуются условия устойчивости сильноточных тонких пучков релятивистских электронов по отношению к длинноволновым колебаниям в стеллатроне и модифицировнном бетатроне. Учтено влияние собственных полей, которые находились из запаздывающих потенциалов, создаваемых электронами пучка. Найдено соответствующее дисперсионное уравнение. Показано, что пучок в модифицированном бетатроне всегда неустойчив к рассматриваемым колебаниям. Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости пучка в стеллатроне.

Введение В дальнейшем будут рассмотрены пучки малых поперечных размеров, плотность заряда (x, y,, t) и плотДля преодоления кулоновского расталкивания элекность тока j(x, y,, t) который можно представить в виде тронов с сильноточных нескомпенсированных циклических пучках используется тороидальное магнитное поле. (x, y,, t) =-en(x, y,, t), Бетатрон с сильным тороидальным магнитным полем j(x, y,, t) =-en(x, y,, t) v(, t), получил название модифицированного бетатрона [1]. Од нако и в таком устройстве при наличии рассогласования n(x, y,, t) =N(, t) x - x(, t) y - y(, t), (2) между энергией электронов и бетатронным магнитным полем возможны значительные потери электронов. Что- где n(x, y,, t) и N(, t) — объемная и линейная плотнобы преодолеть эту трудность, в работе [2] было предло- сти электронов; v(, t) —их скорость; x(, t) и y(, t) — жено дополнить модифицированный бетатрон стеллара- координаты поперечного сечения пучка; -e < 0 — заряд торными обмотками. Такая система называется стелла- электрона.

троном. С учетом (2) формулы для запаздывающих потенциаПоведение ускоренных электронов в циклических си- лов, создаваемых пучком электронов, имеют вид стемах теоретически исследовалось в работах [3–9].

F, (t, r) В [5] рассмотрена устойчивость узких пучков электронов (r, t) =-e d, (3) в стеллатроне. Однако собственные поля в этой работе G r,, (t, r) учтены неполно. Более последовательно собственные по ля пучка при исследовании длинноволновых колебаний F, (t, r) v, (t, r) e A(r, t) =- d, (4) учтены в [9]. Однако и в этой работе был сделан ряд c G r,, (t, r) грубых упрощающих предположений.

где В настоящей работе устойчивость релятивистских F, (t, r) = R(, ) N(, ), (5) сильноточных пучков электронов относительно длинноволновых колебаний исследуется более корректно. В G r,, (t, r) = g - (, ) x(, t) - x(, ) отличие от работы [9] собственные поля пучка находятся c путем вычисления запаздывающих потенциалов, а при описании движения электронов не используется дрейфо- - + 2R(, t) sin2 - (, ) y(, t) - y(, ), вое приближение.

2 c 2 g = x(, t) - x(, ) + y(, t) - y(, ) Собственные поля пучка Как и в работах [7–9], воспользуемся системой коор - 1/динат x, y,, связанной с псевдотороидальными коорди+ 4R(, t)R(, ) sin2. (6) натами r,, соотношениями где (t, r) =t - g/c; x(, t), y(, t), — координаты x = r cos, y = r sin, R = R0 - x, (1) точки наблюдения; x(, ), y(, ), — координаты где r и R — малый и большой радиусы соответственно, точки пучка в момент времени ; R(, t) =R0 - x(, t), R0 — радиус магнитной оси стеллараторного поля, R(, ) =R0-x(, ); точка над буквами в (6) означает и — малый и большой азимуты соответственно. частную производную по.

88 В.В. Долгополов, Ю.В. Кириченко eN y v Равновесное состояние пучка представляет собой дви Hx = 2 -, (15) жение электронов по окружности радиуса R = R0 - x cR R (где x — равновесное значение координаты x, которое будет найдено ниже; x R0) с постоянной по модулю eN x x v Hy = - + v + + - x, (16) скоростью v. При этом равновесная линейная плотность cR N R R электронов N не зависит от t и. Электрическое E(r, t) и магнитное H(r, t) поля, соответствующие запаз eN дывающим потенциалам (3), (4), вычислялись нами в H = - y, (17) cR нулевом и первом приближениях по отклонениям пучка от равновесного состояния. Можно показать, что в силу где f = 2 f /2 - (R2/c2)2 f /t2; x, Hy —равновесгеометрии задачи, а также из-за экранирования поля ные значения полей; E, H — возмущения полей; точка колебаниями пучка интегралы (3), (4) следует вычислять над буквами означает частную производную по t.

в пределах от -m до m, где (8rc/R0)1/2, > (8rcR0)1/2, Дисперсионное уравнение m = (7) /R0, < (8rcR0)1/2, В случае рассматриваемых нами длинноволновых когде — длина волны колебаний, rc — радиус тороидаль- лебаний должны выполняться условия ной камеры (rc R0).

2RЕстественно считать, что m 1. При разложении rb,, (18) m подынтегральных выражений в (3), (4) по малым возмущениям возникает интеграл от функции 1/||, для где 2R0/m — период стеллараторного магнитного поля, которого справедливо соотношение m — целое число.

m - m Второе из неравенств (18) позволяет заменить выраd d d m жение для магнитного поля двухзаходного стеллатро + = 2ln 2 1. (8) || || || на [2] более простым, которое создает такое же враща-m -m тельное преобразование, как и стеллараторное [9]. В результате магнитное поле, удерживающее пучок, будет В (8) учтено, что участок пучка - < < дает иметь вид пренебрежимо малый вклад в поле в выбранной точке наблюдения, лежащей на пучке, если < rb/R0, где B = eBt - eBtms2r/Rrb — средний радиус поперечного сечения пучка. Следу ет заметить, что m и поэтому неопределенности в + exB0ny/R0 + eyB0(1 + nx/R0), (19) значениях m и несущественно влияют на значения.

Обозначим через f малое отклонение некоторой велигде Bt = B0/(1 - x/R0), |s| < 1/2, || 1, B0 > 0, чины f от равновесного значения f 0 < n < 1, ex, ey, e, e — единичные векторы соответствующих направлений.

f = f + f, | f| | f|. (9) Первое слагаемое в (19) есть тороидальное магнитное поле, второе моделирует стеллараторное поле, третье и С учетом сделанных предположений получим из форчетвертое представляют собой бетатронное поле. При мул (3), (4) выражения для полей E(r, t), H(r, t) в точках s = 0 выражение (19) определяет магнитное поле монаблюдения, лежащих на пучке дифицированного бетатрона. Уравнение Лоренца для Ex = x + x, Ey = y, E =, электрона, движущегося в полях (10)–(17) и (19), имеет вид Hx = Hx, Hy = Hy + Hy, H = H, (10) dv e v2 1/где = - 1 dt me ceN eNv x =, Hy = -, (11) R cR 1 E + [v, H + B] - v(vE), (20) eN x x 2R c c x = + + + x, (12) R N R R c где v = ev +, me — масса покоя электрона.

eN 2R Уравнение (20) следует дополнить уравнением непреy = + y, (13) R R cрывности 2e x v 1 NR = - + R- Nx +, (14) R(t, )N(t, ) + N(t, )v(t, ) = 0. (21) R 2R c2 2 ct Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Устойчивость сильноточных пучков релятивистских электронов в циклических системах В нулевом приближении по возмущениям уравнение фактора и относительно низкая частота колебаний.

(20) дает связь между равновесными величинами Эти предположения сводятся к таким ограничениям на параметры задачи x 1 v 22 - 1 c = - +, (22) 2|m|s2 1, (28) R0 - 0R 2 0vR µгде = e2N/(mec2), 0 = eB0/(mec), 1, (29) - = n - ms2, =(1 - v2/c2)-1/2. После линеаризации уравнений (20), (21) получаем || > 1, (30) систему четырех дифференциальных уравнений для ве22 1, (31) личин x,,, 2µd2x v2 22 - 1 v- 2 max 4||, µ2,, (1 + 2) + 1 + - x |n + || + 1 - n| dt2 R2 2 - 1 R2µ2 2µc2 v,, (32) d 2v + x + 0 + +(3 - 22) +(2 - 2) |n + ||3 + 2( - n)| 22|n + || + 1 - n| 2R2 dt R R 1 22|n + |( + 1 - n) min,, (33) x c2(22 - 1) 12 24µ + - 0 + = 0, (23) R0 NR|µ| 0, (34) d2 c2 v+ dx (1 + 2) + + 0 - 0 = 0, (24) где = ms2/.

dt2 2R2 R0 dt При условиях (28)–(34) коэффициенты дисперсионного уравнения (27) принимают вид 2 v x 1 + + + 0 + 2 t R RµA6 = 1, A5 = 80, A4 = -0, v dx c2 x v x - (1 + 2) - R dt R22 R2 t 4µ 3 A3 = - 0, A2 = 04(n + )(1 - n + ), 2c2 2v 2µ + + = 0, (25) A1 = 50(n + ) 3 + 2( - n), RN2 2N t N x N v 2µ- + + = 0, (26) A0 = 60(n + ). (35) t R t R R где + = n+ms2, - = n - 2ms2, = 1/(1-x/R0.

Из формул (35) и условий (28)–(34) следуют неравен d/dt /t + v/R / — в линейном приближении.

ства Полагая, что зависимость величин x,,, от пере 6 4 5 |A6µ| |A4µ|, |A5µ| |A4µ|. (36) менных и t определяется множителем exp[i(µ - t)], из уравнений (23)–(26) получим дисперсионного урав- Условия (36) позволяют свести уравнение 6-й степени нение (27) к уравнению 4-й степени k 4 3 Ak µ = 0, (27) µ + a3µ + a2µ + a1µ + a0 = 0, (37) k= где ak = -Ak/0; k = 0, 1, 2, 3.

где µ = - µv/R.

Из формулы (22) следует, что при выполнении (33) Коэффициенты Ak являются функциями параметров имеет место соотношение внешнего магнитного поля и пучка. В общем случае выражения для них громоздки, и мы их не приводим.

v 0. (38) R Анализ результатов Необходимые и достаточные условия устойчивости пучка в стеллатроне по отношению к рассматриваемым Устойчивость пучка к длинноволновым колебаниям, колебаниям (условия вещественности корней (37)) имет. е. условия вещественности корней уравнений (27) исют вид следовались нами при некоторых упрощающих предпо <0, (39) ложениях, основными из которых являются: малые значения параметра, большие значения релятивистского 8µ2 <22| + n|( + 1 - n)2, (40) Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 90 В.В. Долгополов, Ю.В. Кириченко µ22 | + n|| + 1 - n|<22. (41) 2 27( + 2 - n)Для исследования условий устойчивости модифицированного бетатрона в формулах для коэффициентов ak следует положить = 0. Оказалось, что модифицированный бетатрон всегда неустойчив к длинноволновым колебаниям. При этом упрощающие предположения будут такими же, как и в случае стеллатрона, за исключением условия (32), которое следует заменить на 2µ2 2µ2 max 3,,. (42) n(1 - n) 22n(1 - n) Заключение Из полученных выше результатов следует, что пучок релятивистских электронов в модифицированном бетатроне всегда неустойчив по отношению к рассмотренным нами колебаниям. Необходимыми и достаточными условиями утойчивости пучка в стеллатроне при выполнении (28)–(34) являются неравенства (39)–(41). Из (39) следует, что для устойчивости пучка усредненные стеллараторное и бетатронное магнитные поля должны быть направлены так, чтобы выполнялось условие m <0. (43) Это означает, что проекция усредненного по стеллараторного поля на направление бетатронного поля при R < R0 должна быть положительной.

Список литературы [1] Rostoker N. // Particle Accelerators. 1973. Vol. 5. N 7. P. 93–97.

[2] Robertson C.W., Mondelli A.

Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. N 7. P. 507–510.

[3] Коломенский А.А., Лебедев А.Н. // Атомная энергия. 1959.

Т. 7. № 6. С. 549–550.

[4] Kapetanakos C.A., Dialetis D., Marsh S.J. // Particle Accelerators. 1987. Vol. 21. N 1. P. 1–27.

[5] Chernin D. // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29. N 2. P. 556–560.

[6] Kapetanakos C.A., Marsh S.J. // Phys. Fluids. 1985. Vol. 28.

N 7. P. 2263–2272.

[7] Долгополов В.В., Кириченко Ю.В., Лелеко Я.Ф. и др. // ЖТФ. 1995. Т. 65. Вып. 6. С. 141–146.

[8] Долгополов В.В., Кириченко Ю.В., Романов С.С., Ткач Ю.В. // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20. Вып. 20. С. 67–71.

[9] Долгополов В.В., Кириченко Ю.В., Романов С.С., Ткач Ю.В. // Укр. физ. журн. 1994. Т. 39. № 2. С. 161–164.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.